糖水不等式及其应用_1.docx

糖水不等式”及其应用 摘要本文首先挖掘了“糖水不等式”的生活原型，接着详细介绍了此不等式的三种证明 方法 ，最后用“糖水不等式”证明了三道高考题通过本文重在启发大家：在以后 学习 中，不仅掌握知识本身，还要多体会知识产生、 发展 的背景、及其 应用 ，以达到举一反三、融会贯通的目的；从而的出思考与反思史学系的必要环节关键词糖水不等式我们在小学曾对不等式[SX(]12[SX)]＜[SX(]23[SX)]＜[SX(]34[SX)]＜[SX(]45[SX)]＜…记忆犹新，今天学到了高中数学不等式这一章，我们联想到这一不等式能不能推广？推广形式如何？下面就是它的推广形式：“若a,b,m∈R+，且a＜b，求证：[SX（]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]（*）上述不等式在高中数学人教版必修5第87页的例1中出现，并做了严谨证明相信大家对这一不等式并不陌生此不等式不仅有着丰富的现实生活背景；而且在比较大小、及证明不等式中都有着重要的作用一、不等式（*）的生活原型生活原型1：b克糖水中含有a克糖，加入m克糖后糖水变甜，试用一不等式描述这一现象：[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜1由于此生活原型生动直观的刻划了不等式[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜1，所以此不等式又戏称为“糖水不等式”。

生活原型2：建筑民用住宅时，一般情况下，民用住宅的窗户总面积小于该住宅的占地面积窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好问同时，增加相等的窗户，面积与占地面积，住宅的采光条件变好了还是变差了？解：设a,b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积的值，表示窗户和占地所增加的面积的值，（单位相同），由题意得：住宅的采光条件变好还是变差，取决于[SX(]ab[SX)]与[SX(]a+mb+m[SX)]值的大小作差法：[SX(]ab[SX)]-[SX(]a+mb+m[SX)]=[SX(]ab+am-ba-bmb(b+m)[SX)]=[SX(](a-b)mb(b+m)[SX)]因为a,b,m＞0，且a＜b，所以[SX（]（a-b)mb(b+m)[SX)]＜0所以[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]故增加相等的窗户，面积与占地面积，住宅的采光条件变好了二、“糖水不等式”的证明此题的证明方法很多，例如（1）作差法（2）作商法（3） 分析 法（4）综合法（5）构造函数法（6）定比分点公式法等等在这里有重点地介绍以下三种方法：证法1：分析法：要证[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]只要证a(b+m)＜b(a+m)，即证am＜bm,(m＞0)而a＜b显然成立证法２：构造函数法：f(x)=[SX(]a+xb+x[SX)]=[SX(]b+x-b+ab+x[SX)]=1+[SX(]a-bb+x[SX)]因为a-b＜0，所以函数f(x)在(-b,+∞)上单调增故f(0)＜f(m)，即[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]证法3：（利用定比分点公式法）〖TPP0707.TIF,BP〗[SX(]a+mb+m[SX)]=[SX(C][SX(]am[SX)]+11+[SX(]bm[SX)][SX)]=[SX(C]1+[SX(]bm[SX)][SX(]ab[SX)]1+[SX(]bm[SX)][SX)]，令λ=[SX(]bm[SX)]＞0,x1=1,x2=[SX(]ab[SX)]由定比分点公式得[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜1。

结论得证三、“糖水不等式”在比较大小、及证明不等中的应用例１（１）若a,b,m∈R+，且a＜b，则[SX（]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)][SX(]ba[SX)],[SX(]b+ma+m[SX)]从小到大的顺序为[CD#4]解：由“糖水不等式”得：[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜1，而[SX(]b+ma+m[SX)]＞1故[ZZ(Z][SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜[SX(]b+ma+m[SX)][ZZ)] 转贴于 （２）若a,b,m,c,d∈R+，且[SX（]ab[SX)]＜[SX(]cd[SX)]，则[SX（]ab[SX)],[SX(]a+cb+d[SX)][SX(]cd[SX)]从小到大的顺序为[CD#4]解：设糖水1和2的浓度分别为[SX(]ab[SX)]＜[SX(]cd[SX)]，将两种糖水混合的浓度为[SX(]a+cb+d[SX)]由生活原型1得：[ZZ(Z][SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+cb+d[SX)]＜[SX(]cd[SX)][ZZ)]例２中，△ABC中，A，B，C对的边分别为a,b,c．求证：[SX(]aa+m[SX)]+[SX(]bb+m[SX)]＞[SX(]cc+m[SX)]证明：因为a,b,c＞0,c＜a+b，所以[SX(]cc+m[SX)]＜[SX(]a+ba+b+m[SX)]=[SX(]aa+b+m[SX)]+[SX(]ba+b+m[SX)]＜[SX(]aa+m[SX)]+[SX(]bb+m[SX)]故[SX(]cc+m[SX)]＜[SX(]aa+m[SX)]+[SX(]bb+m[SX)]例３已知数列{an}是由正数组成的等比数列，前n项和Sn求证：[SX(]12[SX)](1gSn+1gSn+2)＜1gSn+1（’95全国理科高考25题）证明：〖WB〗[SX(]12[SX)](1gSn+1gSn+2)＜1gSn+1〖DW〗SnSn+2＜Sn+12因为Sn+1[WB]=a1+a2+…+an+an+1[DW]=a1+q(a1+a2+…+an)[DW]=a1+qSn同理Sn+2=a1+qSn+1，Sn＜Sn+1由结论（*）得[SX(]qSnqSn+1[SX)]＜[SX(]qSn+a1qSn+1+a1[SX)]即[SX(]SnSn+1[SX)]＜[SX(]Sn+1Sn+2[SX)]即SnSn+2＜Sn+12所以[SX(]12[SX)](1gSn+1gSn+2)＜1gSn+1例4求证：[SX(]21[SX)][SX(]43[SX)][SX(]65[SX)]…[SX(]2n2n-1[SX)]＞[KF(]2n+1[KF)]（’98年高考文25题）证明：由结论（*）得[SX(]2n-12n[SX)]＜[SX(](2n-1)+12n+1[SX)]即[SX(]2n2n-1[SX)]＞[SX(]2n+12n[SX)]所以([SX(]21[SX)][SX（]43[SX）][SX（]65[SX）]…[SX（]2n2n-1[SX)])2＞([SX(]21[SX)][SX（]43[SX）][SX（]65[SX）]…[SX（]2n2n-1[SX)])（[SX（]32[SX）][SX（]54[SX）][SX（]76[SX）]…[SX（]2n+12n[SX)]=2n+1所以[SX(]21[SX)][SX（]43[SX）][SX（]65[SX）]…[SX（]2n2n-1[SX)]＞[KF（]2n+1[KF)]例6已知，i,m,n∈N+,1＜i≤m＜n,证明：niPim＜mipin（’2001高考理20题）证明：[SX(]nipimmipin[SX)]=[JB((][SX(]nm[SX)][JB))]i[SX(]m(m-1)…(m-i+1)n(n-1)…（n-i+1)[SX)]（**）由结论（*）得[SX(]m-kn-k[SX)]＜[SX(]mn[SX)],(k＜m)所以式（**）＜[JB((][SX(]nm[SX)][JB))]i[JB((][SX(]mn[SX)][JB))]i=1所以nipim＜mipin通过以上例题 分析 ，大家可以深刻体会到：利用“糖水不等式”比较大小，不仅直观、简便，而且使我们对 问题 理解的更深刻、甚至难以忘记。

尤其在证明三道高考题（95年、98年、2001年）时，“糖水不等式”的作用显得光彩夺目、熠熠生辉，甚至难以释怀这就启发我们在以后 学习 一些重要知识时:不仅掌握知识本身，还要多体会知识产生、 发展 的背景、及其 应用 ，以达到举一反三、融会贯通的目的，使我们的学习如鱼得水转贴于 -全文完-。