中值定理和导数的应用.ppt

习题课习题课 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 典型例题典型例题且满足罗尔定理其它条件且满足罗尔定理其它条件,例例1例例2.且且试证存在试证存在证证: 欲证欲证因因 f ( x ) 在在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件上满足拉氏中值定理条件,故有故有将将①①代入代入②② , 化简得化简得故有故有①①②②即要证即要证例例3 3 讨论函数在点讨论函数在点x=0x=0处的连续性处的连续性∴∴函数在点函数在点x=0x=0连续例例4 4解解原式原式= =例例5 5解法解法1罗比达罗比达法则法则1)51 (2lim540- -+ += =- -®®xxx原式原式590)51 (42lim- -®®+ +- -= =xx.21- -= =例例 解法解法2 泰勒展泰勒展开式开式例例6例例7 7证证 法一法一 用单调性用单调性设设即即由由证明不等式证明不等式可知可知,即即法二法二 用用Lagrange定理定理设设Lagrange定理定理由由得得即即例例8 8 证明不等式证明不等式 证证例例9. 求数列的最大项的最大项 .证证: 设设用对数求导法得用对数求导法得令令得得因为因为在在只有唯一的极大点只有唯一的极大点因此在因此在处处也取最大值也取最大值 .又因又因中的最大项中的最大项 .极大值极大值列表判别列表判别:例例10问方程问方程有几个实根有几个实根解解同时也是最大值同时也是最大值分三种情况讨论分三种情况讨论:①①由于由于方程有两个实根，分别位于方程有两个实根，分别位于②②方程仅有一个实根，即方程仅有一个实根，即③③方程无实根方程无实根①①②②③③16? ! 设 在在 上上连续，，在(0,1)内导，且 ,试证：至少在一点：至少在一点 ，使得，使得 。