北师大版九年级下二次函数的图象与性质课件共张.ppt

北师大版九年级下册第二章《二次函数》,2.2二次函数的图象与性质,学习目标,1、会用描点法画二次函数y=x2和y=-x2的图象；,2、根据函数y=x2和y=-x2图象，直观地了解它的性质.,数形结合,直观感受,在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？,观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:,你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?,,描点,连线,,,,,,,,,,y=x2,观察图象,回答问题串,(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.,(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.,(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,(4)当x0呢？,(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？,,这条抛物线关于 y轴对称,y轴就是它的对称轴.,,对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.,二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.,,,,,,,,当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.,,,,,,,,,当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大.,当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1,当x=1时，y=1 当x=2时，y=4,抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.,,在学中做—在做中学,(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？,你能根据表格中的数据作出猜想吗？,(2)先想一想，然后作出它的图象．,(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？,,,x,y,0,,,,,,,,,,,,,,,,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,描点,连线,,,,,,,,,,y=-x2,,观察图象,回答问题串,（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.,（2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,（3)当x0呢？,（4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？,（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.,y=-x2,,这条抛物线关于 y轴对称,y轴就是它的对称轴.,,对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.,二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.,,y,,,,,,,,,,,,,,,当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.,当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而减小.,,y,当x= -2时,y= -4 当x= -1时,y= -1,当x=1时,y= -1当x=2时,y= -4,抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.,,函数y=ax2(a≠0)的图象和性质,y=x2,y=-x2,,,,,它们之间有何关系？,,,,,,,,,,,二次函数y=ax2的性质,１.顶点坐标与对称轴,２.位置与开口方向,３.增减性与最值,,,,,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=x2,y= -x2,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1时的特殊例子.a的符号确定着抛物线的……,函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:,在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象,,,y=x2,,,y=-x2,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,二次函数y=ax2的性质,我思，我进步,1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.,解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.,（2）因为 ,所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.,（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是,知道就做别客气,,2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).,(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.,（0，0）,y轴,对称轴的右,对称轴的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,0,回味无穷,2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,由二次函数y=x2和y=-x2知：,www.1230.org 初中数学资源网,你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形式吗?,二次函数y=ax²+bx+c的图象,二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?,,驶向胜利的彼岸,在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．,由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象．,www.1230.org 初中数学资源网,比较函数 与 的图象,,驶向胜利的彼岸,(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．,⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系?,www.1230.org 初中数学资源网,,驶向胜利的彼岸,观察图象,回答问题,(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？,www.1230.org 初中数学资源网,,图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.,,顶点坐标 是点(1,0).,二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位,(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,二次项系数相同 a>0,开口都向上.,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?,www.1230.org 初中数学资源网,,在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x<1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少,.,,顶点是最低点,函数 有最小值.当x=1时, 最小值是0,二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的增减性类似.,(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？,在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x>1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而增大,.,想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?,www.1230.org 初中数学资源网,,驶向胜利的彼岸,真知 从实践走来,1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？,www.1230.org 初中数学资源网,在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象．,,完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系?,驶向胜利的彼岸,函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质,www.1230.org 初中数学资源网,,图象是轴对称图形. 对称轴是平行于 y轴的直线:x= -1.,,顶点坐标 是点(-1,0).,二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向左平移了1 个单位.,1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,二次项系数相同 a>0,开口都向上.,想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?,www.1230.org 初中数学资源网,,在对称轴(直线:x=-1)左侧 (即x<-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而减少,.,,顶点是最低点,函数 有最小值.当x=-1时, 最小值是0,二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的增减性类似.,2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？,在对称轴(直线:x=-1)右侧 (即x>-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而增大,.,猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象的位置和形状. 请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.,www.1230.org 初中数学资源网,2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x1时, y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,当x-1时, y随着x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).,二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象,,4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.,,,X=-1,X=1,。