高中数学竞赛几何专题从调和点列到Apollonius圆到极线.doc

2012 暑期专题——几何（1）从交比到调和点列到 Apollonius 圆到极线极点2010 年 10 月 17 日结束的 2010 年全国高中数学联赛平面几何题目为：如图 1，锐角三角形 ABC 的外心为 O，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点） ，D 是线段 AK 延长线上一点，直线 BD 与 AC 交于点 N，直线 CD 与 AB 交于点 M．求证：若 OK⊥MN，则 ABDC 四点共圆． KNMOAB CD图 1本题颇有难度，参考答案的反证法让有些人“匪夷所思” ，其实这是一系列射影几何中常见而深刻结论的自然“结晶” ，此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜本文拟系统的介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius 圆、极线等射影几何的重要概念及应用，抽丝剥茧、溯本求源，揭示此类问题的来龙去脉，并在文中给出上题的一种简洁明了的直接证明知识介绍定义 1 线束和点列的交比：如图 2，共点于 O 的四条直线被任意直线所截的有向线段比称为线束 OA、OC、OB、OD 或点列 ACBD 的交比[1]/ACBD定理 1 线束的交比与所截直线无关 BCOA D图 2证明：本文用[ABC]表示 ABC 面积，则[]//ACBOCDsinsin/ii BAO从而可知线束交比与所截直线无关。

定义 2 调和线束与调和点列：交比为-1 ，即 的线束称为调和线束，点列称为ACBD调和点列显然调和线束与调和点列是等价的，即调和线束被任意直线截得的四点均为调和点列，反之，调和点列对任意一点的线束为调和线束定理 2 调和点列常见形式：（O 为 CD 中点）（1） 、1DCAB（2） 、 2*(3)、 AC*AD=AB*AO(4)、 AB*OD=AC*BD证明：由基本关系式变形即得，从略定理 3 一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行（由定义即得，证略）定义 3 完全四边形：如图 3，凸四边形 ABCD 各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF，AC、BD、EF 称为其对角线（一般的四条直线即交成完全四边形）[2] 定理 4 完全四边形对角线互相调和分割即 AGCH、BGDI、EHFI 分别构成调和点列 GIHCAEDBF图 3分析：只需证 EHFI 为调和点列，其余可类似证得，也可由线束的交比不变性得到证法一：面积法 []EIABCDE[][]ACDBF，即 1EHI证法二：由 Ceva 定理 ，由 Menelaus 定理得到 ，1BEADFH 1BEADFI故 ，即 EHFI 为调和点列。

EIF定理 5 完全四边形 ABCDEF 中，四个三角形 AED、ABF、EBC、FDC 的外接圆共点，称为完全四边形的密克（Miquel）点证明：设出两圆交点，证它在其余圆上即可OC DA BP图 4定义 4 阿波罗尼斯（Apollonius）圆：到两定点 A、B 距离之比为定值 k（ ）01且的点的轨迹为圆，称为 Apollonius 圆，为古希腊数学家 Apollonius 最先提出并解决[2] （注：当 k=1 时轨迹为 AB 中垂线也可看成半径为无穷大的圆） 证明：如图 4 由 AP=kPB，则在 AB 直线上有两点 C、D 满足 故,APBPC、PD 分别为∠APB 的内外角平分线，则 CP⊥DP，即 P 点的轨迹为以 CD 为直径的圆O(O 为 CD 中点) （注：解析法亦可证得）显然图 4 中 ACBD 为调和点列定理 6 在图 4 中，当且仅当 PB⊥AB 时，AP 为圆 O 的切线证明：当 PB⊥AB 时∠APC=∠BPC=∠CDP 故 AP 为圆 O 的切线，反之亦然定理 7 Apollonius 圆与调和点列的互推如下三个条件由其中两个可推得第三个：1.PC（或 PD）为∠APB 内（外）角平分线2. CP⊥ PD3.ACBD 构成调和点列（证略）定义 5 反演：设 A 为○O（r）平面上点，B 在射线 OA 上，且满足 OA*OB=r*r，则称A、B 以○O 为基圆互为反演点。

定理 8 图 4 中，以 Apollonius 圆为基圆，AB 互为反演点 （由定理 2（2）即得 ）定义 6 极线与极点：设 A、 B 关于○O（r ）互为反演点，过 B 做 OA 的垂线 l 称为 A 点对圆 O 的极线；A 点称为 l 的极点 [3]定理 9 当 A 点在○O 外时，A 的极线为 A 的切点弦 （由定理 6 即得 ） B QCP OAD图 5定理 10 若 A 的极线为 l，过 A 的圆的割线 ACD 交 l 于 B 点，则 ACBD 为调和点列证明：如图 5，设 A 的切点弦为 PQ，则即 ACBD 为调和点列[]BCQPPCDDQ定理 11 配极定理：如图 6，若 A 点的极线通过另一点 D，则 D 点的极线也通过 A一般的称 A、D 互为共轭点证法一：几何法，作 AF⊥OD 于 F，则 DFGA 共圆，得 OF*OD= OG*OA = ，由定义2OI6 知 AF 即为 D 的极线GFJIHCBOAD图 6证法二：解析法，设圆 O 为单位圆， A（ ）, D（ ） ，A 的极线方程为1xy2,xy，由 D 在其上，得 ，则 A 在 上，即 A 在 D 的极1xy21线上。

定理 12 在图 6 中，若 A、 D 共轭，则2222A+G(B)()=O的 幂 的 幂 （ 对 圆 ）证 明 ：的 幂 的 幂 对 圆定义 7 调和四边形： 对边积相等的圆内接四边形称为调和四边形 （因圆上任意一点对此四点的线束为调和线束，故以此命名）定理 13 图 5 中 PDQC 为调和四边形证明：由定理 9 的证明过程即得例题选讲例 1 如图 7，过圆 O 外一点 P 作其切线 PA、PB，OP 与圆和 AB 分别交于 I、M，DE 为过 M 的任意弦求证：I 为△ PDE 内心 （2001 年中国西部数学奥林匹克）分析：其本质显然为 Apollonius 圆证明：由定理 6 知圆 O 为 P、M 的 Apollonius 圆，则 DI、EI 分别为△PDE 的内角平分线，即 I 为△PDE 内心 IDMA BOPE图 7例 2 如图 8，△ABC 中，AD⊥BC，H 为 AD 上任一点，则∠ADF=∠ADE （1994 年加拿大数学奥林匹克试题） LKEFDAB CH图 8证明：对完全四边形 AFHEBC，由定理 4 知 FLEK 为调和点列又 AD⊥BC，由定理 7 得∠ADF= ∠ADE。

JGIHCAEDBF图 9例 3 如图 9，完全四边形 ABCDEF 中，GJ ⊥EF 与 J，则∠BJA=∠DJC（2002 年中国国家集训队选拔考试题）证明：由定理 4 及定理 7 有∠BJG=∠DJG 且∠AJG=∠CJG，则∠BJA=∠DJC 21PDYQD'I XEFAB C图 10例 4 已知：如图 10，△ABC 内角平分线 BE、CF 交于 I，过 I 做 IQ⊥EF 交 BC 于 P，且IP=2IQ求证：∠BAC=60°证明：做 AX⊥EF 交 BC 于 Y，由定理 4 知 AD’ID 为调和点列，故，又 IP=2IQ，则 AX=XY，即 EF 为 AY 中垂线，由正弦定理'IQIPIAXDA，则 AFYC 共圆，同理 AEYB 共圆，故12CFCFsinYsiinsi∠BYF=∠BAC=∠CYE=∠EYF，故∠BAC=60° EF GCA BOPD图 9例 5 如图 11，P 为圆 O 外一点，PA、PB 为圆 O 的两条切线PCD 为任意一条割线，CF平行 PA 且交 AB 于 E求证：CE=EF （2006 国家集训队培训题）证明：由定理 10 及定理 3 即得。

例 6 如图 12，PAB、PCD 为圆 O 割线，AD 交 BC 于 E，AC 交 BD 于 F，则 EF 为 P 的极线 （1997 年 CMO 试题等价表述）证法一：作 AEB 外接圆交 PE 于 M，则 PE*PM=PA*PB=PC*PD，故 CDME 共圆（其实 P为三圆根心且 M 为 PAECBD 密克点） ，从而∠BMD= ∠BAE+∠BCD=∠BOD， BOMD 共圆∠OMT= ∠OMB+∠BMT=∠ODB+∠BAE=90°故 M 为 ST 中点，PS*PT= PA*PB=PE*PM，由定理 2（3）知 E 在 P 极线上，同理 F 亦然，故 EF 为 P 的极线 STMECAOPB D图 10 WVU TS ECAOPB D图 11证法二：如图 13，设 PS、PT 为圆 O 切线在△ABT 中，可以得到*AUBVTWsinsisinASTBDATCB1ASDTCPS由塞瓦定理逆定理知 ST、AD、BC 三线共点于 E，同理 F 亦然，故 EF 为 P 的极线至此，点 P 在圆 O 外时，我们得到了 P 点极线的四种常见的等价定义：1、过 P 反演点做的 OP 的垂线。

2、过 P 任意作割线 PAB，AB 上与 PAB 构成调和点列的点的轨迹所在的直线3、P 对圆 O 的切点弦4、过 P 任意做两条割线 PAB、PCD，AD、BC 交点与 AC、BD 交点的连线注：切线为割线特殊情形，故 3、4 是统一的)例 7 △ABC 内切圆 I 分别切 BC、AB 于 D、F ，AD、CF 分别交 I 于 G、H 求证：(2010 年东南数学奥林匹克 )DFGH HGCBAIFDE图 12证明：如图 14，由定理 13 知 GFDE 为调和四边形，据托勒密定理有 GD*EF=2FG*DE，同理 HF*DE=2DH*EF 相乘得 GD*FH= 4DH*FG 又由托勒密定理 GD*FH= DH*FG+FD*GH，代入即得 3FGH FG JKECABHD I图 13例 8 已知：如图 15，△ ABC 内切圆切 BC 于 D，AD 交圆于 E，作 CF=CD，CF 交 BE于 G求证：GF=FC （2008 年国家队选拔）证明：设另两切点为 H、I，HI 交 BD 于 J，连 JE由定理 10 知 AEKD 为调和点列，由定理 11 知 AD 的极点在 HI 上，又 AD 极点在 BD 上，故 J 为 AD 极点；则 JE 为切线，BDCJ 为调和点列，由 CF=CD 且 JD=JE 知 CF//JE，由定理 3 知 GF=FC。

注：例 8 中 BDCJ 为一组常见调和点列）例 9 如图 16，圆内接完全四边形 ABCDEF 中 AC 交 BD 于 G，则 EFGO 构成垂心组（即任意一点是其余三点的垂心） 证明：据例 6 知 EG，FG 共轭，由定理 1222(EGFGEOF的 幂 的 幂 )-(的 幂的 幂 )=的 幂 的 幂则 OG⊥EF，其余垂直同理可证 PGFEOAB DC图 14注：△EFG 称为极线三角形本题结论优美深刻，初版于 1929 年的[4]已有介绍，它涉及到调和点列、完全四边形、密克点、极线、Apollonius 圆、垂心组等几何中的核心内容本文开头提到的 2010 年联赛题为本题的逆命题，熟悉上述内容的情况下，采用参考答案的反证法在情理之中：如图 1，设 D 不在圆 O 上，令 AD 交圆 O 于 E，CE 交 AB 于P，BE 交 AC 于 Q由例 9 得 PQ//MN；由定理 4 得 MN、AD 调和分割 BC，同理 PQ 亦然，则 PQ//MN//BC，从而 K 为 BC 中点，矛盾！故 ABCD 共圆其实本题也可直接证明，如下：如图 17，由例 3 得∠1=∠2；又 K 不是 BC 中点，类似例 4 证明可得。