二、半群和独异点、群与子群.ppt

第二讲第二讲 半群、群和子群半群、群和子群定义定义 一个代数系统一个代数系统，，其中其中S是非空集合，是非空集合，*是是S上的上的 一个二元运算，如果运算一个二元运算，如果运算*是是封闭的封闭的，则称代数系统，则称代数系统 为为广群广群一一. 广群广群二二. 半群半群定义定义 一个代数系统一个代数系统，，其中其中S是非空集合，是非空集合，*是是S上的上的 一个二元运算，如果一个二元运算，如果 1）运算）运算*是封闭的是封闭的 2）运算）运算*是是可结合的可结合的，即对任意的，即对任意的x,y,z∈∈S，，满足满足 (x * y) * z = x * (y * z) 则称代数系统则称代数系统 为为半群半群例例设集合设集合Sk={x|x ∈∈I ∧∧ x≥k}，，k≥0，，那么那么是一个是一个半群吗？（其中半群吗？（其中+是普通加法运算）是普通加法运算）分析分析 因为加法运算在因为加法运算在Sk上是封闭的，并且该运算可结合，上是封闭的，并且该运算可结合， 所以所以是一个半群。

是一个半群若若k＜＜0，，则运算则运算+在在Sk上是上是不封闭不封闭的 代数系统代数系统是半群吗？是半群吗？呢？呢？注意注意定理定理设设是一个半群，是一个半群，B ⊆ S且且*在在B上是封闭的上是封闭的，那，那末末也是一个半群通常称也是一个半群通常称是半群是半群的的子半群子半群证明证明 因为因为*在在S上是可结合的，而上是可结合的，而B ⊆ ⊆ S 所以所以*在在B上也是可上也是可结合的，又结合的，又*在在B上是封闭的，因此，上是封闭的，因此， 也是一个半群也是一个半群例例 代数系统代数系统 < <[0,1],×> >，，< <[0,1), ×> >，，< >都是都是< >的的 子半群结合性是结合性是可继承的可继承的定理定理设设是一个是一个半群半群，如果，如果S是一个是一个有限集有限集，则必有，则必有a∈∈S，，使得使得a*a=a证明证明 因为因为是一个半群对于是一个半群对于 b S ，由，由*的封闭性可知的封闭性可知 b*b S，，记记b2=b*b b2*b=b*b2 S，，记记b3=b2*b=b*b2 …… 由于由于S是有限集，所以必存在是有限集，所以必存在 j>i，，使得使得bi=bj 令令p=j－－i，，有有bi=bp*bi，，所以对所以对q≥i，，有有bq=bp*bq 因为因为p≥1，，所以总可以找到所以总可以找到k≥1，，使得使得kp≥i 就有就有bkp= bp*bkp = bp*(bp*bkp) = b2p*bkp = b2p*(bp*bkp) =…… = bkp*bkp 这就证明了在这就证明了在S中存在元素中存在元素a= bkp，，使得使得a*a=a。

三三.独异点独异点定义定义 含有幺元的半群称为独异点含有幺元的半群称为独异点例例 代数系统代数系统是一个独异点因为是一个独异点因为是半群，且是半群，且0是是 R中关于运算中关于运算+的幺元 代数系统代数系统 都是独异点，幺元为都是独异点，幺元为1定理定理 设设是一个独异点，则在关于运算是一个独异点，则在关于运算*的运算表中的运算表中任何任何 两行或两列两行或两列都是都是不相同不相同的证明证明 设设S中关于运算中关于运算*的幺元是的幺元是e因为因为 a,b S且且a≠b，，总有总有 e*a=a≠b=e*b 和和 a*e=a≠b=b*e 所以，在所以，在*的运算表中任何两行或两列都是不相同的的运算表中任何两行或两列都是不相同的定理定理设设是独异点，对于任意是独异点，对于任意a,b∈∈S,且且a,b均有逆元，则均有逆元，则1)(a-1)-1=a2)a * b有逆元，且有逆元，且(a * b)-1=b-1 * a-1证明证明 1) 因为因为a-1是是a 的逆元，即的逆元，即 a*a-1=a-1 * a=e 所以，所以， (a-1)-1=a 2) 因为因为(a * b) *(b-1 * a-1)=a *(b * b-1) * a-1 =a * e * a-1 =a * a-1 =e 同理可证同理可证 (b-1 * a-1) *(a * b) =e 所以所以(a * b)-1=b-1 * a-1四四.群群定义定义 设设一个代数系统一个代数系统，，其中其中G是非空集合，是非空集合，*是是G上上 的一个二元运算，如果的一个二元运算，如果 1）运算）运算*是封闭的是封闭的。

2）运算）运算*是是可结合的可结合的 3）存在）存在幺元幺元e 4））对于每一个元素对于每一个元素x∈∈ G，，存在着它的存在着它的逆元逆元x-1 则称代数系统则称代数系统 为为群群{群}  {独异点}  {半群}  {广群}五五.有限群有限群定义定义 设设是一个群如果是一个群如果G是有限集，那末称是有限集，那末称为为 有限群有限群，，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记 为为|G|；；如果如果G是无限集，则称是无限集，则称为为无限群无限群例例 ，，都是群考察如下代数系统是否构成群考察如下代数系统是否构成群，，，，？？定理定理群中群中不可能不可能有零元证明证明 当群的阶为当群的阶为1时，它的唯一元素视为幺元。

时，它的唯一元素视为幺元 设设|G|>1且群且群有零元有零元θ 那末群中任何元素那末群中任何元素x∈∈G，， 都有都有x*θ= θ*x= θ≠e，，所以，零元所以，零元θ就不存在逆元，这与就不存在逆元，这与 是群相矛盾是群相矛盾定理定理 设设是一个群，对于是一个群，对于a,b∈∈G,必存在唯一的必存在唯一的x∈∈G, 使得使得a*x=b.证明证明 1）存在）存在 2）唯一）唯一设设a的逆元是的逆元是a-1,令令 x =a-1*b则则a*x=a*(a-1*b) =(a*a-1)*b =e*b =b若另有一若另有一x1,满足满足a*x1=b则则 a-1*(a*x1)=a-1*b即即x1=a-1*b定理定理设设< G,*>是一个群，对于任意的是一个群，对于任意的a,b,c∈Ga,b,c∈G，，如果有如果有a a * * b=a b=a * * c c或者或者b b * * a=c a=c * * a, a,则必有则必有b=cb=c。

消去律消去律））证明证明 设设a * b=a * c，，且且a的逆元是的逆元是a-1，，则有则有 a-1 *(a * b)=a-1 *(a * c) (a-1 * a) * b=(a-1 * a) * c e * b=e * c b=c 当当b * a=c * a时，可同样证得时，可同样证得b=c定义定义　设　设S是一个非空集合，从集合是一个非空集合，从集合S到到S的一个双射称为的一个双射称为S的一个置换的一个置换定理定理　　群群的运算表中的每一行或每一列都是的运算表中的每一行或每一列都是G的元的元素的一个置换素的一个置换证明见书Ｐ证明见书Ｐ193等幂元等幂元证明证明 因为因为e * e=e，，所以所以e是等幂元是等幂元 假设存在假设存在a∈∈A,a≠e且且a * a=a 则有则有 a=e * a=(a-1 * a) * a=a-1 *(a * a)=a-1 * a=e 与假设与假设a ≠ e相矛盾。

相矛盾定义定义 代数系统代数系统< >中，如果中，如果存在存在a∈Ga∈G，，有有a a * * a=a a=a，， 则称则称a a为为等幂元等幂元定理定理 在群在群中，除幺元中，除幺元e外，不可能有任何别的等幂元外，不可能有任何别的等幂元六六.子群子群定义定义 设设< *>是一个群是一个群，，S S是是G G的的非空子集非空子集，如果，如果< S,*>也也 构成群，则称构成群，则称 < *>是是< G,*>的一个的一个子群子群定理定理 设设< G,*>是一个群，是一个群， < *>是是< G,*>的一个子群，那末，的一个子群，那末， < G,*>中的幺元中的幺元 e e 必定也是必定也是< S,*>中的幺元中的幺元证明证明 设设中的幺元为中的幺元为e1，，对于任一对于任一x∈∈S   G，，必有必有 e1*x=x=e*x 由消去律可知，由消去律可知，e1=e。