w10刚体平面运动.ppt

112第第10章章 刚体的平面运动刚体的平面运动2 §10–1 刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述 §10–2 平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动 · 刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程 §10–3 平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度·速度投影定速度投影定 理理 ·速度瞬心速度瞬心 §10–4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 · 加速度瞬心的概念加速度瞬心的概念 习题课习题课第第10章章 刚体的平面运动刚体的平面运动3 刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动．然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式．　§10-1 刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述一．平面运动的定义一．平面运动的定义　 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．4例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，点作圆周运动，B点作直线运动点作直线运动，因此，AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动．5 二．平面运动的简化二．平面运动的简化　　刚体的平面运动可以刚体的平面运动可以简化为平面图形简化为平面图形S在其自在其自身平面内的运动．身平面内的运动．即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度．6§10-2 平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动· 刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程 一．平面运动方程一．平面运动方程　　为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置．　 任意线段AB的位置可用A点的坐标和AB与x轴夹角表示．因此图形S 的位置决定于　　　　　三个独立的参变量．所以7 二．平面运动分解为平动和转动二．平面运动分解为平动和转动　 当图形Ｓ上Ａ点不动时（x,y坐标已定），则刚体作定轴转动　 当图形Ｓ上  角不变时，则刚体作平动．故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．　平面运动方程平面运动方程对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的　　　　 ， 图形S在该瞬时的位置也就确定了(平面刚体有3个自由度)。

8例如　车轮的运动．例如　车轮的运动．　 车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成． 车轮对于静系的平面运动车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）（绝对运动） 车厢（动系车厢（动系Ax  y  ) 相对静系的平动相对静系的平动 （牵连运动）（牵连运动）　　 车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系Ax  y ）的转动）的转动 （相对运动）（相对运动） 9 我们称动系上的原点Ａ为基点基点，于是车轮的平面运动车轮的平面运动随基点随基点A的平动的平动绕基点绕基点A'的转动的转动刚体的平面运动可以刚体的平面运动可以分解为随基点的平动分解为随基点的平动和绕基点的转动．和绕基点的转动．10再例如再例如: 平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II1.以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点转 角到A'B'2.以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点转 　 角到A'B'图中看出：AB A'B''  A''B' ，　　　　于是有11 所以，平面运动随基点平动的运动规律与基平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关无关．(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的 ,都是相同的）基点的选取是任意的基点的选取是任意的。

通常选取运动情况已知的点作为基点)12曲柄连杆机构曲柄连杆机构AB杆作平面运动杆作平面运动平面运动的分解平面运动的分解13§10-3　平面图形内各点的速度　平面图形内各点的速度根据速度合成定理则Ｂ点速度为： 一．基点法（合成法）一．基点法（合成法）取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成已知：图形S内一点A的速度　　，图形角速度　求：指向与 转向一致．取A为基点, 将动系固结于A点,动系作平动14即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和点转动的速度的矢量和．．这种求解速度的方法称为基点法基点法，也称为合成法合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．⒉⒉ 讨论讨论 ⑵⑵ 共包括大小共包括大小﹑ 方向方向 六个要素，已六个要素，已知任意四个要素，能求出另外两个要素知任意四个要素，能求出另外两个要素⑴⑴ 是矢量式，符合矢量合成法则；是矢量式，符合矢量合成法则；15　 由于A, B点是任意的，因此　　　　　　 表示了图形上任意两点速度间的关系．由于恒有　　　 ，因此将上式在AB上投影，有—速度投影定理速度投影定理即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等等．．这种求解速度的方法称为 速度投影法速度投影法．二．速度投影法二．速度投影法⒉⒉ 讨论讨论可解一个未知量。

可解一个未知量16 三．瞬时速度中心法（速度瞬心法）三．瞬时速度中心法（速度瞬心法）　 1. 问题的提出问题的提出　 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？ ２．速度瞬心的概念２．速度瞬心的概念　 平面图形S，某瞬时其上一点A速度　 , 图形角速度，沿 方向取半直线AL, 然后顺 的转向转90o至AL'的位置,在AL'上取长度 则：17　　　　一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心1、定理基点：A18 即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．３．几种确定速度瞬心位置的方法３．几种确定速度瞬心位置的方法　①①已知图形上一点的速度　 和图形角速度， 可以确定速度瞬心的位置．（P点）　　　　　　　　　且Ｐ在　 顺转向绕A点 转90º的方向一侧． ②②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬心． 19 ④④ 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 大小,且(b)(a) ③③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 过A , B两点分别作速度 的垂线,交点 P即为该瞬间的速度瞬心.20另：对④④种(a)的情况，若vA＝vB， 则也是瞬时平动． ⑤⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直．　 此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动瞬时平动. (此时各点的加速度不相等)21例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动．此时连杆BC的图形角速度 ，BC杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等．设匀，则而　　的方向沿AC的，　　　瞬时平动与平动不同瞬时平动与平动不同22４４. 速度瞬心法速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.　 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。

　若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度　　　　　　　方向AP，指向与 一致 ５５. 注意的问题注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的在任一瞬时是唯一存在的 速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零不同于定轴转动 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速 度是不一定相同的不同于刚体作平动23解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动 基点法（合成法） 研究 AB，以 A为基点，且　　　　方向如图示　　）[例例1] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀 转动 求：当 =45º时, 滑块B的速度及AB杆的角速度．根据在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示24（　　）试比较上述三种方法的特点根据速度投影定理不能求出 速度投影法 研究AB,　 ,　方向OA, 　方向沿BO直线 速度瞬心法　研究AB，已知　　　的方向，因此可确定出P点为速度瞬心25§10-4 * 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度　　　　　　　　 加速度瞬心的概念加速度瞬心的概念取A为基点，将平动坐标系固结于A点取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动．于是,由牵连平动时加速度合成定理　　　　　可得如下公式．一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度　 和图形 的 , （某一瞬时）。

求： 该瞬时图形上任一点B的加速度26其中：　　　　　，方向AB，指向与 一致；　　　　　　　　，方向沿AB，指向A点　　即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和这种求解加速度的方法称为基点法，也称为合成法是求解平面图形内一点加速度的基本方法　　⒉⒉ 讨论讨论⑴⑴ 是矢量式，符合矢量合成法则；是矢量式，符合矢量合成法则； ⑵⑵ 共包括大小共包括大小﹑ 方向方向 八个要素八个要素，，已知任意已知任意六六个要素，能求出另外两个要素个要素，能求出另外两个要素由于　　　　由于　　　　 方向总是已知，所以在该公式中，只要再知道四个要素，即方向总是已知，所以在该公式中，只要再知道四个要素，即可解出其余两个待求量可解出其余两个待求量27　 二．加速度瞬心．　　由于　　 的大小和方向随B点的不同而不同,所以总可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度　　 大小恰与基点A的加速度　　等值反向，其绝对加速度　　　Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心．[注注] 一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点．　 一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关对于加速度没有类似于速度投影定理的关 系式系式. 即一般情况下,图形上任意两点A, B的加速度 若某瞬时图形 =0, 即瞬时平动, 则有 即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等．28 由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基 点法求图形上各点的加速度或图形角加速度．分析：　　大小 ？ √ Ｒ Ｒ 2　　 方向 ？ √ √ √ 　故应先求出 ．（　　） [例例1] 半径为R的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心O点的速度　及加速度　 ,求车轮与轨道接触点P的加速度．解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，29由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而（　　） 由此看出，速度瞬心速度瞬心P的加速度并不等于零的加速度并不等于零，即它不是加速度即它不是加速度瞬心瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心．　以O为基点，有 其中： 做出加速度矢量图，由图中看出：　　　 （　 与　　 等值反向） 即　　30　　　　例9-8　如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度ω1绕O1转动。

大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只滚不滑设A和B是行星轮缘 上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上求：点A和B的加速度31解: 1、轮Ⅰ作平面运动，瞬心为 C322、选基点为Ｏ√√√√√√33√√√√√√34第第10章　刚体平面运动总结习题课章　刚体平面运动总结习题课一．概念与内容一．概念与内容　1. 刚体平面运动的定义　　刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变．　2. 刚体平面运动的简化　　可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动． 3. 刚体平面运动的分解 分解为 4. 基点　　　可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点． 随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）355. 瞬心（速度瞬心） 任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点　 瞬心位置随时间改变． 每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．这 种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同．   =0, 瞬心位于无穷远处, 各点速度相同, 刚体作瞬时平动, 瞬时平动与平动不同．6. 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例．7. 求平面图形上任一点速度的方法　 基点法： 速度投影法： 速度瞬心法：其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例．36 8. 求平面图形上一点加速度的方法基点法：　　　　　　　 　，A为基点, 是最常用的方法此外，当 =0,瞬时平动时也可采用方法瞬时平动时也可采用方法它是基点法在 =0时的特例。

9. 平面运动方法与合成运动方法的应用条件　平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速 度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形 角速度、角加速度之间的关系．　合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有 相对滑动时的运动关系的传递．37二．解题步骤和要点二．解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动 形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体． 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速 度(图形角速度)问题的方法, 用基点法求加速度(图形角加速 度) 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量． (基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法: 不能求出图形 ; 速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）38[例例1] 曲柄肘杆压床机构已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平求该位置时的　　、　 及39[例例1] 曲柄肘杆压床机构已知:OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平.求该位置时的　　， 及解：OA,BC作定轴转动, AB,BD均作平面运动 根据题意： 研究AB, P１为其速度瞬心（　 ）研究BD, P2为其速度瞬心, BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD（　　）40解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点）([例例2] 行星齿轮机构已知: R, r , o 轮A作纯滚动，求41解解：轴O, 杆OC, 楔块M均作平动, 圆盘作平面运动，P为速度瞬心）([例例3] 平面机构中, 楔块M:  =30º, v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动．求圆盘的及轴O的速度和B点速度．42  比较比较[例例2]和和[例例3]可以看出可以看出, 不能认为圆轮只滚不滑时不能认为圆轮只滚不滑时,接接 触点就是瞬心触点就是瞬心, 只有在接触面是固定面时只有在接触面是固定面时, 圆轮上接触点圆轮上接触点 才是速度瞬心才是速度瞬心  每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和 角速度角速度, 并且瞬心在刚体或其扩大部分上并且瞬心在刚体或其扩大部分上, 不能认为瞬心在不能认为瞬心在 其他刚体上其他刚体上. 例如例如, [例例1] 中中AB的瞬心在的瞬心在P1点点,BD的瞬心在的瞬心在P2 点点, 而且而且P1也不是也不是CB杆上的点杆上的点43解：(a) AB作平动，[例例2] 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A/O2B 试问(a),(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？(a)(b)*平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度44(b) AB作平面运动, 图示瞬时作瞬时平动, 此时*平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度45[例例3] 曲柄滚轮机构 滚子半径R=15cm, n=60 rpm求：当 =60º时 (OAAB),滚轮的Ｂ，Ｂ．*平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度46解解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动研究AB：（　）P１为其速度瞬心分析分析: 要想求出滚轮的Ｂ, Ｂ 先要求出vB, aBP2P1vBP2为轮速度瞬心*平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度47取A为基点，指向O点大小？ √　 ？　 √方向√ √ √ √作加速度矢量图，将上式向BA线上投影）(）(研究轮B：P2为其速度瞬心*平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度48补充习题•难度大49[例例4] 导槽滑块机构已知已知： 曲柄OA= r , 匀角速度 转动, 连杆AB的中点C处连接一 滑块C可沿导槽O1D滑动, AB=l,图示瞬时O,A,O1三点 在同一水平线上, OAAB, AO1C= =30。

求求：该瞬时O1D的角速度．解解：OA, O1D均作定轴转动, AB作平面运动 研究研究AB: 　　　 , 图示位置, 作瞬时平动瞬时平动, 所以用合成运动方法求O1D杆上与滑块C 接触的点的速度 动点动点: AB杆上C (或滑块C ), 动系动系: O1D杆, 静系静系: 机架50绝对运动绝对运动：曲线运动　　　　　，方向相对运动相对运动：直线运动，　　，方向// O1D牵连运动牵连运动：定轴转动，　　，方向 O1D根据　　　　　，作速度平行四边形作速度平行四边形 ）( 这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题求解的综合性问题．注意这类题的解法，再看下例．51[例例5] 平面机构图示瞬时, O点在AB中点,  =60º,BCAB, 已知O,C在同一水平线上,AB=20cm,vA=16cm/s ,试求试求该瞬时AB杆, BC杆的角速度 及滑块C的速度．解解: 轮A, 杆AB, 杆BC均作平面运动, 套筒O作定轴转动, 滑块C平动. 取套筒上O点为动点动点, 动系动系固结于AB杆; 静系静系固结于机架,　　　　　 , 由于　　　　　沿AB, 所以　方向沿AB并且与　　反向。

从而确定了AB杆上与O点接触点的速度方向研究AB, P1为速度瞬心52也可以用瞬心法求BC和vC，很简便研究研究BC, 以B为基点, 根据　　　　　　作速度平行四边形速度平行四边形）(（　　）53•10-3•10-1454解解:OA定轴转动 ; AB, BC均作平面运动, 滑块B和C均作平动求对AB杆应用速度投影定理：对BC杆应用速度投影定理：[例例6] 已知已知：配气机构中，OA= r , 以等 o转动, 在某瞬时 = 60º ABBC, AB=6 r , BC=　　 . 求求 该瞬时滑块C的 速度和加速度．55求以A为基点为基点求B点加速度：( a )P1为AB杆速度瞬心，而作加速度矢量图作加速度矢量图, 并沿BA方向投影56作加速度矢量图作加速度矢量图, P2 为BC的瞬心,而 P2C = 9 r再以再以B为基点为基点, 求将 (b) 式在BC方向线上投影[注注] 　 　指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同， 反之，结果为负，说明假设与实际指向相反．30º57解解： 应用点的合成运动方法 确定CD杆上C点与AE杆上接触 点C'之间的速度关系 取CD杆上C为动点，动系固结于AE，静系固结于机架；则　　　　　　　　　　(a)应用平面运动方法确定AE上A、 C' 点之间速度关系　　　　　　　　　　　 (b)[例例7] 导槽滑块机构图示瞬时, 杆AB速度　，杆CD速度　　 及 角已知，且AC= l , 求导槽AE的图形角速度．58将 (b) 代入 (a) 得　　　　　　　 , 作速度矢量图投至 轴，且vC＝v，v＝u，有　（　　）59求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。

　　　　例9-11　图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为　　图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为　60解：1 、杆BE作平面运动，瞬心在O点取E为基点61沿BE方向投影62绝对运动 ：直线运动(BD)相对运动 ：直线运动(OA)牵连运动 ：定轴转动(轴O)2、动点 ：滑块B 动系 ： OA杆√√√√ √√沿BD方向投影63沿BD方向投影64求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度　　　　例9-12 　在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速v平移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O与杆AC距离为l图示瞬时杆AB与杆AC夹角为　　　65解：1、 动点 ： 铰链A 动系 ： 套筒O 绝对运动 ： 直线运动(AC )相对运动 ： 直线运动(AB )牵连运动 ： 定轴转动(轴O )666768另解： 1、取坐标系Oxy2、 A点的运动方程3、速度、加速度69求：此瞬时AB杆的角速度及角加速度　　　　例9-13 　如图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。

摇杆OC以匀角速度ω绕轴O转动，滑块B以匀速　　　　沿水平导轨滑动图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为　　702、动点 ： 滑块A　 动系 ： OC杆绝对运动 ：未知相对运动 ：直线运动（OC）牵连运动 ：定轴转动（轴O）解：1 、杆AB作平面运动，基点 为B71√√√√沿 方向投影72√√√√√√√73　　　　例9-14 　如图所示平面机构中，杆AC铅直运动，杆BD水平运动，A为铰链，滑块B可沿槽杆AE中的直槽滑动图示瞬时　　　　求：该瞬时槽杆AE的角速度 、角加速度及滑块B相对AE的加速度74解：1、动点：滑块B　动系：杆AE 绝对运动：直线运动（BD） 相对运动：直线运动（AE） 牵连运动：平面运动753、将（c）代入（a）2、杆AE作平面运动 基点：A76沿 方向投影沿 方向投影解得 774、将（d）代入（b）78沿 方向投影沿 方向投影 解之7980。