弹性力学-平面问题.ppt

第二章 平面问题的基本理论,要点,—— 建立平面问题的基本方程,包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等,主 要 内 容,§2-1 平面应力问题与平面应变问题,§2-2 平衡微分方程,§2-3 斜面上的应力 主应力,§2-4 几何方程 刚体位移,§2-5 斜方向的应变及位移,§2-6 物理方程,§2-7 边界条件,§2-8 圣维南原理,§2-9 按位移求解平面问题,§1-10 按应力求解平面问题 相容方程,§1-11 常体力情况下的简化,§1-12 应力函数 逆解法与半逆解法,,,,,,,§2-1 平面应力问题与平面应变问题,1. 平面应力问题,(1) 几何特征,,,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多—— 平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2) 受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化3) 应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴由于板面上不受力，有,,,因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变可认为整个薄板的各点都有：,由剪应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,,,应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。

2. 平面应变问题,(1) 几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化—— 近似认为无限长,(2) 外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化约束 —— 沿长度 z 方向不变化3) 变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴设 z方向为无限长，则,沿 z 方向都不变化，,仅为 x，y 的函数任一横截面均可视为对称面,水坝,因为任一横截面均可视为对称面，则有,所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面—— 平面位移问题,,—— 平面应变问题,注：,,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中应力分量：,—— 仅为 x y 的函数可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,3. 平面问题的求解,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：,,,—— 仅为 x y 的函数,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。

应力与体力、面力间的关系；,形变与位移间的关系；,建立边界条件：,—— 平衡微分方程,—— 几何方程,—— 物理方程,,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,两类平面问题：,平面应力问题,平面应变问题,几何特征,受力特征,应力特征,,几何特征;,受力特征;,应变特征上次课的主要内容：,外力、应力、形变、位移基本假定：,（1） 连续性假定；,（2） 线弹性假定；,（3） 均匀性假定；,（4） 各向同性假定；,（5）小变形假定注意：剪应力正负号规定）,（掌握这些假定的作用）,基本概念：,§2-2 平衡微分方程,取微元体PABC（P点附近），,,,,,Z 方向取单位长度设P点应力已知：,体力：X ，Y,AC面：,,BC面：,,注： 这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸由微元体PABC平衡，得,整理得：,—— 剪应力互等定理,两边同除以dx dy，并整理得：,两边同除以dx dy，并整理得：,平面问题的平衡微分方程：,（2-2）,说明：,,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：,—— 超静定问题，需找补充方程才能求解2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；,（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。

§2-3 斜面上的应力 主应力,1. 斜面上的应力,（1）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YN,设P点的应力分量已知：,斜面AB上的应力矢量: s,斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：,,,,由微元体平衡：,整理得：,（2-3）,整理得：,（2-4）,外法线,（2）斜面上的正应力与剪应力,,,（2-3）,（2-4）,将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：,（2-5）,（2-6）,,说明：,,（1）运用了剪应力互等定理：,（2） 的正负号规定：,将 N 转动90°而到达 的方向是顺时针的，则该 为正；反之为负—— 任意斜截面上应力计算公式,（3）若AB面为物体的边界S，则,（2-18）,—— 平面问题的应力边界条件,2. 一点的主应力与应力主向,,（1）主应力,若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力 ；,当 时，有,,,,求解得：,,,（2-7）,—— 平面应力状态主应力的计算公式,主应力 所在的平面 —— 称为主平面；,主应力 所在平面的法线方向 —— 称为应力主向；,由式（2-7）易得：,—— 平面应力状态应力第一不变量,（2）应力主向,,设σ1 与 x 轴的夹角为α1， σ1与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则,设σ2 与 x 轴的夹角为α2， σ2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则,应力主向的计算公式：,（2-8）,由,得,,显然有,表明：,σ1 与 σ2 互相垂直。

结论,任一点P，一定存在两 互相垂直的主应力σ1 、 σ2 3）σN 的主应力表示,由,,,,σ1 与 σ2 分别为最大和最小应力4）最大、最小剪应力,由,,显然，当,时，τN为最大、最小值：,由,得，,τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°小结：,（2-18）,—— 平面问题的应力边界条件,,（1）斜面上的应力,（2-8）,表明：σ1 与 σ2 互相垂直2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力,（2-7）,τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°§2-4 几何方程 刚体位移,建立：平面问题中应变与位移的关系,—— 几何方程,1. 几何方程,一点的变形,,线段的伸长或缩短；,线段间的相对转动；,考察P点邻域内线段的变形：,,,,,变形前,变形后,,P,A,B,,,,,u,v,,,注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量PA的正应变：,PB的正应变：,P点的剪应变：,P点两直角线段夹角的变化,,,整理得：,——几何方程,（2-9）,说明：,,（1）,反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一2）,当 u、v 已知，则 可完全确定；反之，已知 ，不能确定u、v。

∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定3）,—— 以两线段夹角减小为正，增大为负2. 刚体位移,物体无变形，只有刚体位移 即：,,(a),(b),(c),由(a)、(b)可求得：,(d),将(d)代入(c)，得：,或写成：,∵上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅 x 的函数，∴两边只能等于同一常数，即,(d),积分(e) ，得：,(e),其中，u0、v0为积分常数 （x、y方向的刚体位移），代入（d）得:,(2-10),—— 刚体位移表达式,,,讨论：,（1）,仅有x方向平移2）,仅有y方向平移3）,,r,,,说明：,—— P点沿切向绕O点转动,ω —— 绕O点转过的角度（刚性转动）,§2-5 斜方向的应变及位移,1. 斜方向的正应变εN,问题：,已知 ，求任意方向的线应变εN 和线段夹角的变化设 P 点的坐标为 (x，y)，N 点的坐标为（x+dx，y+dy），PN 的长度为 dr，PN 的方向余弦为：,于是PN 在坐标轴上的投影为：,N 点位移：,,变形后的P1N1在坐标方向的投影：,,设PN变形后的长度 P1N1=dr′， PN 方向的应变为εN ，由应变的定义：,（2-11）,3. 斜方向应变公式的应用,（1）,已知一点的应变 ，可计算任意方向的应变 。

的最大值、最小值主应变、主应变方向等2）,已知一点任意三方向的应变 ，可求得该点的应变分量 若 用45°应变花测构件表面应变：,,,,,,若 用120°应变花测构件表面应变，即：,求得该点的应变分量:,作为作业！,,§2-6 物理方程,建立：平面问题中应力与应变的关系,物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程1. 各向同性弹性体的物理方程,在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律2-13）,其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；μ为侧向收缩系数，又称泊松比1）平面应力问题的物理方程,,由于平面应力问题中,,（2-15）,—— 平面应力问题的物理方程,注：,,(1),,(2),—— 物理方程的另一形式,（2）平面应变问题的物理方程,由于平面应变问题中,,（2-16）,—— 平面应变问题的物理方程,注：,(2),平面应变问题 物理方程的另一形式：,由式（2-13）第三式，得,？,（3）两类平面问题物理方程的转换：,(1),平面应力问题,平面应变问题,,材料常数的转换为：,,,,(2),平面应变问题,平面应力问题,,材料常数的转换为：,,,,,§2-7 边界条件,1. 弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2-2）,（2）几何方程：,（2-9）,（3）物理方程：,未知量数：,,8个,方程数：,,8个,结论：,在适当的边界条件下，上述8个方程可解。

2. 边界条件及其分类,边界条件：,建立边界上的物理量与内部物理量间的关系是力学计算模型建立的重要环节边界分类,,（1）位移边界,（2）应力边界,（3）混合边界,—— 三类边界,,（1）位移边界条件,位移分量已知的边界 —— 位移边界,用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,（2-17）,—— 平面问题的位移边界条件,说明：,称为固定位移边界2）应力边界条件,给定面力分量 边界 —— 应力边界,由前面斜面的应力分析，得,,式中取：,得到：,（2-18）,式中：,l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦如：,—— 平面问题的应力边界条件,垂直 x 轴的边界：,垂直 y 轴的边界：,,例1,如图所示，试写出其边界条件q,(1),(2),,(3),,(4),,说明：,x = 0 的边界条件，是有矛盾的由此只能求出结果：,,,,第二章内容回顾：,1.,两类平面问题：,平面应力问题,平面应变问题,几何特征;,受力特征;,应力特征几何特征;,受力特征;,应变特征水坝,滚柱,——位移边界条件,2.,平面问题的基本方程：,（1）平衡方程：,（2-2）,（2）几何方程：,（2-9）,（3）物理方程：,（4）边界条件：,,（1）,（2）,,——应力边界条件,——平面应力问题,。