届高三数学大一轮复习二项式定理学案理新人教A版.doc

1学案 65　二项式定理导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．自主梳理1．二项式定理的有关概念(1)二项式定理：( a＋ b)n＝C an＋C an－1 b1＋…＋C an－ kbk＋…＋C bn (n∈N *)，这个0n 1n kn n公式叫做______________．①二项展开式：右边的多项式叫做( a＋ b)n的二项展开式．②项数：二项展开式中共有________项．③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________( k＝______________)叫做二项式系数．④通项：在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示，即通项为展开式的第 k＋1 项： Tk＋1 ＝____________________.2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最大值；当 n 为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数和：C ＋C ＋C ＋…＋C ＝______，C ＋C ＋C ＋…＋C ＝________，C ＋C ＋C ＋…＋C0n 1n 2n n 0n 2n 4n 偶 n 1n 3n 5n 奇 n＝________.自我检测1．(2011·福建)(1＋2 x)5的展开式中， x2的系数等于(　　)A．80 B．40 C．20 D．102．(2011·陕西)(4 x－2 － x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)A．－20 B．－15 C．15 D．203．( x－ y)10的展开式中 x6y4项的系数是(　　)2A．840 B．－840 C．210 D．－2104．(2010·四川) 6的展开式中的第四项是 ______．(2－ 13x)5．(2011·山东)若( x－ )6展开式的常数项为 60，则常数 a 的值为________．ax26．(2011·烟台期末)已知 n 为正偶数，且 n的展开式中第 4 项的二项式系数(x2－12x)最大，则第 4 项的系数是__________．(用数字作答)探究点一　二项展开式及通项公式的应用例 1　已知在 n的展开式中，第 6 项为常数项．(3x－ 123x)(1)求 n；(2)求含 x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．2变式迁移 1　(2010·湖北)在( x＋ y)20的展开式中，系数为有理数的项共有43________项．探究点二　二项式系数的性质及其应用例 2　(1)求证：C ＋2C ＋3C ＋…＋ nC ＝ n·2n－1 ；1n 2n 3n n(2)求 S＝C ＋C ＋…＋C 除以 9 的余数．127 27 27变式迁移 2　(2011·上海卢湾区质量调研)求 C ＋C ＋…＋C ＋…＋C 的值．2n 42n 2kn 2n探究点三　求系数最大项例 3　已知 f(x)＝( ＋3 x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.3x2(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．变式迁移 3　(1)在( x＋ y)n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于(　　)A．13,14 B．14,15C．12,13 D．11,12,133(2)已知 n，(ⅰ)若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，(12＋ 2x)求展开式中二项式系数的最大项的系数；(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项．1．二项式系数与项的系数是不同的，如( a＋ bx)n (a， b∈R)的展开式中，第 r＋1 项的二项式系数是 C ，而第 r＋1 项的系数为 C an－ rbr.rn rn2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意：C an－ rbr是第 r＋1 项，而不是第 r 项．rn3．在( a＋ b)n的展开式中，令 a＝ b＝1，得 C ＋C ＋…＋C ＝2 n；令 a＝1， b＝－1，0n 1n n得 C －C ＋C －C ＋…＝0，∴C ＋C ＋C ＋…＝C ＋C ＋C ＋…＝2 n－1 ，这种由一0n 1n 2n 3n 0n 2n 4n 1n 3n 5n般到特殊的方法是“赋值法” ．4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 C ＝C ，C ＝C ，C ＝C ，…，C ＝C .(2)如果二项式的0n n 1n n－ 1n 2n n－ 2n rn n－ rn幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当 n 不是很大，| x|比较小时，(1＋ x)n≈1＋ nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧． (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1．(2011·山东实验中学模拟)在 24的展开式中， x 的幂指数是整数的项共有(　　)(x＋ 13x)A．3 项 B．4 项 C．5 项 D．6 项2．(2011·重庆)(1＋3 x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5与 x6的系数相等，则 n等于(　　)A．6 B．7C．8 D．93．(2011·黄山期末)在 n的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开(x2－ 13x)4式中常数项是(　　)A．－7 B．7 C．－28 D．284．(2010·烟台高三一模)如果 n的展开式中二项式系数之和为 128，则展开(3x－ 13x2)式中 的系数是(　　)1x3A．7 B．－7 C．21 D．－215．在(1－ x)5＋(1－ x)6＋(1－ x)7＋(1－ x)8的展开式中，含 x3的项的系数是(　　)A．74 B．121 C．－74 D．－121二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6．(2011·湖北)( x－ )18的展开式中含 x15的项的系数为__________．(结果用数值13x表示)7．(2011·济南高三模拟)已知 a＝ (sin t＋cos t)dt，则 6的展开式中的常π∫0 (x－ 1ax)数项为________．8. 10的展开式中的常数项是________．(1＋ x＋1x2)三、解答题(共 38 分)9．(12 分)(1)设(3 x－1) 4＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋ a3x3＋ a4x4.①求 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4；②求 a0＋ a2＋ a4；③求 a1＋ a2＋ a3＋ a4；(2)求证：3 2n＋2 －8 n－9 能被 64 整除( n∈N *)．10．(12 分)利用二项式定理证明对一切 n∈N *，都有 2≤ n<3.(1＋1n)511．(14 分)(2011·泰安模拟)已知 n (n∈N *)的展开式中第五项的系数与第三(x－2x2)项的系数的比是 10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含 的项； 32x(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．学案 65　二项式定理自主梳理1．(1)二项式定理　② n＋1　③C 　0,1,2，…， n　④C an－ kbkkn knC an－ kbk　2.(1)等距离　(2) 　 　kn 2C1+12-(3)2n　2 n－1 　2 n－1自我检测1．B　[(1＋2 x)5的第 r＋1 项为 Tr＋1 ＝C (2x)r＝2 rC xr，令 r＝2，得 x2的系数为r5 r522·C ＝40.]252．C　[设展开式的常数项是第 r＋1 项，则 Tr＋1 ＝C ·(4x)r·(－2 － x)6－ r，即r6Tr＋1 ＝C ·(－1) 6－ r·22rx·2rx－6 x＝C ·(－1) 6－ r·23rx－6 x，∴3 rx－6 x＝0 恒成r6 r6立．∴ r＝2，∴ T3＝C ·(－1) 4＝15.∴选 C.]263．A4．－160x5．4解析　( x－ )6展开式的通项为 Tr＋1 ＝C x6－ r(－1) r·( )r·x－2 r＝C x6－3 r(－1) r·(ax2 r6 a r6)r.a令 6－3 r＝0，得 r＝2.故 C ( )2＝60，解得 a＝4.26 a6．－52课堂活动区例 1　解题导引　(1)通项 Tr＋1 ＝C an－ rbr是( a＋ b)n的展开式的第 r＋1 项，而不是rn第 r 项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C ， r＝0,1,2，…， n，与 a， b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．rn(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项6公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．解　(1)通项公式为 Tr＋1 ＝C rrn 3x-(－ 12) 3-＝C r ，rn(－12) 3nx-因为第 6 项为常数项，所以 r＝5 时，有 ＝0，n－ 2r3即 n＝10.(2)令 ＝2，得 r＝ (n－6)＝ ×(10－6)＝2，n－ 2r3 12 12∴所求的系数为 C 2＝ .210(－12) 454(3)根据通项公式，由题意得Error!令 ＝ k (k∈Z)，则 10－2 r＝3 k，10－ 2r3即 r＝5－ k，∵ r∈N，∴ k 应为偶数．32∴ k 可取 2,0，－2，即 r 可取 2,5,8.所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为C 2x2，C 5，C 8x－2 .210(－12) 510(－ 12) 810(－ 12)变式迁移 1　6解析　展开式的通项 Tr＋1 ＝C ·x20－ r·( y)rr20 43＝C ·x20－ r·yr· .r20 43由 0≤ r≤20， ∈Z 得 r＝0,4,8,12,16,20.r4所以系数为有理数的项共有 6 项．例 2　解题导引　(1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C ＝C ＝C ，C ＝C ， kC ＝ nC 等式子的变形技巧；0n n n＋ 1＋ kn n－ kn kn k－ 1n－(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式 f(x)、除式 g(x)[g(x)≠0]、商式 q(x)与余式的关系及余式的范围．(1)证明　方法一　设 S＝C ＋2C ＋3C ＋…＋( n－1)·C ＋ nC ，①1n 2n 3n n－ 1n n∴ S＝ nC ＋( n－1)C ＋( n－2)C ＋…＋2C ＋Cn n－ 1n n－ 2n 2n 1n＝ nC ＋( n－1)C ＋( n－2)C ＋…＋2C ＋C ，②0n 1n 2n n－ 2n n－ 1n①＋②得 2S＝ n(C ＋C ＋C ＋…＋C ＋C )＝ n·2n.0n 1n 2n n－ 1n n∴ S＝ n·2n－1 .原式得证．方法二　∵ C ＝ ·knkn kn n！k！  n－ k ！＝ ＝C ， n－ 1 ！ k－ 1 ！  n－ k ！ k－ 1n－∴ kC ＝ nC .kn k－ 1n－∴左边＝ nC ＋ nC ＋…＋ nC0n－ 1 1n－ 1 n－ 1－＝ n(C ＋C ＋…＋C )＝ n·2n－1 ＝右边．0n－ 1 1n－ 1 n－ 1－(2)解　 S＝C ＋C ＋…＋C ＝2 27－1127 27 27。