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复利和年金的计算推导超级详细版作者寄语作者寄语•在你开始阅读这个在你开始阅读这个PPTPPT之前，我有些话要先之前，我有些话要先对读者你讲一讲，关于资金时间价值的复对读者你讲一讲，关于资金时间价值的复利和年金的计算和推导，涉及的数学知识利和年金的计算和推导，涉及的数学知识其实很简单，只是由于数据庞大，因此让其实很简单，只是由于数据庞大，因此让很多人望而却步，因此一定要耐下性子进很多人望而却步，因此一定要耐下性子进行计算，这个幻灯片应该说是财务基础接行计算，这个幻灯片应该说是财务基础接近零的人都可以看会的，关键是要静下心，近零的人都可以看会的，关键是要静下心，一个字一个字的读完，这样才能把这一部一个字一个字的读完，这样才能把这一部分知识彻底领悟到，祝你们成功！分知识彻底领悟到，祝你们成功！字母的含义i——i——报酬率或利率报酬率或利率 n——n——期数期数A——A——每期投入或支付的相同金额，在普通年金每期投入或支付的相同金额，在普通年金中也叫偿债基金中也叫偿债基金F——Future——F——Future——终终P——Present——P——Present——现现V——Value——V——Value——值值 I——I——系数系数 一、复利的计算1 1、复利的终值、复利的终值2 2、复利的现值、复利的现值1、复利的终值 复利的终值：就是一些复利的终值：就是一些钱过钱过n n期之后利滚利的最后期之后利滚利的最后所得总额。

所得总额 1、复利的终值总结计算公式计算公式：：FVn=PVn·(1+i)n注：注：(1+i)n就是传说中的就是传说中的复利终值系数复利终值系数：FVIFi,n=(1+i)n因此，复利终值计算公式又可以写成因此，复利终值计算公式又可以写成FVn=PVn · FVIFi ,n 2、复利的现值 复利的现值：就是利滚复利的现值：就是利滚利过利过n n期后能拿到的一些钱期后能拿到的一些钱在现在值多少钱在现在值多少钱2、复利的现值总结计算公式计算公式：：PVn=FVn·就是传说中的就是传说中的复利复利现现值系数值系数：PVIFi,n=因此，复利现值计算公式又可以写成因此，复利现值计算公式又可以写成PVn=FVn · PVIFi ,n 1————(1+i)n1———(1+i)n注：注：1———(1+i)n二、年金的计算1 1、普通年金、普通年金2 2、即付年金、即付年金3 3、递延年金、递延年金4 4、永续年金、永续年金1、普通年金 普通年金：又叫后付年金，普通年金：又叫后付年金，是指各期期末收付的年金是指各期期末收付的年金 AAAAAAAAA总共总共n n期期（1）普通年金终值 说白了，就是计算每次投入的说白了，就是计算每次投入的A A在第在第n n期期末期期末（也就是线段最右端点）的终值总和。

也就是线段最右端点）的终值总和推导：推导： FVAi,n=A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1=A·∑t=1n(1+i)t-1到这一步如果你看得懂，你很聪明！到这一步如果你看得懂，你很聪明！（1）普通年金终值刚才的结论是下面这个公式刚才的结论是下面这个公式————计算公式计算公式：：FVAi,n= A·∑t=1n(1+i)t-1就是传说中的就是传说中的年金年金终值系数终值系数：FVIFAi,n=注：注： ∑t=1n(1+i)t-1∑t=1n(1+i)t-1因此，年金终值计算公式又可以写成因此，年金终值计算公式又可以写成 FVAi,n=A · FVIFAi,n（1）普通年金终值看到这里，是不是有点晕头转向了呢？看到这里，是不是有点晕头转向了呢？将计算公式：将计算公式：FVAi,n= A·∑t=1n(1+i)t-1变形，变形，等号两端同时乘以等号两端同时乘以(1+i)，得到下式：，得到下式：FVAi,n(1+i)=A·∑t=1n(1+i)t等比数列求和啊！等比数列求和啊！=A·1-(1+i)1-(1+i)n=A·i(1+i)n+1 -1·(1+i)·(1+i)（1）普通年金终值 这样，只要在等号两端再同时除以这样，只要在等号两端再同时除以(1+i)(1+i)，就又，就又诞生了一个变形后的公式诞生了一个变形后的公式————计算公式计算公式：：FVAi,n=A·i(1+i)n+1 -1这样，这样，年金年金终值系数终值系数就变成了就变成了：FVIFAi,n=i(1+i)n+1 -1最后敲定普通年金终值计算公式为最后敲定普通年金终值计算公式为FVAi,n=A·i(1+i)n+1 -1（1）普通年金终值总结我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结————FVAi,n=A·∑t=1n(1+i)t-1=A · FVIFAi,n=A·i(1+i)n+1 -1（2）普通年金现值 说白了，就是计算让每次投入的说白了，就是计算让每次投入的A A退回到第一期退回到第一期期初（也就是线段最左端点）的现值总和。

期初（也就是线段最左端点）的现值总和推导：推导：PVAi,n=A·1———(1+i)+A·1———(1+i)2+A·1———(1+i)3+ ··· +A·=A·∑t=1 n1———(1+i)t1(1+i)n（2）普通年金现值刚才的结论是下面这个公式刚才的结论是下面这个公式————PVAi,n=A·∑t=1 n1———(1+i)t注：注： ∑t=1 n1———(1+i)t就是传说中的就是传说中的年金现年金现值系数值系数：PVIFAi,n=∑t=1 n1———(1+i)t因此，年金现值计算公式又可以写成因此，年金现值计算公式又可以写成 PVAi,n=A · PVIFAi,n（2）普通年金现值PVAi,n=A·∑t=1 n1———(1+i)t=A·1-1+i11+i11-(1+i)n1·=A·i1-(1+i)n1我们将继续利用等比数列求和公式分解我们将继续利用等比数列求和公式分解（2）普通年金现值 这样，又诞生了一个变形后的公式这样，又诞生了一个变形后的公式————计算公式计算公式：：PVAi,n=A·i1-(1+i)n1这样，这样，年金现年金现值系数值系数就变成了就变成了：PVIFAi,n=i1-(1+i)n1最后敲定普通年金现值计算公式为最后敲定普通年金现值计算公式为PVAi,n=A·i1-(1+i)n1（1）普通年金现值总结我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结————PVAi,n=A·∑t=1 n1———(1+i)t=A · PVIFAi,n=A·i1-(1+i)n12、即付年金 即付年金：又叫先付年金，即付年金：又叫先付年金，或预付年金，是指各期期初预或预付年金，是指各期期初预付的年金。

付的年金 AAAAAAAAA总共总共n n期期（1）即付年金终值 说白了，就是计算每次投入的说白了，就是计算每次投入的A A在第在第n n期期末期期末（也就是线段最右端点）的终值总和也就是线段最右端点）的终值总和推导：推导： XFVAi,n=A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n=A·∑t=1n(1+i)t还记得普通年金的终值吗？它仅仅是指数变成了还记得普通年金的终值吗？它仅仅是指数变成了t-1（1）即付年金终值刚才的结论是下面这个公式刚才的结论是下面这个公式————计算公式计算公式：：XFVAi,n=A·∑t=1n(1+i)t我们先不要急着求和，看看即付年金和普通年金的我们先不要急着求和，看看即付年金和普通年金的计算公式如何转化计算公式如何转化A·∑t=1n(1+i)t和和A·∑t=1n(1+i)t-1之间的转化之间的转化即即（1）即付年金终值暂时把暂时把A A抛在一边，看这两个求和抛在一边，看这两个求和∑t=1n(1+i)t∑t=1n(1+i)t-1=(1+i)+(1+i)2+···+(1+i)n=1+(1+i)+(1+i)2+···+(1+i)n-1很明显很明显∑t=1n(1+i)t=∑t=1n(1+i)t-1 ·(1+i)（1）即付年金终值所以，所以， XFVAi,n = FVAi,n ·(1+i) 这一步告诉我们，即付年金终值是普通年金终这一步告诉我们，即付年金终值是普通年金终值的值的(1+i)(1+i)倍，在财务上可以理解为倍，在财务上可以理解为多多计算了一期的计算了一期的终值，因此，在计算即付年金终值时，通常是转化终值，因此，在计算即付年金终值时，通常是转化为普通年金终值，并查阅年金终值系数表而确定的，为普通年金终值，并查阅年金终值系数表而确定的，而年金终值系数表本身就是普通年金的终值系数，而年金终值系数表本身就是普通年金的终值系数，因此这里的公式就显得尤为重要。

因此这里的公式就显得尤为重要（1）即付年金终值现在我们来对即付年金终值进行等比数列求和现在我们来对即付年金终值进行等比数列求和XFVAi,n=A·∑t=1n(1+i)t=A·1-(1+i)1-(1+i)n·(1+i)=A·i(1+i)n+1-(1+i)=A·i(1+i)n+1-1-A=A·[i(1+i)n+1-1-1]（1）即付年金终值不知道大家是否清楚我为什么要把不知道大家是否清楚我为什么要把A A后面的部分整个括后面的部分整个括起来，聪明的人应该明白，要把它看成系数，恩，很好起来，聪明的人应该明白，要把它看成系数，恩，很好[i(1+i)n+1-1]是什么？再次回想普通年是什么？再次回想普通年金终值，看出来没？金终值，看出来没？是的，我知道你看出来了！中括号里的内容就是是的，我知道你看出来了！中括号里的内容就是——n+1期的普通年金终值系数期的普通年金终值系数FVIFAi,n+1（1）即付年金终值我们再次把公式写出来看看我们再次把公式写出来看看————XFVAi,n = FVAi,n+1-A 可以再次从财务角度来解释一下这个公式，其实，可以再次从财务角度来解释一下这个公式，其实，n n期即付年金的终值就是期即付年金的终值就是n+1n+1期普通年金的终值期普通年金的终值去掉去掉一一期的偿债基金后所得。

换句话说，如果即付年金终值期的偿债基金后所得换句话说，如果即付年金终值也有系数，那么即付年金终值系数比普通年金终值系也有系数，那么即付年金终值系数比普通年金终值系数的数的期数多期数多1 1期，但是期，但是系数值少系数值少1 1（1）即付年金终值总结最后，我们把即付年金终值的所有公式进行总结最后，我们把即付年金终值的所有公式进行总结————XFVAi,n=A·∑t=1n(1+i)t=A·i(1+i)n+1-1-A= FVAi,n ·(1+i)= FVAi,n+1-A（2）即付年金现值 说白了，就是计算每次投入的说白了，就是计算每次投入的A A退回到第一期期初退回到第一期期初（也就是线段最左端点）的现值总和也就是线段最左端点）的现值总和推导：推导：XPVAi,n=A+A·1+i1+A·(1+i)21+···+ A·(1+i)n-11=A·∑t=1n(1+i)t-11还记得普通年金的现值吗？同样仅仅是指数变成了还记得普通年金的现值吗？同样仅仅是指数变成了t-1（2）即付年金现值刚才的结论是下面这个公式刚才的结论是下面这个公式————计算公式计算公式：：XPVAi,n 我们先不要急着求和，和计算终值的时候一样，看我们先不要急着求和，和计算终值的时候一样，看看即付年金和普通年金的计算公式如何转化。

看即付年金和普通年金的计算公式如何转化A·∑t=1n和和A· ∑t=1n之间吧！之间吧！即即=A·∑t=1n(1+i)t-11(1+i)t1(1+i)t-11（2）即付年金现值暂时把暂时把A A抛在一边，看这两个求和抛在一边，看这两个求和∑t=1n∑t=1n(1+i)t1(1+i)t-11==(1+i)1(1+i)21++···+(1+i)n1(1+i)1(1+i)21++···+(1+i)n-11很明显很明显∑t=1n∑t=1n(1+i)t1(1+i)t-11=·(1+i)（2）即付年金现值所以，所以， XPVAi,n = PVAi,n ·(1+i) 这一步同样告诉我们，即付年金现值是普通年这一步同样告诉我们，即付年金现值是普通年金现值的金现值的(1+i)(1+i)倍，在财务上可以理解为倍，在财务上可以理解为少少计算了一计算了一期的现值，因此，在计算即付年金现值时，通常是期的现值，因此，在计算即付年金现值时，通常是转化为普通年金现值，并查阅年金现值系数表而确转化为普通年金现值，并查阅年金现值系数表而确定的，而年金现值系数表本身就是普通年金的现值定的，而年金现值系数表本身就是普通年金的现值系数，因此这里的公式就显得尤为重要。

系数，因此这里的公式就显得尤为重要现在我们来对即付年金现值进行等比数列求和现在我们来对即付年金现值进行等比数列求和2）即付年金现值XPVAi,n∑t=1n(1+i)t-11=A·=A·1-(1+i)11-(1+i)n1·1= A·i分子分母同乘分子分母同乘(1+i)(1+i)1-(1+i)n-11+A（2）即付年金现值如果把如果把A A提到外面来，另一边将变成什么？提到外面来，另一边将变成什么？XPVAi,n= A·[i1-(1+i)n-11+1] 回忆一下普通年金现值系数，可知，中括号里就可以回忆一下普通年金现值系数，可知，中括号里就可以变成变成[ [PVIFAi,n-1+1] ]了（2）即付年金现值我们再次把公式写出来看看我们再次把公式写出来看看————XPVAi,n= PVIFAi,n-1+A 仍然可以再从财务角度来解释一下这个公式，仍然可以再从财务角度来解释一下这个公式，n n期期即付年金的现值就是即付年金的现值就是n-1n-1期普通年金的现值期普通年金的现值增加增加一期的一期的偿债基金后所得换句话说，如果即付年金也有现值偿债基金后所得换句话说，如果即付年金也有现值系数，那么即付年金的现值系数比普通年金系数的系数，那么即付年金的现值系数比普通年金系数的期期数少数少1 1期，但是期，但是系数值多系数值多1 1。

（2）即付年金现值最后，我们把即付年金现值的所有公式进行总结最后，我们把即付年金现值的所有公式进行总结————XPVAi,n=A·∑t=1n(1+i)t-11= A·i1-(1+i)n-11+A= PVAi,n ·(1+i)=PVIFAi,n-1+A3、递延年金 递延年金：又叫延期年金，是递延年金：又叫延期年金，是指前面指前面m m期不付，后面期不付，后面n n期每期期末期每期期末交付，直到最后一期期末的年金交付，直到最后一期期末的年金 AAAAAA支付支付n n期期m m期期（1）递延年金终值 由于后面由于后面n n期按照普通年金的方式完成支付，那么期按照普通年金的方式完成支付，那么递延年金的终值实际上就是递延年金的终值实际上就是n n期普通年金的终值期普通年金的终值Pn=A·∑t=1n(1+i)t-1=A · FVIFAi,n=A·i(1+i)n+1 -1这里，对于递延年金的终值就不进行总结了这里，对于递延年金的终值就不进行总结了（2）递延年金现值 首先我想说，递延年金现值有两种计算方法，不首先我想说，递延年金现值有两种计算方法，不知道读者你有没有看出来？知道读者你有没有看出来？ 第一种，前面第一种，前面m m期不看，可以直接计算出后面期不看，可以直接计算出后面n n期期在它本身的期初（不是总共在它本身的期初（不是总共m+nm+n期的期初哦！）的现值，期的期初哦！）的现值，就是上上页线段的前就是上上页线段的前m m期最后一个端点，同时也是后期最后一个端点，同时也是后n n期的最左边端点，然后将这个值看成前期的最左边端点，然后将这个值看成前m m期的终值，调期的终值，调整到前整到前m m期期初，即整个线段最左端点即可。

期期初，即整个线段最左端点即可 第二种，看成是第二种，看成是m+nm+n期的普通年金，计算出现值以期的普通年金，计算出现值以后，减去前后，减去前m m期并未支付的那些现值，剩下的也是递延期并未支付的那些现值，剩下的也是递延年金的现值年金的现值（2）递延年金现值第一种方法第一种方法————P0’=A · PVIFAi,n=A·i1-(1+i)n1P0= P0’·(1+i)m1=A · PVIFAi,n·PVIFi,m你看到了什么？复利现值系数啊！你看到了什么？复利现值系数啊！（2）递延年金现值第二种方法第二种方法————P0’=A · PVIFAi,m+n=A·i1-(1+i)m+n1P0= P0’-Pm=A · PVIFAi,m+n-A · PVIFAi,m（2）递延年金现值为了验证这两种方法是殊途同归，我们来算一算为了验证这两种方法是殊途同归，我们来算一算P0=A · PVIFAi,n·PVIFi,m=A·i1-(1+i)n1(1+i)m1·=A·[(1+i)m1-(1+i)m+n1第第一一种种方方法法]·i1（2）递延年金现值P0 =A · PVIFAi,m+n-A · PVIFAi,m=A·i1-(1+i)m+n1- A·i1-(1+i)m1=A·[(1+i)m1-(1+i)m+n1]·i1第第二二种种方方法法（2）递延年金现值总结很明显，两种方法计算出的结果是一样的。

很明显，两种方法计算出的结果是一样的计算公式：计算公式：P0=A · PVIFAi,n·PVIFi,m=A · PVIFAi,m+n-A · PVIFAi,m提示：关键是注意下标的字母，这是区分的唯一途径提示：关键是注意下标的字母，这是区分的唯一途径4、永续年金 永续年金：是指每期期末都进永续年金：是指每期期末都进行交付，没有最后一期期末，无休行交付，没有最后一期期末，无休止的延续下去的年金止的延续下去的年金 AAAAAAAA…期数为无穷大期数为无穷大永续年金现值 很显然，永续年金没有尽头，因此它当然没有很显然，永续年金没有尽头，因此它当然没有终值，只有现值终值，只有现值 由于永续年金的支付方式和普通年金是一样的，由于永续年金的支付方式和普通年金是一样的，因此，计算方法和普通年金一样因此，计算方法和普通年金一样P=i1-(1+i)n1A·limn→∞=i1。