2023年空间几何体知识点.doc

空间几何体多面体 棱柱 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱 棱柱的性质 （1）侧棱都相等，侧面是平行四边形 （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 （3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形 棱锥 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥 棱锥的性质： （1） 侧棱交于一点侧面都是三角形 （2） 平行于底面的截面与底面是相似的多边形且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方 正棱锥 正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥 正棱锥的性质： （1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高 （3） 多个特殊的直角三角形 esp： a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心 b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心 基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面： 平行、 相交 （2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线 两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a的垂面 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 ③直线和平面平行——没有公共点 直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

两个平面的位置关系： （1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 （2）两个平面的位置关系： 两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线 a、平行 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行 b、相交 二面角 （1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面 （2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角的取值范围为 [0°，180°] （3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱 （4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面 （5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 （6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角 esp. 两平面垂直 两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直记为 ⊥ 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

Attention： 二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系） 空间几何练习题1.1 空间几何体的结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（ ）A 三棱柱 四棱台 球 圆锥B 三棱柱 四棱台 正方体 圆台C 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥D 圆锥 圆台 球 半球2、下列说法正确的是（ ）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（ ）A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱柱 D 五棱锥4、下列说法错误的是（ ）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是（ ）A 四棱柱 B 四棱锥 C 五棱锥 D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（ ）A 1 个 B 2 个 C 3个 D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。

8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为————————————9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是——————10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面则祝你前程似锦“祝”“你”“前”分别表示正方体的—————三、解答题：11、长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，由A到C1在长方体表面上的最短距离为多少？AA1B1BCC1D1D12、说出下列几何体的主要结构特征 （1） （2） （3）1.2空间几何体的三视图和直观图一、选择题1、两条相交直线的平行投影是（ ）A 两条相交直线 B 一条直线C 一条折线 D 两条相交直线或一条直线2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（ ）① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱A ②①③ B ①②③ C ③②④ D ④③②。

正视图侧视图俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 甲 乙 丙3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（ ）A 长方体或圆柱 B 正方体或圆柱C 长方体或圆台 D 正方体或四棱锥4、下列说法正确的是（ ）A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形B 两条相交直线的直观图可能是平行直线C 平行四边形的直观图仍然是平行四边形D 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直5、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）A 倍 B 倍 C 2倍 D 倍6、如图（１）所示的一个几何体，，在图中是该几何体的俯视图的是（　　）ABCD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （１）二、选择题7、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时，侧视图与俯视图是两个全等的______________三角形。

8、三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在__________________投影下画出来的9、有下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角②相等的角在直观图中仍然相等③相等的线段在直观图中仍然相等④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行其中正确的是_____________________________10、①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体一定是正方体②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体一定长方体③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体④如果一个几何体的正视图和俯视图都是等腰梯形，则这个几何体一定圆台其中说法正确的是____________________________三、解答题11、根据图中物体的三视图，画出物体的形状　　　　正视图　　　　侧视图　　　　　　俯视图12、室内有一面积为3平方米的玻璃窗，一个人站在离窗子4米的地方向外看，他能看到窗前面一幢楼的面积有多大？（楼间距为20米）1．3空间几何体的表面积和体积(1)。