北师大版九年级上册数学[《特殊平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识点及重点题型梳理].pdf

精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习特殊平行四边形全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形. 3面积：高底平行四边形S4判定： 边： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角： （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释： 平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点二、菱形1. 定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（ 2）四条边相等；（ 3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3面积：2对角线对角线高底菱形S4判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（ 2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（ 3）四边相等的四边形是菱形. 要点三、矩形1定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3面积：宽长矩形S判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （ 2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释： 由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半要点四、正方形1. 定义： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形. 3面积：=S正方形边长边长 12对角线对角线4判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（ 2）一组邻边相等的矩形是正方形；（ 3）对角线相等的菱形是正方形；（ 4）对角线互相垂直的矩形是正方形；精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（ 5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（ 6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 【典型例题】类型一、平行四边形1、已知， ABC中， BAC=45 ，以 AB为腰以点B为直角顶点在ABC外部作等腰直角三角形ABD ，以 AC为斜边在 ABC外部作等腰直角三角形ACE ，连结 BE 、DC ，两条线段相交于点 F，试猜想 EFC的度数并说明理由【答案与解析】解法一：作DH/BE 交 EA延长线于H，连接 CH 易证四边形BEHD 为平行四边形CEHEABCE=AECEH=EAB=90HE=BD=ABCEHEABSASCH=BE=DHCHE=ABECHD=90EFC=CDH=45在与中（），解法二：作 CG/BE交AB 的延长线于 G ，连接 DG ， ABC与 ACE都是等腰直角三角形， EAB= CAE+ CAB=90 . 又 AEC=90 ，AB CE. 精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用四边形BECG 为平行四边形，CE=GB ，又 AE=EC ，GB=AE. 在 BGD 与 AEB中， DB=AB， DBG= BAE=90 ， GB=AE ，BGD AEB(SAS)， GDB= ABE ，BE=DG. 平行四边形BGCE, ABE= AGC ，BE=GC, GDB = AGC, GC= DG. DGC= DGA+ AGC= DGA+ GDB=90 . 于是CDG是等腰直角三角形，所以45EFCDCG.【总结升华】通过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使问题得解类型二、菱形2、如图，平行四边形ABCD中， AB AC ，AB 1，BC 5对角线AC ，BD 相交于点O，将直线 AC绕点 O顺时针旋转，分别交BC ， AD于点 E，F. （1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与 EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点 O顺时针旋转的度数【思路点拨】（1）当旋转角为90时， AOF=90 ，由AB AC ，可得AB EF ，即可证明四边形 ABEF为平行四边形； （2）证明 AOF COE即可；（3）当 EF BD时，四边形 BEDF精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用为菱形， 又由 AB AC ，AB=1 ，BC=5，易求得 OA=AB ，即可得 AOB=45 ， 求得 AOF=45 ，则可得此时AC绕点 O顺时针旋转的最小度数为45【答案与解析】（1）证明：当AOF 90时， ABEF，又 AFBE ，四边形 ABEF为平行四边形（2）证明：四边形 ABCD 为平行四边形，AO CO ， FAO ECO ， AOF COE. AOF COE AFCE （3）四边形BEDF可以是菱形理由：如图，连接BF，DE ，由（ 2）知 AOF COE ，得 OE OF ，EF与 BD互相平分当 EF BD时，四边形BEDF为菱形在 RtABC中，512AC，OA 1AB，又 AB AC ， AOB 45， AOF 45，AC绕点 O顺时针旋转45时，四边形BEDF 为菱形【总结升华】 要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形. 举一反三：【变式】已知 : 如图所示， BD是 ABC的角平分线， EF是 BD的垂直平分线，且交AB于 E，交 BC于点 F. 求证 : 四边形 BFDE是菱形 . 【答案】证明： EF是 BD的垂直平分线，EB=ED ， EBD= EDB. 又 EBD= FBD ， FBD= EDB ，EDBF. 同理， DFBE ，四边形BFDE 是平行四边形. 又 EB=ED ，四边形BFDE是菱形 . 精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用3、 在口ABCD 中，对角线 AC 、BD相交于点O ，BD=2AB ， 点 E、 F 分别是 OA 、 BC的中点 连接 BE 、EF （1）求证： EF=BF ；（2）在上述条件下，若AC=BD ， G是 BD上一点，且BG ：GD=3 ：1，连接 EG 、FG ，试判断四边形 EBFG 的形状，并证明你的结论【思路点拨】（1） 根据平行四边形性质推出BD=2BO ， 推出 AB=BO ， 根据三线合一定理得出BE AC ，在BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF 即可；（2）根据矩形性质和已知求出G为 OD中点，根据三角形中位线求出EG AD ，EG=12BC ，求出 EG BC ， EG=12BC，求出 BF=EG ，BF EG ， EG=GF ，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可【答案与解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BD=2BO ，BD=2AB ，AB=BO ，E 为 OA中点，BE AC ，BEC=90 ，F 为 BC中点，EF=BF=CF ，即 EF=BF ；（2）四边形EBFG是菱形，证明：连接CG ，四边形 ABCD 是平行四边形，AC=BD ，四边形 ABCD 是矩形，AD=BC ， AB=CD ，AD BC ， BD=2BO=2OD，BD=2AB=2CD，OC=CD，BG ： GD=3 ： 1，OB=OD ，G 为 OD中点，CG OD （三线合一定理），即CGB=90 ，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用F 为 BC中点，GF=12BC=12AD ，E 为 OA中点， G为 OD中点，EG AD ， EG=12AD ，EG BC ， EG=12BC ，F 为 BC中点，BF=12BC ，EG=GF ，即 EG BF ， EG=BF ，四边形 EBFG是平行四边形，EG= GF ，平行四边形EBFG 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）【总结升华】 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质， 菱形性质， 三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半类型三、矩形4、 （2015 春?青山区期中）如图1，已知 AB CD，AB=CD ， A= D（1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）E 是 AB 边的中点， F 为 AD 边上一点， DFC=2 BCE 如图 2，若 F 为 AD 中点， DF=1.6 ，求 CF 的长度： 如图 2，若 CE=4，CF=5，则 AF+BC=，AF=【答案与解析】（1）证明： AB CD，AB=CD ，四边形 ABCD 为平行四边形， A=D， A+ D=180 ， A=90 ，四边形 ABCD 为矩形，（2）解： 延长 DA ，CE 交于点 G，四边形 ABCD 是矩形， DAB= B=90 ，AD BC， GAE=90 ， G=ECB，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用E 是 AB 边的中点，AE=BE ，在 AGE 和 BCE 中， AGE BCE （AAS ） ，AG=BC ，DF=1.6 ，F 为 AD 中点，BC=3.2 ，AG=BC=3.2 ， FG=3.2+1.6=4.8 ，AD BC， DFC=BCF， DFC=2 BCE， BCE=FCE，AD BC， BCE=G，CF=FG=4.8 ； 若 CE=4，CF=5，由 得： AG=BC ，CF=FG，GE=CE=4 ，AG=AD ，CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；故答案为： 5；设 DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2DF2=CG2DG2，即 52x2=82（ 5+x）2，解得： x=，DG=5+=，AD=DG=，AF=AD DF=；故答案为：【总结升华】 本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度. 举一反三：精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【变式】如图，O为ABC内一点，把AB、OB 、OC 、AC的中点 D、E、F、G依次连接形成四边形 DEFG （1）四边形DEFG 是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0 所在位置应满足什么条件？说明理由【答案】解：（ 1）四边形DEFG 是平行四边形理由如下：D、 G分别是 AB 、AC的中点，DG是ABC的中位线；DG BC ，且DG 12BC ；同理可证： EF BC ，且EF12BC ；DG EF ，且DG EF ；故四边形DEFG 是平行四边形；（2）O在 BC边的高上且A和垂足除外理由如下：连接 OA ；同（ 1）可证： DE OA FG ；四边形DEFG 是矩形，DG DE ；OA BC ；即 O点在 BC边的高上且A和垂足除外5、 在 RtABC中， ACB=90 ，BC=4 过点 A作 AE AB且 AB=AE ， 过点 E分别作 EF AC ，ED BC ，分别交AC和 BC的延长线与点F，D若 FC=5 ，求四边形ABDE的周长【思路点拨】 首先证明 A。