运筹学第2章 对偶理论和灵敏度分析-第4节.ppt

运筹学 （第三版）《运筹学》教材编写组 编写清华大学出版社第2章 对偶理论 和 灵敏度分析第4节线性规划的 对偶理论钱颂迪制作第2章 对偶理论和灵敏度分析第4节 线性规划的对偶理论•上节讨论可直观地了解到原线形规 划问题与对偶问题之间的关系;本节 将从理论上进一步讨论线性规划的 对偶问题4.1 原问题与对偶问题的关系• 原问题（LP）：•对偶问题(DP)以上是原问题与对偶问题的标准形式,它们之 间的关系可以用下表表示例2 若将第1章的原线形规划的系 数列成如上表所示的形式,这就是表 2-3.根据表2-3写出原问题与对偶问 题的表达式• 表2-3x yx1x2by1128y24016y30412c23原问题 （LP） 对偶问题(DP)将上述原问题与对偶问题之间的变换 关系称为对称形式.一般线形规划问题 中遇到非对称形式时,处理如下. • 原问题的约束条件中含有等式约束条件 时，按以下步骤处理 • 设等式约束条件的线性规划问题 第一步：先将等式约束条件分解 为两个不等式约束条件 • 设yi′是对应(2-13)式的对偶变量yi″是对应(2-14)式的对偶变量 这里i=1,2,…，m第二步：按对称形式变换关系可写出 它的对偶问题将上述规划问题的各式整理后得到综合上述，线性规划的原问题与对偶问题 的关系， 其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。

例3 试求下述线性规划原问题的对偶问题则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系，可以直接写出上述问题的对偶问题， 课堂练习:已知线形规划问题的模型如下, 求其对偶问题的线形规划模型.4.2 对偶问题 的基本性质• (1) 对称性 对偶问题的对偶是原问题 ; • (2)弱对偶性 若X是原问题的可行解，Y是对 偶问题的可行解则存在CX≤Yb; • (3) 无界性 若原问题(对偶问题)为无界解， 则其对偶问题(原问题)无可行解; • (4) 可行解是最优解时的性质; • (5)对偶定理 若原问题 有最优解，那么对偶 问题 也有最优解；且目标函数值相等; • (6) 互补松弛性 ; • (7) 原问题检验数与对偶问题的解的关系. (1) 对称性 对偶问题的对偶是原问题 • 证设原问题是 max z=CX; AX≤b； X≥0 • 根据对偶问题的对称变换关系，可以找到它的对偶问题 是 min ω=Yb; YA≥C； Y≥0 • 若将上式两边取负号，又因min ω=max(-ω)可得到 max(-ω)=-Yb; -YA≤-C； Y≥0 • 根据对称变换关系，得到上式的对偶问题是 min(-ω′)=-CX； -AX≥-b; X≥0 • 又因 min(-ω′)=maxω′ • 可得 maxω′=max z=CX； AX≤b; X≥0 • 这就是原问题。

证毕2)弱对偶性 证明：(3) 无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则 其对偶问题(原问题)无可行解 证：由性质（2）可知，例：从两图对比可明显看到原问题无界， 其对偶问题无可行解y1y2(4) 可行解是最优解时的性质 • 设 是原问题的可行解， 是对偶问题的 可行解， • 当 时， 是最优解 证明：(5) 对偶定理 若原问题 有最优解，那么对 偶问题 也有最优解；且目标函数值相等6) 互补松弛性• 将原问题目标函数中的系数向量C用C=YA -YS代替后，得到 z=(YA-YS)X=YAX-YSX (2-15) • 将对偶问题的目标函数中系数列向量b， 用b=AX+XS代替后，得到 ω=Y(AX+XS)=YAX+YXS (2-16)(7) 原问题检验数与对偶问题解的关系 • 设原问题是 • max z=CX; AX+XS=b; X,XS≥0• 它的对偶问题是 • min ω=Yb; YA-YS=C; Y,YS≥0• 则原问题单纯形表的检验数行对应其对 偶问题的一个基解，其对应关系见表2-5 。

表2-5 对应关系YS1是对应原问题中基变量XB的剩余变量， YS2是对应原问题中非基变量XN的剩余变量 证: 设B是原问题的一个可行基，于是 A=(B,N)；原问题可以改写为max z=CBXB+CNXN BXB+NXN+XS=b XB，XN，XS≥0 • 相应地对偶问题可表示为min ω=Yb • YB-YS1=CB (2-17) • YN-YS2=CN (2-18) Y，YS1,YS2≥0 • 这里YS=(YS1，YS2)• 当求得原问题的一个解：XB=B-1b • 其相应的检验数为CN-CBB-1N与 -CBB-1• 现分析这些检验数与对偶问题的解 之间的关系：令Y=CBB-1，将它代入 (2-17)式，(2-18)式得 • YS1=0, -YS2=CN-CBB-1N• 证毕 例4 已知线性规划问题max z=x1+x2 -x1+x2+x3≤2 -2x1+x2-x3≤1 x1,x2,x3≥0 试用对偶理论证 明上述线性规划问 题无最优解。

先将其变换为对偶问题上述问题的对偶问题为minω=2y1+y2 -y1-2y2≥1 y1+ y2≥1 y1- y2≥0 y1，y2≥0 由第1约束条件，可知对偶问题无可行解； 原问题虽然有可行解，但最优解例5 已知线性规划问题min ω=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x5≥4 2x1-x2+3x3+x4+x5≥3xj≥0，j=1，2，…，5• 已知其对偶问题的最优解为y1*=4/5， y2*=3/5；z=5试用对偶理论找出原问题 的最优解 解：先写出它的对偶问题max z=4y1+3y2 • y1+2y2≤2 ① • y1-y2≤3 ② • 2y1+3y2≤5 ③ • y1+y2≤2 ④ • 3y1+y2≤3 ⑤ • y1，y2≥0将y1* =4/5,y2* =3/5的值代入约束条件 ，• 得②=1/50；原问题的两个约束条件应取等式 ，故有 • x1*+3x5*=4，2x1*+x5*=3 • 求解后得到x1*=1,x5*=1；故原问题的最优解为 X*=(1，0，0，0，1)T；ω*=5。