高等数学同济五版第一章函数与极限知识点.doc

第一章  函数与极限 　   一、对于函数概念要注意以下几点：   (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义对应法则是正确理解函数概念的关键函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化函数关系也不同于因果关系例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算   (2) 函数与函数表达式不同函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子   (3) f(x)与f(a)是有区别的f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的　　二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：　   对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点：   (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。

   (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系   (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的如果f(x)是奇函数，则f(0)=0存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法   (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期　三、关于复合函数　要注意的是，函数的复合是有条件的，并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数一个函数是否为复合函数与该函数的对应法则的表示方法有关例如，和的对应法则相同，但对应法则的表示方法是不同的，前者不是复合函数，后者可以看成是由，，复合而成的复合函数　 四、分段函数    分段函数往往不是初等函数，因为他们没有用一个式子来表示但不能说分段函数都不是初等函数，例如：是分段函数，也是初等函数，因为它可以用一个数学式子表示　五、简单的经济函数   在生产和经营活动中，成本、收入、利润关于产品的产量或销量x的函数关系分别称为总成本函数，记为c(x)；总收入函数，记为R(x)；总利润函数，记为L(x)一般说来，   c(x)=固定成本+可变成本    R(x)=px    L(x)=R(x)-c(x)其中，p为产品的销售单价；x为销量。

商品的市场需求量和市场供给量，相对商品价格p的函数关系，分别称为商品的需求函数和供给函数　六、关于极限概念(1) 如果当时，恒成立，则称数列当以为极限，记为.   (2) 如果当时，恒成立，则称函数时以A为极限，记为   类似地，如果当时，恒成立，则称函数以A为极限，记为   应当注意，数列的极限与函数的极限是有区别的，它们的区别在于：数列的自变量n的变化过程是间断的(只取正整数)，且只有一个过程：；而函数的自变量的变化过程是连续的，变化过程有：数列的极限与函数当时的极限又有一定的联系：当存在时，必定存在，且，但当不存在时，却可以存在七、左右极限当和存在时，分别称和为f（x）在点的左极限和右极限，它们统称为单侧极限   条件是左、右极限、都存在，且八、无穷小与无穷大   (1)无穷小是指在自变量的某种趋向下，对应的函数值的变化趋势(趋向于零)，而有界函数是指自变量在某一范围内，对应的函数值的变化情形如果函数f(x)当时是无穷小，则f(x)在点附近必定有界，但离点远一些的地方是否有界就不能肯定了   (2)无穷大是指在自变量的某种趋向下，对应的函数值的变化趋势如果函数f(x)是无穷大，则f(x)必定无界；但反过来，当f(x)无界时，f(x)可不一定是无穷大。

   (3)具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小的和；反过来，如果函数f(x)可表示为常数与无穷小之和，则该常数就是这函数的极限   (4)如果f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小；如果f(x)是无穷小，且，则1／f(x)是无穷大5)    设和是同一极限过程中的两个无穷小如果,则称是比高阶的无穷小，记作；如果，则称是比低阶的无穷小；如果，则称与是同阶无穷小；如果，则称与是等价无穷小，记作如果，则称是的k阶无穷小   当时，常见的等价无穷小有：    (6)设且存在，则(等价无穷小代替定理) 九、极限存在准则和两个重要极限 (1)两个准则是：夹逼准则和单调有界准则 (2)两个重要极限：若为某个过程中的无穷小，则十、极限的一些性质(1)惟一性 若变量有极限，则极限惟一；(2)有界性 有极限的变量必有界；(3)保号性①某时刻后f(x)≥0(或≤0)=> limf(x)≥0(或≤0)；②limf(x)>0(或<0)=>某时刻以后f(x)>0(或<0)；③某时刻以后，十一、求函数极限的方法(1)利用极限定义，验证某常数为已知变量的极限(2)利用函数的连续性求极限；(3)利用极限的四则运算求极限；(4)利用无穷小的性质求极限；(5)利用两个重要极限求极限；(6)利用夹逼准则和单调有界准则求极限。

十二、函数连续性定义有三种说法 (1)设函数y=f(x)在点的某邻域内有定义，如果当自变量的增量(由值起)趋于零时，对应的函数值的增量也趋于零，即或，则称y=f(x)在点连续；   (2)设y=f(x)在点的某邻域内有定义，当时，函数f(x)的极限存在，且等于处的函数值，即或，则称y=f(x)在点连续；   (3)设y=f(x)在点的某邻域内有定义，如果,恒有成立，则称y=f(x)在点连续   由于连续性有上述三种说法，这就带来许多方便，通常可以根据具体情况采用某一种较合适的形式一般说来，第一种说法多用于检验函数的连续性；第二种说法多用于讨论间断点；而第三种说法多用于理论上的推导十三、函数的间断点及其分类   若函数f(x)在点不连续，则称是f(x)的间断点若及都存在，则称为第一类间断点，否则称为第二类间断点第一类间断点又细分为可去间断点()及跳跃间断点()第二类间断点包括无穷间断点(及中至少有一个为)及振荡间断点(在处，极限不存在，永远振荡)十四、基本初等函数在其定义域上是连续的，初等函数在其定义区间上是连续的   定义区间与定义域有所不同，定义区间是含于定义域内的，是一个区间，定义域不一定是区间。

例如，初等函数的定义域为x＝－2及是f(x)的定义区间，x＝－2是f(x)的定义域内的一个孤立点x＝－2显然是f(x)的一个间断点可以说f(x)f在它的定义区间x=－2及上连续，但不能说f(x)在它的定义域x＝－2及上是连续的   十五、闭区间上连续函数的基本性质   主要是最大值最小值定理及介值定理定理的条件是“f(x)在闭区间上连续”该条件是充分的但不必要   十六、关于无穷小的运算无穷小的运算对求极限有着很大的用处   (1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小；   (2)无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小   但是无穷小的除法则成为的不定型，没有确定的结果由的极限情况得到无穷小阶的比较所谓无穷小阶的比较就是各变量在同一过程中趋于零的快慢程度   十七、关于连续函数的运算   连续函数的运算包括和、差、积、商、复合、取反函数等它们在一定条件下经过运算都是连续的有了这些运算可以推得很多函数的连续性   学习时要注意这些定理成立的条件，特别是复合函数及反函数连续的条件。