第五章数学建模.doc
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第五章 稳定性方法建模对于某些实际问题，建立数学模型的目的并不是要寻求动态过程的每个时刻的性态，而往往是要研究经过充分长的时间后动态过程的变化趋势.即是否会越来越接近某个确定的值.若是，则称为稳定，否则称为不稳定.在分析这种稳定性时，常常不用解微分方程,而可利用微分方程的稳定性理论，直接研究.§5.1 预备知识（一）一阶微分方程的平衡点及稳定性现在我们来介绍一阶微分方程的平衡点及稳定性的概念．设 ， (5.1.1)即右端不显含自变量t，则方程f(x)=0 (5.1.2) 的实根称为微分方程(5.1.1)的平衡点. 显然是方程(5.1.1)的一个解.如果当x(0)充分接近x0时，方程(5.1.1)的解x(t)满足 (5.1.3)则称平衡点是稳定的，否则称是不稳定的.对于平衡点的稳定性有如下的判别法:设是(5.1.1)的平衡点.若 ,则是稳定的, 若,则是不稳定的. 简要说明：代回(5.1.1)得 ， ，可见当f'()<0时，x(t)= (稳定) 当f'()>0时, x(t)= (不稳定)假设一个质点的运动可以用方程(5.1.1)描述, 即当它在x处时运动速度为f(x),仅与它的位置有关.设, 则在附近, f(x)递减, 故若x稍小于, 则有, 就是说, 当质点在x0 的左面时, 它会向右运动. 而当x稍大于时, 则有, 故当它在x0 的右面时, 它会向左运动. 总之, 当质点稍微偏离平衡点时,会自动回到平衡点,故是稳定平衡点.反之, 若, 则当质点在x0 的左面时, 它会向左运动, 偏离平衡点越来越远, 当质点在x0 的右面时, 它也会偏离平衡点越来越远,故不是稳定平衡点.根据稳定平衡点的定义,(5.1.1) 的稳定平衡点可以作为该方程的一个近似解.这给一些实际问题的研究带来方便.(二）二阶微分方程的平衡点与稳定性（1） 平衡点的概念此时方程可用两个一阶方程表为 (4)右边不显含t，方程组 (5)的实根，称为方程（4）的平衡点，记为（2） 稳定性的概念若不论初始条件如何，方程（4）的解都满足 , (6) 则称平衡点是稳定的，否则，称是不稳定的。
3） 平衡点稳定性判别法记，则当使tr(A)<0且det(A)>0时，是稳定的；当使tr(A)>0或det(A)<0时，是不稳定的§5.2 捕鱼业的产量模型5.2.1问题描述设渔场的鱼量按一定规律增长,在渔场捕鱼时，如何控制捕捞率，使单位时间捕鱼量达到最大.5.2.2模型假设1．设时刻t渔场的鱼量为x(t),在无捕捞条件下，x(t)服从Logistic规律.即 (5.2.1)其中，r为固有增长率.N为环境允许的最大鱼量.f(x)表示单位时间鱼的增长量（自然增长率）.2、设单位时间捕鱼量为h(x)，它与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为E，E称为捕捞率.即 h(x) = E x (0≤E≤1)3、假设是独家捕捞的情形5.2.3建模构建记F(x)=f(x)–h(x)，则F(x)表示该渔场鱼量的净增长率.在有捕捞情况下，该渔场鱼量满足方程 (5.2.2)5.2.4模型分析一般情况,我们不一定要解方程(5.2.2)求得x(t)的动态变化过程,而只希望知道x(t)的趋向, 并由此确定最大持续产量. 为此我们求(5.2.2)的平衡点和分析其稳定性.先求(5.2.2)的平衡点. (x≥0)令F(x) = 0，得出两个平衡点：x0 = N ( 1 – E/r )，x1 = 0因要求x0≥0, 故知0≤E≤r. 再分析平衡点稳定性若E < r, F’(x0)<0, F’(x1)>0, 故x0是稳定平衡点，x1不稳定.若E=r，则,(5.2.2)化为，立刻解得,因此. 于是总有 (5.2.3)现在考虑在稳定条件下(即当t充分大时)，捕捞率E为多大时, h(x)达到最大？ 由(5.2.3)式可知，在稳定条件下，要使h(x) = E x 达到最大 则E应满足0
现讨论一个自然环境中有两个种群生存的情况一、假设与建模：设有甲乙两种群，当它们独立在一个自然环境中生存时，数量变化均服从Logistic规律，记x1，x2为两种群数量r1，r2，分别是甲乙种群的固有增长率，N1与N2分别是它们的最大容量，现假定甲乙两种群消耗同一资源（食物）：故可用如下模型来描述： (5.11) (5.12)其中，σ1，σ2 是用来描述两种群竞争程度的指标，σ1越大，乙对甲的生存越不利，σ2越大，甲对乙的生存越不利二、分析1.求平衡点:令 ， 可求出四个平衡点:, (注:对于p4,仅当σ1σ2≠1时才存在,且当σ1=1时, P4=P2,当σ2=1时，P4=P1 ).2.在相平面上讨论平衡点的稳定性:当然我们也可用讨论tr(A)与det(A)的正负来说明平衡点的稳定性,不过这里我们采用另一种方法,在相平面上进行讨论.(1)若,则, 直线L1: ， L2: L2L1x1x2oP4N2S4S1S2S3N1在 L1右上方,在L1左下方,在L2右上方, 在L2左下方, 从而L1与L2把相平面第一象限分为S1、S2、S3、S4四个区域,且具有特征:，轨迹运动方向为右上方；，轨迹运动方向为右下方；，轨迹运动方向为左上方；，轨迹运动方向为左下方.① 设初始t=0时，相点,则轨线往右上方移动，从而动点只有三种可能：(Ⅰ)进入S2; (Ⅱ)进入S3; (Ⅲ)到达P4若,则轨线往右下方移动.但它是不可能越过边界L1与L2的(这是由S1 与S4的特征决定的) ，最终只有趋向P4. 同理S3中的轨线应往左上方移，不可能越出边界L1与L2，最终也只有趋向P4.②若初始t=0时，相点,则轨线往左下方移动，最终进入S2或S3或到达P4. 同上分析，最终也趋于P4.总言之，除非初始点位于P1、P2、P3,否则轨线必趋于P4.结论： P4是稳定的平衡点.（2）若,L1L2x1x2oP4N2S4S1S3S2N1则,直线L1与L2的相对位置如右图。
当轨线进入S2后，就趋于右下方P1点，进入S3后就趋于左上方P2点结论：P1,P2,P3,P4都不是稳定的平衡点. (但P1与P2也称为局部是稳定的) （3）若，则此时P4不在第一象限，,直线L1与L2的相对位置如左下图.当轨线进入S2后就趋于右下方，最终趋于P1. 结论： P1是稳定的平衡点.L1L2x1N2S4S1S2x2N1L2L1x1N2S4S1S3x2N1（4）若，则此时P4不在第一象限，,直线L1与L2的相对位置如右上图.当轨线进入S3后就趋于左上方，最终趋于P2.结论： P2是稳定的平衡点.(5)若,则可视为(4)的特例,此时P4=P2.结论： P4=P2是稳定的平衡点.(6)若,则可视为(3)的特例.结论： P1是稳定的平衡点.(7)若,则可视为(3)的特例.结论： P4=P1是稳定的平衡点.(8)若,则可视为(4)的特例.结论： P2是稳定的平衡点. (9)若，则L1与L2重叠，S2=S3=φ，此时积分得解出 由于，故轨线受初值影响且没有固定的趋向.结论：没有稳定的平衡点.三．生态意义解释（1） 若，则P4稳定，说明两种群可长期共存，且各自保持一个稳定的数量.（2） 若，则只有局部稳定平衡点，即双方竞争十分激烈，且先占优势的一方最终会使对方灭绝.（3） 若（σ1与σ2不同时为1），P1稳定。
说明x1(t)→N1，x2(t)→0，甲种群越来越多，趋于饱和，而乙种群数量越来越少，趋于灭绝4） 若（σ1与σ2不同时为1）则P2稳定，x1(t)→0，x2(t)→N2.乙种群数量越来越多趋于饱和，而甲种群数量越来越少，趋于灭绝5） 若，则x1与x2不趋于某个定值但两者呈指数关系， r1=kr2时x1与x2k成正比，特别当r1=r2时，x1与x2成正比程序演示各种轨迹）§5.5 食饵—捕食者系统在自然界中，同一环境的两种群常有这样一种生存方式：甲种群靠天然资源生长，而乙种群则靠掠食甲种群为生例如，加拿大森林中的美洲兔与山猫，地中海里的食用鱼与鲨鱼，前者称为食饵，后者称为捕食者，两者共处组成食饵—捕食者系统一.问题的提出意大利生物学家D’Ancona 曾致力于鱼类种群的相互制约关系的研究从第一次世界大战期间地中海各港口捕获的几种鱼类占捕获总量的比例资料中发现鲨鱼等（捕食者）的比例有明显的增加，如下图：假定捕获的各种鱼的比例基本上代表了地中海渔场中各种鱼的比例（抽样）问题：战争时期捕鱼量大幅度下降，这当然使食饵量增加，从而使以此为生的捕食者的量增加但为什么会使鲨鱼的比例增加呢？D’Ancona无法解释此现象，于是找意大利数学家V.Volterra，希望他能回答此问题.Volterra 建立了食饵——捕食者系统的模型，回答了此问题.二. Volterra的假设与模型（1）设 x1(t) ——食饵在时刻t的数量x2(t) ——捕食者在时刻t的数量（2）假定食饵按指数规律自然增长,增长率为 r1 ，而捕食者的存在使食饵的增长率下降，下降程度与捕食者数量成正比，比例系数为 ，即→-（3）设捕食者离开食饵难以生存，独立生存时下降率（。
