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第十章 圆锥曲线★知识网络★椭圆双曲线抛物线定义定义定义标准方程标准方程几何性质几何性质应用应用标准方程几何性质应用圆锥曲线直线与圆锥曲线位置关系相交相切相离圆锥曲线的弦第1讲 椭圆★知识梳理★1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.当时, 的轨迹为椭圆 ; ; 当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为 以为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线 3.点与椭圆的位置关系:当时,点在椭圆外; 当时,点在椭圆内; 当时,点在椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离★重难点突破★重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用难点:椭圆的几何元素与参数的转换重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数的关系1.要有用定义的意识问题1已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。
[解析]的周长为，=82.求标准方程要注意焦点的定位问题2椭圆的离心率为，则 [解析]当焦点在轴上时，； 当焦点在轴上时，，综上或3★热点考点题型探析★考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是OxyDPABCQA．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况:(1),此时小球经过的路程为2(a－c);(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1. （2007·佛山南海）短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24[解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=122. (广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A． 5 B． 7 C ．13 D． 15 [解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．［警示］易漏焦点在y轴上的情况．【新题导练】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k<1.又k>0，∴0 嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（ ）A．不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定[解析] ，，选A题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）[例4 ] 已知实数满足,求的最大值与最小值【解题思路】 把看作的函数 [解析] 由得,当时,取得最小值,当时,取得最大值6【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错【新题导练】9.已知点是椭圆（，）上两点,且,则= [解析] 由知点共线,因椭圆关于原点对称,10.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点则________________［解析］由椭圆的对称性知： ．考点3 椭圆的最值问题题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值[例5 ]椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 [解析]在椭圆上任取一点P,设P(). 那么点P到直线l的距离为： 【名师指引】也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”【新题导练】11.椭圆的内接矩形的面积的最大值为 [解析]设内接矩形的一个顶点为，矩形的面积12. 是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值[解析] 当时，取得最大值，当时，取得最小值13. （2007·惠州）已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，是原点，则四边形的面积的最大值是_________．[解析] 设，则考点4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6 ] 已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围．【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式[解析]（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设由条件知且，又有，解得 故椭圆的离心率为，其标准方程为： （2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）x1＋x2＝， x1x2＝ ∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0 m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1 一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）由题设可得∴动点P的轨迹方程为，则∴曲线E方程为（2）直线MN的方程为由∴方程有两个不等的实数根∵∠MBN是钝角即解得：又M、B、N三点不共线综上所述，k的取值范围是★～～抢分频道★基础巩固训练1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) A B C D [解析] B . 2. （广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，的值为A、0 B、1 C、2 D、3[解析] A . ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，0， 3. (广东广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 A． B． C． D．[解析] D. ,,两式相减得：，，4.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．[解析]5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _________. [解析] [三角形三边的比是]6. (2008江苏)在平面直。
