初三数学函数综合题型及解题方法讲解.doc

v1.0可编辑可修改10 第#页共15页二次函数综合题型精讲精练题型一：二次函数中的最值问题2例1 :如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax+bx+c经过A (- 2,- 4), 0( 0, 0), B (2, 0)三点.(1) 求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；y=a^+bx+c 中，得(2) 若点M是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OI的最小值.解析：(1)把A (- 2,- 4), 0( 0, 0), B (2, 0)三点的坐标代入4a - - 44a+2b4c=0g-Q解这个方程组，得 a=--, b=1, c=0所以解析式为y=-丄x2+x.2(2)由 y=-二x2+x= -— (x - 1) 2旦，可得2 \2 \2抛物线的对称轴为 x=1，并且对称轴垂直平分线段 OB••• OM=BM• OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，则此时 OM+A最小过点A作ANIL x轴于点N,在 Rt △ ABN中, AB=.y ]]卜=*. |’=4 二因此OM+A最小值为.问方法提炼：已知一条直线上一动点 M和直线同侧两个固定点 A B,求AM+Bh最小值的问题，我们只需做出 点A关于这条直线的对称点 A',将点B与A'连接起来交直线与点 M那么A' B就是AM+BM勺最小值。

A , A1 u1 * q 、B ” *1 、一 /B1 7^或者就是AM+BM勺最小值应用的定理是：两点之间线段最短M吨 I■* IB，\ -0)，若抛物线 G经过点(0, 3)，方程同理，我们也可以做出点 B关于这条直线的对称点 B',将点A与B'连接起来交直线与点 M那么AB'II 尹 ・A例2:已知抛物线 C1的函数解析式为y ax2 bx 3a(bIax2 bx 3a 0的两根为人,x2，且x1 x2 41) 求抛物线G的顶点坐标.1 1（2） 已知实数X 0，请证明：X > 2,并说明x为何值时才会有x 2 .X XB(n, y2)是 C2AOB的面积（3） 若抛物线先向上平移 4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线 C2，设A（m, y1）， 上的两个不同点，且满足： AOB 900，m 0，n 0.请你用含有m的表达式表示出厶 S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数 0A的函数解析式解析：（1）v抛物线过（0 , —3）点，•••— 3a=-3a=l2•・y= X + bx— 32 、T X + bX—3 = 0 的两根为 X1, X2且 X! - X2 =4• x1 x2 ^'(x-1 x2)2 4x1x2 =4且 bv0•• b= — 2•y = x2—2 x —3=( x —l) 2 — 4•抛物线C i的顶点坐标为(l,—4)(2) T x>0,. x - 2 (VX』)2 0x Jx1 1• x 2,显然当x=i时，才有x 2,X X(3) 方法一：由平移知识易得C 2的解析式为：y = x22 2• A(m m ) , B (n, n )•••△ AOB为 Rt △• OA+OB2 =AB2…m + m + n + n = ( m— n) +( m — n ) 化简得：m n=—lm4 ? • n2 n41 1 L•「S aaob= OA?OB =— . m2 2•' m n=—l• S aaob= 1J2 m2 n222：•S AAOB的最小值为l,此时m=•直线OA的一次函数解析式为方法提炼：①已知一元二次方程两个根X1,X 2,求 |x 1-X2|。

因为 |x 1-X2| = .(X1 x2)2 4x1x2b b 4ac b b 4ac根据一元二次万程的求根公式X. —20—；X2 —20—；可得到:b cX1X2；x1x2 -a a②m12, (m o);当 m1时，1m -2取得最小值mm例3:如图,已知抛物线经过点A (-1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)三点(1) 求抛物线的解析式.(2) 点M是线段BC上的点(不与 B, C重合)，过M作MN y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为 m,请 用m的代数式表示 MN的长.(3) 在(2)的条件下，连接 NB NC是否存在m,使厶BNC的面积最大若存在，求 m的值；若不存在， 说明理由.解析：(1)设抛物线的解析式为： y=a (x+1) (x - 3),则:a (0+1) (0- 3) =3, a=- 1;抛物线的解析式： y= -( x+1) (x - 3) = - x2+2x+3.(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：f3k+b=0仏二3 ，故直线BC的解析式：y= - x+3.已知点 M的横坐标为 m,贝U M (m, - m+3、N ( m, - mf+2m+3 ；•••故 MN=- mf+2m+3-( - m+3) = - mi+3m (Ov mv 3).(3) 如图;Sa bn=Samn+Samnb^MN (OD+DB =^-MNK OB ~ 2上、2+二2 8i(=i (- m+3m) x 3= -— (m—\2 -•••当m二时，△ BNC的面积最大，最大值为2• - Sa BN'(Ov mK 3);27£方法提炼：因BNQ的面积不好直接求，将△ BNQ的面积分解为△ MNC^A MNB勺面积和。

然后将厶 BNC的面积表示出来，得到一个关于 m的二次函数此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值题型二：二次函数与三角形的综合问题例4:如图，已知：直线 y x 3交x轴于点A，交y轴于点B,抛物线/\yy=ax +bx+c 经过 A、B C (1， 0)三点.(1、求抛物线的解析式；A(2)若点D的坐标为(-1，0)，在直线y x 3上有一点P,使△ ABOA0D J与△ ADP相似，求出点P的坐标；F(3)在(2、的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点 E,使△ ADE的面积等于四边形 APCE勺面积如果存在，请求出点 E的坐标；如果不存在，请说明理由.解：(1):由题意得,A (3，0)，B (0，3)•••抛物线经过 A B C三点，•把 A (3，0)，B ( 0，3)，C( 1，0、三点分别代入 y二ax2 + bx+C得方程组9a3bc 0c3ab c0a1解得:b4c32•抛物线的解析式为 y = x - 4x+3(2)由题意可得：△ ABO为等腰三角形，如图所示,若厶AB3AAPiD,则AOADOBDp/• DP=AD=4 ,若厶AB3AADP2 ,过点 P2作 P2 MLx 轴于 M AD=4,•••△ ABO为等腰三角形，•△ ADP2是等腰三角形，由三线合一可得：DM=AM=2= 2M 即点M与点C重合 •P2( 1, 2)(3)如图设点E (x,y)，则Sade 2 ad | y | 2 | y |2①当P1(-1,4)时，yS 四边形 AP1CE=SaACP1+Sace/1 1-2^-2y|12 2II\4\=4+|y、/• 2 y = 4+ |y|•1 y =:44 0A1•••点E在x轴下方• y =--4代入得：x2 - 4x + 3 = - 4 ,即 x2 4x 7 02•/△ =(-4) -4 X 7=-12<0•此方程无解②当P2 ( 1 , 2)时,S四边形AP2C=S三角形ACP+S 三角形ACE =•••点E在x轴下方•2 y =2+1y • |y =2• y= - 2 代入得：x2 - 4x+ 3 = - 2即 x2 4x 5 0 ,•.•△ =(-4) 2-4 X 5=-4<0•此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点 E。

方法提炼：①求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况， 需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标②要求一个动点使两个图形面积相 等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形例5 :如图，点A在x轴上，0A=4将线段0A绕点0顺时针旋转120°至OB的位置.(1) 求点B的坐标；(2) 求经过点A. O B的抛物线的解析式;(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P,使得以点P、O B为顶点点P的坐标；若不存在，说明理由.解析：(1)如图，过B点作Bdx轴，垂足为 C,则/ BCO=90 ,•••/ AOB=120 ,•••/ BOC=60 , 又T OA=OB=4•••OCYBjX 4=2, BC=OB sin60 W 2•点B的坐标为（-2, - 2 ：；）;(2)t抛物线过原点 O和点A. B,•可设抛物线解析式为 y=ax2+bx,将 A （4, 0）, B （- 2.- 2近）代入，得fL6a+4b=0 （磐-比二-岳•此抛物线的解析式为y= -K+；x(3) 存在,如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2, y),①若OB=OP则 22+|y| 2=42,解得y=±2乙当y=2卜;」时，在Rt△ POD中，/ PDO=90 , sin / POD=J_J=.:OP 2•••/ POD=60 ,•••/ POBM POD£AOB=60 +120° =180°,即P、O B三点在同一直线上，• y=2 J；不符合题意，舍去，•••点P的坐标为(2,- 2 .二)② 若 OB=PB 贝U 42+|y+2 2=42,解得y= - 2二故点P的坐标为（2, -2.：；）,③ 若 OP=BP 则 22+|y| 2=42+|y+2 2,解得 y= - 2 :；,故点P的坐标为（2, -2.综上所述，符合条件的点 P只有一个，其坐标为（2,- 21;）,方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。

因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论题型三：二次函数与四边形的综合问题 例6 :综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线D与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.（1）求直线AC的解析式及B,。