探究2“最大利润”教学设计.pdf

1 《探究 2“最大利润”》教学设计 一、内容和内容解析 1．内容 二次函数cbxaxy2的最大（小）值及其在求解“最大利润”问题中的应用． 2．内容解析 二次函数是描述现实世界中变量之间关系的重要数学模型．对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么就可以利用二次函数的图象和性质来研究，从而使实际问题得到解决．这一问题探究过程，不仅仅体现模型思想，更是培养“数学建模”这一数学核心素养的重要过程． 本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，依托运用二次函数的最大（小）值解决小球运动“最大高度”和矩形场地“最大面积”问题的经验，运用结论解决又一类典型的实际问题——“最大利润”问题．通过探究定价（涨价、降价）与利润两个变量之间的关系，引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，并从实际问题中抽象出函数解析式，进一步明确数学建模的过程和方法，体会函数模型在解决实际问题中发挥的重要作用． 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数模型并运用二次函数的最大（小）值解决“最大利润”问题． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）能够从“最大利润”问题中归纳抽象出二次函数模型． （2）能够根据实际问题确定自变量的取值范围． （3）能够运用结论确定所建立的二次函数的最大（小）值，从而解决“最大利润”问题． 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：学生能够准确的把握“最大利润”问题中定价（涨价、降价）与销量，定价（涨价、降价）与单位利润的关系，并从实际问题中建立相应的一次函数模型，并根据“单位利润×销量＝总利润”来明确定价（涨价、降价）与总利润之间的数量关系，从而准确的抽象并建立相应的二次函数模型． 达成目标（2）的标志是：能够根据实际问题中相关量（定价、销量、利润等）的实际意义列出不等式（组）并求解，进而确定自变量的取值范围． 达成目标（3）的标志是：对建立的二次函数cbxaxy2，在自变量取值范围内，能够进一步运用“当abx2时，函数有最大（小）值abac442”的结论来确定实际问题的最优解，解决“最大利润”问题． 三、教学问题诊断分析 学生原有的知识基础中主要有两部分内容为本课的教学奠定重要的认知基础： （1）二次函数的概念、图象和性质，以及确定二次函数cbxaxy2最大（小）值的结论； （2）建立方程（一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程等）、不等式（一元一次不等式（组））和函数（一次函数、二次函数等）数学模型解决实际问题的经验，其中第 1 课时探究小球运动“最大高度”问题和矩形场地“最大面积”问题的活动经验成为本课利用二次函数解决“最大利润”问题的直接经验． 本节应用二次函数探究“最大利润”问题，要求学生选取合适的函数来分析问题、表征问题，在准确把握定价（涨价、降价）与销量、定价（涨价、降价）与单位利润的两个一次函数及其与利润之间数量关系的基础上，抽象建立二次函数模型，将实际问题转化为确定二次函数的最值问题，这一研究过程，对学 2 生来说难度较大． 此外，建立二次函数模型解决实际问题需要根据实际问题中相关量（定价、销量、利润等）的实际意义来确定自变量的取值范围，并在自变量取值范围内确定二次函数的最值，这一关键环节容易被学生忽视，对于学生也具有一定的挑战． 基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题转化成二次函数问题以及确定自变量取值范围． 四、教学过程设计 1．复习旧知，回顾学路 问题 1：上节课，我们学了什么？怎么学的？ 师生活动：教师提出问题，媒体呈现思考问题（如图 1）．学生回顾上节课所学知识内容和学习探究过程，回答：上节课，我们学习了如何利用二次函数解决实际问题．借助二次函数的图象和性质，数形结合地解决了小球运动“最大高度”问题，并由此得到重要结论：当abx2时，y有最大（小）值abac442．接下来，我们利用这一结论解决了矩形场地“最大面积”问题． 教师追问 1：我们又是如何具体的解决矩形场地“最大面积”问题的呢？ 师生活动：学生回顾探究过程，回答问题：通过分析实际问题，列出矩形场地面积S与其一边l之间的二次函数解析式，并且根据矩形的边长大于零来确定自变量l的取值范围，然后在自变量的取值范围内，运用结论求出这个二次函数的最大值，从而解决了矩形场地“最大面积”问题． 图 1 图 2 复习题 1：已知二次函数1822xxy，当x＝ 时，y有最 值，y的最 值为 ． 复习题 2： 如图， 利用一面墙 （墙的长度不超过 45 m） ， 用 80 m长的篱笆围一个矩形场地． 当AD＝ m时，矩形场地的面积最大，最大值为 m2． 复习题 2 图 师生活动：教师媒体呈现问题（如图 2），学生尝试用所学知识解决问题，解答后利用将试题拍照，通过网络上传至共享文件夹．学生代表展示汇报解答结果．教师引导学生关注自变量取值范围． 教师追问 3：问题 2 中自变量的取值范围是如何确定的呢？ 师生活动：学生代表结合实际问题，根据相关量的实际意义，回答问题：因为AD和AB都为矩形的边，所以x＞0，x280＞0，又因为“墙的长度不超过 45 m”，所以x280≤45．因此，自变量x的取值范围为 17.5≤x＜40．教师进一步强调确定自变量取值范围的重要性． 设计意图：以“最近发展区”理论为指导，通过问题“我们学了什么？怎么学的？”引导学生回顾旧知，理清学路，激活经验，明确应用二次函数解决实际问题的基本步骤和关键过程，为本课探究 2“最大利墙 A B C D  3 润”问题的解决提供建模理论框架和问题解决经验的双重支撑．通过复习题 1 和复习题 2 两道基础题目，从结论的直接运用和实际问题的巩固解决两个层次展开，为本课的探究活动奠定基础，让学生以自信、轻松、安全的心理状态切入本课的探究活动． 2．创设情境，提出问题，分析问题，解决问题 探究 2：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商场的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 图 3 图 4 师生活动：教师提出探究 2“最大利润”问题并通过媒体呈现问题（如图 3），引导学生明确所要探究的问题．学生审题，明确问题． 教师追问 1：调整价格有哪几种情况？ 师生活动：学生根据实际问题回答：涨价和降价． 教师追问 2：请同学们大胆预测一下，你认为哪种情况获得的总利润最大呢？说说你预测的理由． 师生活动：学生思考问题，预测结果，陈述理由．学生观点 1：涨价获得利润最大，虽然价格下降，但是销量上涨，薄利多销，获得的总利润最大．学生观点 2：降价获得利润最大，虽然价格上涨，销量下降，但每买一件获得的单位利润变大，也可以使得总利润最大． 教师追问 3：那么究竟涨价和降价两种情况哪种能获得的利润最大呢？ 师生活动：教师组织学生应用二次函数模型展开核心探究活动，媒体呈现活动要求（如图 4）．将班级分成两个小队，两队分别在涨价和降价情况下，研究“如何定价才能使利润最大？”．教师提出探究活动的相关要求，强调探究的流程．学生首先独立动笔计算，然后再利用 mathway APP 来观察对应的函数图象，验证计算结果是否正确（如图 5）．在独立探究的基础上，小队内部展开互动交流，分享探究思考，形成探究结果． 图 5 学生利用 mathway APP 进行探究学习的截屏流程图 师生活动：教师组织两队汇报探究成果，将两队研究情况进行板书呈现．两队学生代表汇报探究成果． 教师追问 4：在涨价的情况下，可以列出怎样二次函数？ 师生活动：涨价小队代表汇报：可以列出二次函数为xxy103004060． 教师追问 5：代数式4060 x所表示的实际意义是什么？x10300呢？ 师生活动：涨价小队代表回答：4060 x表示涨价情况下每卖出一件所获得的利润，x10300表示涨价情况下的销售量． 教师追问 6：自变量x的取值范围是怎样确定的？ 师生活动：涨价小队代表回答：因为涨价的金额x≥0，涨价后的销售量x10300≥0，解得x≤30．所 4 以，自变量x的取值范围为 0≤x≤30．教师强调问题解决的程序——建立二次函数后，首先要确定自变量的取值范围，然后在自变量的取值范围内运用结论，确定最值． 教师追问 7：在此自变量取值范围内，你们小队运用结论得到的结论是怎样的？ 师生活动： 涨价小队代表回答： 将所列函数整理为6000100102xxy， 运用结论可知： 当52abx时，y有最大值6250442abac，此时商品的定价为 60＋5＝65（元）．所以，当商品定价为 65 元时，利润最大，最大利润为 6250 元． 教师追问 8：在降价的情况下，如何定价才能使利润最大呢？请降价小队汇报一下你们的探究成果． 师生活动：降价小队代表汇报：根据题意建立二次函数为xxy203004060，将所列函数整理为6000100202xxy．再根据降价的金额x≥0，再由降价后每件商品的利润4060x≥0 得x≤20．所以，自变量x的取值范围为 0≤x≤20．在自变量的取值范围内，运用结论可知：当5 . 22abx时，y有最大值6125442abac．此时，商品的定价为 60－2.5＝57.5（元）．所以，当商品定价为 57.5 元时，利润最大，最大利润为 6125 元． 教师追问 9：比较在涨价、降价两种调整情况下的最大利润，我们最终怎样定价才能使利润最大呢？ 师生活动：全班同学回答：涨价情况下，当商品定价为 65 元时，利润最大． 教师追问 10：那么是不是所有价格调整的情况下都是涨价情况获得利润最大呢？ 师生活动：全班同学回答：不一定，需要具体问题具体分析． 设计意图：对“最大利润”问题的探究是本课的核心教学活动，是学生在原有认知和已有经验基础上应用二次函数模型解决实际问题的能力提升的关键环节． 在明确价格调整包括涨价和降价两种情况的基础上，首先让学生对“哪种情况下获得的利润最大”进行预测，引导学生初步分析相关变量之间关系——“价格下降，单位利润下降”、 “价格下降，销量上涨”、“价格上涨，单位利润上涨”、“价格上涨，销量下降”等，这样为接下来学生根据“总利润＝单位利润×销量”的数量关系，抽象建立二次函数模型的探究活动奠定分析基础． 将具体的建立二次函数模型解决“最大利润”问题的挑战性任务放手交给学生独立完成，让学生在个体独立思考与同伴合作交流中准确的把握变量之间的数量关系、抽象建立二次函数模型、确定自变量的取值范围，进而运用结论解决问题．在此过程中，教师根据学生的具体探究情况给予动态调控，给予学生的学习探究活动以充分的时间、空间和信息技术手段（网络、Mathway APP）等全方位的保障和支持，有效的实现信息技术与数学教学的深度融合．这样的设计，充分的落实了学生的主体地位，让学生的“学”真正的成为课堂的主旋律． 通过学生代表的汇报及其与教师之间的对话，展示学生合作探究的成果，呈现探究“最大利润”问题的关键性过程和结果．教师强调确定自变量取值范围的关键性，引导学生形成科学严谨的数学思维习惯． 3．学以致用，再解问题 练习题：（2015·抚顺改编）一个批发商销售成本为 20 元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过 90 元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y（千克） … 100 90 80 70 … （1）求y与x的函数关系式． （2）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？ 师生活动：教师媒体呈现练习题及相关要求（如图 6）．学生明确要求后，独立完成练习题．  5 图 6 图 7 师生活动：学生独立完成练习题后，教师提出并在媒体呈现核心交流问题（如图 6）．小组同学针对核心交流问题并结合自己的思考，充分交流问题分析的过程、分享问题探究的成果． 教师追问 1：二次函数是怎样建立的？ 教师追问 2：自变量的取值范围是怎样确定的？ 师生活动：学生代表展示探究的成果，媒体呈现共享文件夹中学生代表的解题过程（如图 7）．教师针对课堂生成的具体情况动态调控教学进程． 设计意图：通过解决中考真题中“最大利润”类型的典型问题，巩固本课所学的内容，让学生再次经历建立二次函数模型、运用结论解决“最大利润”问题的数学建模全过程，加深学生对二次函数模型的认识和理解，使学生进一步感悟模型思想，体会数学与实际生活的联系． 4．总结反思，分享收获 师生活动：回顾本节课建立二次函数模型解决“最大利润”问题的探究学习历程，请学生从“数学知识”、“探索过程与策略方法”、“数学思想”、“小组合作与学习感受”等四个主要方面进行总结与反思，与老师和同伴分享学习的收获．与此同时，教师也与学生分享自己的感悟． 图 8 图 9 教师追问 1：我们是如何利用二次函数解决实际问题的？一般步骤是什么？ 师生活动：学生反思，回答问题． 教师追问 2：在上述数学建模过程中，我们尤其要应注意什么问题呢？ 师生活动：学生思考，回答问题：尤其要注意“确定自变量的取值范围”． 师生活动：学生进行总结与反思，分享感悟与收获．教师与学生分享自己的感悟：函数是刻画现实世界中变化规律的数学模型，它存在于我们平凡而又美好的生活之中．人生亦如函数，我们只有用勤劳的汗水去耕耘，用勇敢的探索去开拓，用转化的智慧去解析，那么在我们人生的自变量取值范围内的最优解才是成功和卓越，才是快乐和幸福！ 设计意图：通过本环节，充分发挥数学学科的育人价值，使学生逐步养成总结反思的学习习惯，使课堂逐步形成体验交流和智慧分享的文化氛围． 5．拓展延伸，开放时空 师生活动：教师提出思考问题，媒体呈现问题示意图（如图 10）．学生明确问题，思考问题．  6 图 10 教师追问 1：当我们从实际问题中建立二次函数时，如果自变量取值范围内，函数的图象只是抛物线的局部时，那么我们又该如何确定二次函数的最值呢？ 师生活动：教师引导学生观察图象，关注顶点是否在自变量取值范围内的函数图象上． 师生活动：通过网络发布作业任务——教科书习题 22.3 第 2 题，第 8 题改编题． 练习题：（习题 22.3 改编）某宾馆有 50 个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为 180 元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用． （1）若每个房间定价增加 40 元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？ （2）若宾馆某一天获利 10640 元，则房价定为多少元？ （3）房价定为多少时，宾馆利润最大？ 设计意图：通过本环节，一方面，引导学生的思考逐步走向深入，以问题思考结束课堂教学，让学生带着问题走进课堂，带着思考走出课堂；另一方面，通过网络布置作业、发起问题讨论，让课堂的学习延续到课后．这样的设计有效的开放教学时空，实现知识学习探索的拓展与延伸．将课后习题进行适当的改编，充分的尊重学生的个体差异，面向全体学生，让不同水平的学生都能获得不同的发展． 五、板书设计 设计意图：板书整体设计为左右两个版面，两个版面紧紧围绕本课的教学目标来设计和生成．板书设计的左侧版面设计为数学建模流程图．这样的设计既关注数学建模的一般步骤，更关注学生利用二次函数解决实际问题的基本活动经验（数形结合解决“小球运动最大高度问题”，利用结论解决“矩形场地最大面积问题”）．通过这样的设计，本节“最大利润”问题的学习探究就有了理论支撑、经验基础和学路导引，让课堂教学的逻辑更自然，主题更突出，学路更清晰． 板书设计的右侧版面设计为“最大利润”问题解题关键步骤的具体呈现．这样的设计为本课的核心探究活动“在涨价和降价两种价格调整情况下，确定如何定价才能使利润最大”提供了思维的显性支撑，更为学生们的探究成果提供了一个展示和共享的平台． 实际问题 二次函数 cbxaxy2 运用结论 确定二次函数的 最大（小）值 归纳抽象 实际问题的解 回归实际 小球运动最大高度问题 矩形场地最大面积问题 探究 2“最大利润” 当x＝ab2时，y有最大（小）值abac442 6250 元 ＞ 6125 元 涨价 5 元 定价 65 元 降价 2.5 元 定价 57.5 元 xxy103004060 xxy203004060 6000100102xxy 6000100202xxy 0≤x≤30 0≤x≤20 确定自变量的取值范围 。