初等数学研究答案精选.docx

初等数学研究答案 2.对自然数证明乘法单调性：设a，b，c∈N则 （1）若a＝b，则ac＝bc （2）若a＜b，则ac＜bc （3）若a＞b，则ac＞bc 证明：（1）设命题能成立的所有c组成的集合M. ∵a·1=b·1 ∴1∈M假设c∈M即则(ac) ′= (bc) ′﹤＝﹥ac + 1 = bc + 1 重复以上过程a次，可得到ac + a = bc + a = bc + b 即a(c+1) = b(c+1) ∴c∈M由归纳公理知M = N.所以命题对任意自然数c成立(2)若a a(a,b∈Z).则有k∈Z使b=a+k 若k=1，则b=a+1=a′； 若k>1,则b=a+k>a+1,即b>a ′, 因此b 10证明有理数乘法满足结合律 证明：对于a 1, a 2，a 3∈Q,?b i ,c i ∈Z(i=1,2,3)使得a 1 = 3 c 3b ， 且b i 与c i 互质(i=1,2,3)，则 (a 1a 2)a 3 =(1c 1b 2 c 2b )3 c 3b =3 )21(3)21(c c c b b b =) 32(1)32(1c c c b b b =1 c 1b (2c 2b 3 c 3b ) =a 1(a 2a 3) ∴有理数的乘法满足结合律。

11.指出下列集合中可以进行畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环： （1）{0}； （2）{1}； （3）N ； （4）N ∪{0}；（5）Q + （6）奇数集合； （7）偶数集合； （8）{0，±3, ±6，…，±3n ，…}； 解：（1）不可以进行畅通无阻的算术运算；∵ 0不能做分母 {0}是数环，∵0+0,0-0,0×0∈{0} （2）可以进行畅通无阻的算术运算； 不是数环；∵1+1=2∈{1} （3）N 可以进行畅通无阻的算术运算； 不是数环；∵对1，2∈N ，1-2=-1?N （4）N ∪{0}不可以进行畅通无阻的算术运算；∵0不能做分母 不是数环；∵对1，2∈N ，1-2=-1?N （5）Q + 可以进行畅通无阻的算术运算； 不是数环；∵对1，2∈N ，1-2=-1?N （6）奇数集合不可以进行畅通无阻的算术运算；∵负数不能进行开方运算 不是数环，因为对1,3∈奇数集合，但1+3=4?奇数集合 （7）偶数集合不可以进行畅通无阻的算术运算；∵负数不能进行开方运算 是数环；∵对任意的两个偶数a 、b ，都有a+b ，a-b ，ab 都属于偶数集合。

（8）不可以进行畅通无阻的算术运算；∵ 0不能做分母，负数不能开方 是数环，∵对任意的两个偶数a 、b ，都有a+b ，a-b ，ab 都属于 {0，±3, ±6，…，±3n ，…} 12.设有n 个正分数b a b a b a b a n n -=-b b b a b a b a b a i i i i i >-=-b b b a b a b a b a j n n j j n j j n n 又 分母为正数 ∴有011>-b a b a i i （1） >-b a b a n j j n （2） 而) ...() ...()...( (2) 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 21 b b b b b b b a a a a b b a b b b a a a n n n n n ++++++-+++= -++++++ ) ...() ...()()(2 1 1 1121121111b b b b b a b a b a b a b a b a n n n +++-+-+-= （3） 根据（1）可知（3）式的分子大于零，而分母也大于零，所以上述式子 (1) 12 1 21>-++++++b a b b b a a a n n 同理根据（2）可证0 (2) 1 2 1 >++++++-b b b a a a b a n n n n ∴b a b b b a a a b a n n n n k>i ，由cos （2m π）+isin （2m π）=1，由m 与n 互质。

可知cos （2m π/n ）+isin （2m π/n ）≠1，即w ≠1.所以w k =w i 只能k=i ，这与假设矛盾 （2）由w n =1，w n-1=0，（w-1）（1+w+w 2+…+w n-1）=0.因为w ≠1.所以（1+w+w 2+…+w n-1）=0. 25.设，求13≤++ i z ，求z 和arg z 的最大值和最小值 解：(1)设复数z 为x+yi 设C=)3(3i z i z ---=++ 1≤ 即C 可以看作是坐标点()y ,x 到A ()1 ,3--的距离小于等于1的轨 迹 所以C 其实就是以 ()1 ,3-- 为圆点，1 为半径的实心圆 ()1) 1(32 2 =+++y x 而 z 的值即是原点O ()0,0到实心圆上的坐标()y ,x 的距离 过圆心和原点的直线与圆相交的两个点分别是z 取得最大值和 最小值的对应点 max(z )=OA +1=2+1=3 min(z ) =OA -1=1 (2) arg z 取得最大值和最小值时即是过原点与实心圆A 相切的直线的切点对应的arg z max （arg z ）= 4π/3 min （arg z ）=π 26.设复数z 满足z z 1+z+ z 1=3，求z 所对应的点z 的轨迹。

z 与z 1共 轭） 解：设z=a+bi z 1=a-bi 由题意得，(a+bi)*(a-bi)+(a+bi)+(a-bi)=3 即 a 2+b 2 +2a=3 解得b=32a -2+-a 或32a --2+-a 即 3)1a -2++（或3)1a --2++（ 所以根据复数图像x 轴为a,y 轴为b,得图像： 27.设x ≠0，x ,R ∈应用复数证明： x n tg nx x x nx x x 2 1cos ......2cos cos sin ......2sin sin +=++++++ 证明：令x i x a sin cos += ∴n a =n x i x )sin (cos +=nx i nx sin cos + 另外， ] sin )1[(cos )]sin )1[(cos ]sin )1[(cos )]sin )1(sin()cos )1[(cos(sin )1(cos )sin )1(sin()cos )1(cos(1 sin cos )sin (cos )1sin()1(cos(1 1)1(......)sin ......2sin (sin cos ......2cos cos sin cos 1321 1 x i x x i x x i x x x n i x x n x i x x x n i x x n x i x x i x x n i x n a a a a a a a a a a nx x x i nx x x kx i kx n n n n k n k --?+---?-++-+= +--++-+= -++-+++=--= --=++++=+++++++=++==∑∑ 事实上，只要考查 ] sin )1[(cos )]sin )1(sin()cos )1[(cos(x i x x x n i x x n --?-++-+的实部和虚部即可， 整理可得，实部=1)1cos(cos cos -+-+x n x nx 虚部=x x n nx sin )1sin(sin ++- 所以： x n tg x n x n x n x n x n x n x n x n x nx x n x nx nx x x nx x x 2 1() 2 1(cos 221cos 21cos 221 cos 21sin 221cos 21sin 2(1 )1cos(cos cos )1sin(sin sin cos ......2cos cos sin ......2sin sin 2 +=+--+++--+= -+-++-+= ++++= 提取公因式）数的转换） 根据和差化积和三角函原式 28.设p 1，p 2，…，p n 为实数，方程 x n +p 1x n-1 +p 2x n-2 +…+p n-1x+p n =0 有一根cos a+ i sin a ，求证： p 1sin a+p 2sin 2a+…+p n sin na=0 证明：在方程的左右两边除以x n ，得 1+ p 1x 1+p 2(x 1）2+…+p n-1(x 1）n-1+p n (x 1）n =0 （1） 即x 1 =1cos a +i sin a =cos a-isin a 为该方程（1）的一个 根 。