几何发展简史.doc

论文：数学的发展简史作者：学号：班级：指导教师：日期：几何学发展简史几何，英文为Geometry，是由希腊文演变而来，其原意是土地测量“依据很多的实证，几何是埃及人创造的，并且产生于土地测量 由于尼罗河泛滥，经常冲毁界限，这样测量变成了必要的工作 无可置疑的， 这类科学和其它科学一样， 都发生于人类的需要 ”（ 引自[1] ）明代徐光启（1562~1633）和天主教耶酥会传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552~1610）翻译欧几里得的《几何原本》时将Geometry一词译为几何学几何学是研究形的科学，以视觉思维为主导，培养人的观察能力、空间想象能力与空间洞察力几何学最先发展起来的是欧几里得几何到 17 世纪的文艺复兴时期，几何学上第一个重要成果是法国数学家笛卡儿(R..descartes，1596~1650）和费马（P.de Fermat，1601~1665）的解析几何他们把代数方法应用于几何学，实现了数与形的相互结合与沟通随着透视画的出现，又诞生了一门全新的几何学——射影几何学到19 世纪上半叶，非欧几何诞生了人们的思想得到很大的解放，各种非欧几何、微分几何、拓扑学都相继诞生，几何学进入一个空前繁荣的时期。

1 从欧几里得几何到非欧几何欧几里得（ Euclid ，约公元前 330~275 ）的《几何原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范 公元 7 世纪以前的所谓几何学， 都只限于一些具体问题的解答，并且是十分粗糙的、 零碎的、片段的和单凭经验的 当积累起来的几何知识相当丰富时， 把这一领域的材料系统地整理， 并阐明它们的关系， 就显得十分必要了 由于几何学本来的对象是图形， 研究它必然要借助与空间的直观性 但是直观性也有不可靠的时候， 因而在明确地规定了定义和公理的基础上， 排除直观性， 建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始 欧几里得就是在这种思想的基础上， 编著完成了他的《几何原本》《几何原本》的第一卷是全书逻辑推理的基础，给出全书最初出现的23 个定义，5 条公设， 5 条公理：定义（ 1） 点没有部分 2） 线有长度，而没有宽度 3） 线的界限是点（注： 《几何原本》中没有伸展到无穷的线） 4） 直线是同其中各点看齐的线 5） 面只有长度和宽度 6） 面的界限是线 7） 平面是与其上的直线看齐的面 8） 平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度。

9） 当形成一角的两线是一直线时，这个角叫做平角 10 ） ~ （ 22 ）（略）（是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义） 23 ）平行直线是在同一个平面内，而且往两个方向无限延长后，在这两个方向上都不会相交的直线关于几何的基本规定的 5 条公设：（ 1） 从每个点到每个其它的点必定可以引直线 2） 每条直线都可以无限延伸 3） 以任意点作中心，通过任何给定的点另一点，可以作一个圆 4） 所有的直角都相等 5） 同平面内如有一条直线与另两条直线相交，且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角，则后两条直线无限延长后必在这一侧相交关于量的基本规定的 5 条公理：（ 1） 等于同量的量相等；（ 2） 等量加等量，总量相等；（ 3） 等量减等量，余量相等；（ 4） 彼此重合的量是全等的；（ 5） 整体大于部分欧几里得在此基础上运用逻辑推理，导出了许许多多的命题（在《几何原本》中包含了465 个命题），从而构成了欧几里得几何学由前三个公设限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成哪些作图， 因此这两件仪器被称为欧几里得工具， 使用它们可以完成的作图称为欧几里得作图， 即尺规作图。

这种作图增加了几何学的趣味性人们花费大量的精力去解决古希腊的几何三大难题：（ 1） 倍立方问题：求作一个立方体，使体积为已知立方体的二倍；（ 2） 三等分角问题：三等分一个（任意的）已知角；（ 3） 化圆为方问题：求作一个正方形，使其面积为已知圆的面积尽管是徒劳的，但从各方面推动了数学的发展将公设、公理分开是从亚里士多德开始的，现代数学将公设、公理都叫做公理第五条公设与“在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线不相交（平行）”相等价现在把后一个命题叫做欧几里得平行公理自《几何原本》问世以来，直到 19世纪大半段以前，数学家一般都把欧几里得的著作看成是严格性方面的典范，但也有少数数学家看出了其中的严重缺点，并设法纠正首先，欧几里得的定义不能成为一种数学定义，完全不是在逻辑意义下的定义，有的不过是几何对象的直观描述（比如点，线，面等），有的含混不清这些定义在后面的论证中根本是无用的其次，欧几里得的公设和公理是远不够的因而在《几何原本》中许多命题的证明不得不借助直观，或者无形中引用了欧几里得的5 个公理之外的公设或公理的东西针对欧氏几何的上述缺陷，数学家们做了大量工作来弥补这些缺陷。

到19 世纪末，德国数学家希尔伯特（D. Hilbert ， 1862~1943 ）于 1899 年发表了《几何基础》，书中成功地建立了欧几里得几何的一套完整的公理系统首先他提出了8 个基本概念，其中三个是基本对象：点、直线、面； 5 个是基本关系：点属于（或关联）直线，点属于（或关联）平面，一点在两点之间，两线段合同，两角合同这些基本概念应服从 5 组公理：关联公理；顺序公理；合同公理；连续公理；平行公理 （参见 [2] 或 [3] ）另外，人们注意到欧几里得平行公理是否与其它公理独立的问题，即平行公理可否能用其它公理推导出来 虽然有很多学者 （包括一些很有名的数学家） 曾宣称已经证明平行公理能用其它公理推导出来，但最后发现这些论证都是不正确的于是从意大利数学家 Saccheri（ 1733）开始，人们就转而猜平行公理与其它公理是独立的，即它不能从其它公理推导出来罗巴切夫斯基（Лобачевский,Н.И， . 1792~1856）和波尔约（J，Bolyai，1802~1860）分别在 1829 年和 1832 年独立地用平行公理的反命题， 即用“过给定直线外一点， 存在着至少两条直线与给定的直线不相交” 来代替欧几里得平行公理， 并由这套新的体系演绎出一套与欧几里得几何迥然不同的命题， 但并没有导致任何的矛盾， 非欧几何就这样产生了。

但是要人们真正信服这种纯理性的几何体系，还是应该将这种“虚”的几何学真正地构造出来，即提供这种“虚”几何的现实模型19 世纪提出了70 年代，德国数学家克莱因 （ F. Klein ， 1849~1925Klein 模型，庞加莱（ J ．H ． Poincare ， 1854~1912））提出了上半平面Poincare模型这些模型都能将非欧几何学在人们已经习惯的欧氏空间中实现出来 这样的非欧几何叫做双曲几何另一种非欧几何的发现者是德国数学家黎曼（）那是他在1854 年讨论无界和无限概念时得到的成果欧几里得的第二条公设说：直线可以无限延长但是， 并不定蕴涵着直线就长短而言是无限的，只不过是说它是无端的或无界的 例如，连接球面上两点的大圆的弧可被沿着该大圆无限延长， 使得延长了的弧无端， 但确实就长短而言它不是无限的将欧几里得的公设（ 1），（ 2 ）和（ 5）作如下的修正：（ 1）两个不同的点至少确定一条直线；（ 2）直线是无界的；（ 3）平面上任何两条都相交就可得到一种相容的几何学，称为黎曼的非欧几何（椭圆几何） 这样的几何可以在球面上实现由于罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何的发现，几何学从传统的束缚中解放出来了，从而为大批新的、有趣的几何的发展开辟了广阔的道路，并有广泛的应用， 如：在爱因斯坦发现的广义相对论中，用到黎曼几何；由 1947 年对视空间（从正常的有双目视觉的人心理上看到的空间）所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基的双曲几何来描述。

如果实数系是相容的，则可以证明以上几种几何的公理系统都是各自相容的、独立的，但都不是完全的然而奥地利数学家哥德尔（ K. Godel, 1906~1978 ）证明了“对于包含自然数系的任何相容的形式体系 F，存在 F 中的不可判定命题 ”及“对于包含自然数系的任何相容的形式体系 F， F 的相容性不能在 F 中被证明因而想证明数学的内部相容性问题也就无望了2解析几何的诞生欧氏几何是一种度量几何， 研究的是与长度和角度有关的量的学科 它的方法是综合的，没有代数的介入，为解析几何的发展留下了余地解析几何的诞生是数学史上的一个伟大的里程碑它的创始人是 17 世纪的法国数学家笛卡儿和费马 他们都对欧氏几何的局限性表示不满： 古代的几何过于抽象， 过多地依赖于图形 他们对代数也提出了批评，因为代数过于受法则和公式的约束， 缺乏直观， 无益于发展思想的艺术 同时，他们认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理， 而代数学能用来对抽象的未知量进行推理，。