第三章 矩阵的相似标准形.docx

第三章 矩阵的相似标准形矩阵的相似标准形有着广泛的丿应用.性代数中，己讨论了可对角化方 阵的相似标准形——对角形矩阵•但并不是所有方阵都可对角化，本章将从任 意方阵的特征矩阵入手，介绍矩阵相似的判别法和两种常用的相似标准形，并 进一步讨论方阵可对角化的条件，最后给出一类特殊矩阵的对角化方法.3. 1 2矩阵及其Smith标准形一、2矩阵的基本概念定义1设= = 是数域F上的多项式，以匈“) 为元素的加m矩阵4】(2)4(2) =称为多项式矩阵或2矩阵,22(2)■■■ 2”(久)• •• •• •% (几)…% (小丿多项式知(2)(i = 1,2,…，加,)= 1,2，…加中的最高次数称为A(2)的次数，数域Fmxn 2矩阵的全体记为严.为了与2矩阵相区别，我们把以数域F中的数为元素的矩阵称为数字矩 阵.显然，数字矩阵是久矩阵的特例•数字矩阵A的特征矩阵AE-A就是1次 2矩阵.如果加“的兄矩阵A(2)的次数为k ,则4(2)可表示为A(2) = + 4•一］〃 1 + …+ A|A 4-人),其中40 = 0,1,…,R)是肌5数字矩阵，并且4严0・例如J+iA22、r()1()、f-101、fl00)A(a)=A-Z—000A2 +11-12+00022 + 1A2-Z2/J1T丿J()0()丿<10()丿如果另一个加xn的2矩阵B(2)可表示为B（a）= 1 + • • • + B| A + B（）,则当且仅当k=l, Aj=Bj(j = g,・・・，k)时4(刃与B(2)相等，记为A(2) = B(A).由丁• 2的多项式可作加法、减法、乘法三种运算，并且它们与数的运算有 相同的运算规律；而矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法的定义仅用到其元素 的加法、减法、乘法•因此，我们可以同样定义;I矩阵的加法、减法、乘法和 数量乘法，并且2矩阵的这些运算同数字矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法 具有相同的运算规律.矩阵行列式的定义也仅用到其元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一 个n阶兄矩阵的行列式，一般说来2矩阵的行列式是2的多项式，2矩阵的行 列式与数字矩阵的行列式有相同的性质，例如，对两个〃阶2矩阵力(刃与B(a),有|A(A)B(A)| = |A(Z)||B(Z)|有了 2矩阵行列式的概念，可以同样定义2矩阵的子式、代数余子式.定义2设A(/l) w P[兀T",如果A(刃中有一个r(I < r < min{w,n})阶子式 不为零，而所有厂+ 1阶子式(如果有的话)全为零，则称A(2)的秩为厂，记为 rank(A(A)) = r.规定零矩阵的秩为0.例1设A是〃阶数字矩阵，则\AE-A\是兄的〃次多项式，因此A的特征 矩阵ZE-A的秩为〃，即ZE-A总是满秩的.定义3设A(2) e P[A],,xn,如果存在一个斤阶兄矩阵B"),使得A(A)B(A) = B(A)A(A) = E f (1)则称2矩阵4(2)是可逆的，并称为人(刃的逆矩阵，记作4"(刃・容易证明：如果〃阶;I矩阵4(2)可逆，则它的逆矩阵是唯一的.定理1设A(2) G P[^rn，则4(2)是可逆的充分必要条件是|A(a)|是一个 非零常数.证 必耍性 设人(刃可逆，则存在允阶2矩阵B")满足(1),从而|A(A)||B(2)| = 1.因为|4(2)|与0(刃都是兄的多项式，则由上式可知|他|与0(刃|都是零次多 项式，故|人(刃|是非零常数.充分性 设\AW\ = d是非零常数，A(Z)*是A(2)的伴随矩阵，则丄人仇亍 d是一个〃阶;I矩阵，并且A⑷丄 A(2)* = -A(2)*A(2) = E ,d d因此A(2)可逆,并且A_,(2) =丄4(2)1cl二、2矩阵的初等变换与等价与数字矩阵类似，对于2矩阵，也可进行初等变换.定义4下列三种变换称为2矩阵的初等变换.(1) 互换兄矩阵的两行(列人(2) 用非零常数k乘以兄矩阵的某一行(列)；(3) 将2矩阵的某一行(列)的0")倍加到另一行(列)，(其中0(2)是；I 的多项式).对单位矩阵施行上述三种初等变换便得相应的三种2矩阵的初等矩阵P(i, j)=(\P(i 伙))=P(W)) =与数字矩阵的情形完全一样,对一个加x n的A矩阵A(/l)作一次初等彳亍变换相当于在AW左边乘上相应的m阶初等矩阵；对AW作一次初等列变换相 当于在A(2)的右边乘上相应的n阶初等矩阵.容易证明：初等矩阵都是可逆的，并且P(i,jy = P(i,j),P(i(k” = PQ(L)),P(jJ(0))T = P(iJ(-0) •为方便起见，我们用下列记号表示初等变换：UJ]表示第行(列)互换位置；[i伙)]表示用非零常数k乘第i行(列):U + )(0)]表示将第丿•行(列)的0(刃倍加到第i行(列)・定义5设4(2),B(2)wP[2严，如果4(刃可以经过有限次初等变换化为5(2),则称;I矩阵4(刃与3(2)等价，记为A(A) = B(A)由初等变换的可逆性可知，等价是2矩阵Z间的一种等价关系.利用初等变换与初等矩阵的对应关系可得定理2设A(A),Ba)e P[A]n,xn,则4(2)与B(A)等价的充分必要条件为存 在一系列加阶初等矩阵(2),・・・,弓(刃与〃阶初等矩阵0"),…,Q(2)，使得A(Q =人仇)…马(2)B(2)C,(刃…Q (2)・与数字矩阵不同，具有相同秩的两个2矩阵未必等价，例如,5(A) =-2、2丿因为|A(A)| = r,|B(A)| = 4A,所以4(2)与B(2)的秩均为2.因为初等变换 是可逆的，则由定理2矢II,两个等价的2方阵的行列式只能相差一个非零常 数，故4(2)与B(刃不等价，因此，秩相等不是2矩阵等价的充分条件.3. 2 2矩阵在等价下的标准形现在我们讨论兄矩阵在初等变换下的标准形.为此，先证明一个引理.引理1设2矩阵A(2) = [6/..(2)]的左上角元素如(2)工0,并且4(2)中至少有一个元素不能被如(刃整除，则存在一个与AW等价的2矩阵 b(a)=[/?..a)j,使得％(q)ho,且a(/?11a))l,j>l)不能被坷](2)整除，因为如⑷I知⑷,所以存在一个 多项式0(2),使得6/,.(A) = 0(2)如(2)・对A(2)作两次初等列变换•首先将4(刃 第1列的-勿刃倍加到第丿•列，这时第1行第丿•列位置的元索是0,第i行第j 列位置的元素变为然后把第丿•列的1倍加到第1歹ij,此时 第1行第1列位置的元索仍是如(2),而第i行第1列位置的元素变为 6仇)+[1-0(2)140),它不能被如(2)整除，这就化为已经证明的情形1)・定理 3 设 A(A) = U")] e P\r ,且 ran{A^)) = r ,则 A(A)必等价丁•如卜对角形矩阵〃2(刃■■(1 )■drW0I 。

丿其中J,a)(z = l,---,r)是首项系数为1的多项式，且%仇)10+1仇)(心1,2,…,F-1).证若厂=0,贝显(刃为零矩阵，结论显然成立，现设厂>0,且AW = ［知(刃］的左上角元素创(刃工0・否则可通过行、列交换做到这一点，由引理 1矢口，4")进行一系列初等变换可得一个与A(刃等价的2矩阵B(a)=p(a)］, 并且％仇)是首项系数为1的多项式，％(2)整除3(2)的全部元素，即有%(2) = q,j(2)%(2), i = 1,…,m\ j = 1,…,n ・则可对B(2)作一系列初等变换,使得第1行第1列除对角元％(2)外全为零, 即仏(几)0… 0、0B(2)=； ,AW、0 >其中(2) = %⑷,(2)是(m-l)x(n-l)矩阵•因为⑷的元素是5(2)中元 素的组合，而％(2)(即d“))整除班刃的所有元素，所以(2)整除A")的 所有元素.如果人(2)工0,则对AS)重复上述过程，进而把矩阵化成0(2) 0 0、0 仏(2) 0 … 0； 0 ,: : A>(2), >其中弘⑷妙⑷都是首项系数为1的多项式，并且%(刃1〃2(刃，〃2仇)整除心仇)的全部元素.继续上述过程，最后把人亿)化成所要求的形式.定理3中的对角形矩形(1)称为2矩阵4(2)在等价下的标准形即Smith 标准形.定义6 2矩阵A(A)g P[2]wxw的Smith标准形的主对角线上的非零元 (2),〃2(刃,・・・,(刃称为A(2)的不变因子.例1用初等变换把2矩阵-2 + 1 A2A、A(2) =2 A-2才 + 1 22-22/化为标准形解A(小(1 z2 a 、rl 22 2 ]0 Z -2[3+K-D1 >0 2 -21 Z2 -22\ /1 0 —才—2丿\ /〔1+3(1)]00 ]<102 ]02-a[3(-Dl0A-2[3+2(1)]〔00—才_2丿7<0022+A 丿[2+1(」)][3+1( - 刃例2用初等变换将2矩阵2 — a000A — ci000-1A- — ci00、0-1几_ a丿化为Smith标准形.解<1000 「<1000 )0100[4+3(D]、0100【3.4]00-1(久—a)700-1a-fz)3<00A — CI0 J<000"-川丿A(A)fl-1[4+3(( A-r)][3(-1)]2矩阵的行列式因子和初等因子•般地q-d -1 、A-a •.•••-11、 2 — a丿、 亿-胡丿mxm3.3本节讨论2矩阵Smith标准形的惟一性，并给出两个2矩阵等价的条件. 因此，需要引进;I矩阵的行列式因子.定义 7 设 4(2) g P[A]mxn,且 rank(A(A)) = r •对于正整数 k(l