专题三三角函数与平面向量 第1讲三角函数的图象与性质主干知识梳理热点分类突破真题与押题 1.以以图图象象为为载载体体,考考查查三三角角函函数数的的最最值值、、单单调调性性、、对称性、周期性对称性、周期性.2.考考查查三三角角函函数数式式的的化化简简、、三三角角函函数数的的图图象象和和性性质质、、角角的的求求值值,重重点点考考查查分分析析、、处处理理问问题题的的能能力力,是高考的必考点．是高考的必考点．考情解读3 主干知识梳理1．三角函数定义、同角关系与诱导公式．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定定义义：：设设α是是一一个个任任意意角角，，它它的的终终边边与与单单位位圆圆交交于于点点P(x，，y)，，则则sin α＝＝y，，cos α＝＝x，，tan α＝＝ .各各象象限限角角的的三三角角函函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：同角关系：sin2α＋＋cos2α＝＝1，， ＝＝tan α.(3)诱诱导导公公式式：：在在 ＋＋α，，k∈∈Z的的诱诱导导公公式式中中““奇奇变变偶偶不不变变，，符号看象限符号看象限””．． 2．三角函数的图象及常用性质．三角函数的图象及常用性质函函数数y＝＝sin xy＝＝cos xy＝＝tan x图图象象 单单调调性性在在[－－π＋＋2kπ，，2kπ](k∈∈Z)上单调递增；在上单调递增；在[2kπ,π＋＋2kπ](k∈∈Z)上单调递减上单调递减对对称称性性对称中心：对称中心：(kπ，，0)(k∈∈Z)；；对称轴：对称轴：x＝＝ ＋＋kπ(k∈∈Z)对称中心：对称中心：( ＋＋kπ，，0)(k∈∈Z)；；对称轴：对称轴：x＝＝kπ(k∈∈Z)对称中心：对称中心：( ，，0)(k∈∈Z) 3.三角函数的两种常见变换三角函数的两种常见变换y＝＝sin(x＋＋φ)y＝＝Asin(ωx＋＋φ)(A>0，，ω>0)．． (2)y＝＝sin x y＝＝Asin(ωx＋＋φ)(A>0，，ω>0)．． Ø热点一三角函数的概念、诱导公式及同角Ø热点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式Ø热点三三角函数的性质热点分类突破三角函数的基本关系 热点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系思维启迪 准准确确把把握握三三角角函数的定义．函数的定义． 解析 设设Q点的坐标为点的坐标为(x，，y)，，答案 A 思维启迪 利用三角函数定义和诱导公式．利用三角函数定义和诱导公式． 根据三角函数的定义，根据三角函数的定义， (1)涉涉及及与与圆圆及及角角有有关关的的函函数数建建模模问问题题(如如钟钟表表、、摩摩天天轮轮、、水水车车等等)，，常常常常借借助助三三角角函函数数的的定定义义求求解解．．应应用用定定义义时时，，注注意意三三角角函函数数值值仅仅与与终终边边位位置置有有关关，，与与终终边上点的位置无关．边上点的位置无关．(2)应应用用诱诱导导公公式式时时要要弄弄清清三三角角函函数数在在各各个个象象限限内内的的符符号号；；利利用用同同角角三三角角函函数数的的关关系系化化简简过过程程要要遵遵循循一一定定的的原原则则，，如如切切化化弦弦、、化化异异为为同同、、化化高高为为低低、、化化繁繁为简等．为简等．思维升华 变式训练1 解析 由三角函数定义，由三角函数定义， 所以所以θ为第四象限角且为第四象限角且θ∈∈[0,2π)，，答案 D 热点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式思维启迪 先先根根据据图图象象确确定定函函数数f(x)的的解解析析式式，，再再将将得得到到的的f(x)中中的的““x””换成换成““x－－ ””即可．即可． 所以所以ω＝＝2，又函数图象过点，又函数图象过点( ，，1)，代入解析式中，，代入解析式中，答案 D 思维启迪 将零点个数转换成函数图象的交点个数．将零点个数转换成函数图象的交点个数．解析 由题意可知由题意可知y＝＝2sin(2x＋＋ )＋＋a，，该函数在该函数在[0，， ]上有两个不同的零点，上有两个不同的零点， 结合函数的图象可知结合函数的图象可知1≤≤－－a<2，所以－，所以－20，，ω>0)的的图图象象求求解解析析式式时时，，常常采采用用待待定定系系数数法法，，由由图图中中的的最最高高点点、、最最低低点点或或特特殊殊点点求求A；；由由函函数数的的周周期期确确定定ω；；确确定定φ常常根根据据““五五点点法法””中中的的五五个个点点求求解解，，其其中中一一般般把把第第一一个个零零点点作作为为突突破破口口，，可可以以从从图图象的升降找准第一个零点的位置．象的升降找准第一个零点的位置．思维升华 (2)在在图图象象变变换换过过程程中中务务必必分分清清是是先先相相位位变变换换，，还还是是先先周周期期变变换换．．变变换换只只是是相相对对于于其其中中的的自自变变量量x而而言言的的，，如如果果x的的系系数数不不是是1，，就就要要把把这这个个系系数提取后再确定变换的单位长度和方向．数提取后再确定变换的单位长度和方向．思维升华 变式训练2 (1)如图，函数如图，函数f(x)＝＝Asin(ωx＋＋φ)(其中其中A>0，，ω>0，，|φ|≤ ≤ )与坐标轴的三个交点与坐标轴的三个交点P、、Q、、R满足满足P(2,0)，，∠∠PQR＝＝ ，，M为为QR的中点，的中点，PM＝＝2 ，则，则A的值为的值为( ) 解析 由题意设由题意设Q(a,0)，，R(0，－，－a)(a>0). 答案 B 答案 D 例3 设函数 设函数f(x)＝＝2cos2x＋＋sin 2x＋＋a(a∈∈R).(1)求函数求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；的最小正周期和单调递增区间；热点三三角函数的性质思维启迪 先化简函数解析式，然后研究函数性质先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图可结合函数简图). 解 f(x)＝＝2cos2x＋＋sin 2x＋＋a＝＝1＋＋cos 2x＋＋sin 2x＋＋a＝＝ sin(2x＋＋ )＋＋1＋＋a，，则则f(x)的最小正周期的最小正周期T＝＝ ＝＝π，， (2)当当x∈∈[0，， ]时时，，f(x)的的最最大大值值为为2，，求求a的的值值，，并并求出求出y＝＝f(x)(x∈∈R)的对称轴方程的对称轴方程. 函数函数y＝＝Asin(ωx＋＋φ)的性质及应用的求解思路的性质及应用的求解思路第第一一步步：：先先借借助助三三角角恒恒等等变变换换及及相相应应三三角角函函数数公式把待求函数化成公式把待求函数化成y＝＝Asin(ωx＋＋φ)＋＋B的形式；的形式；第第二二步步：：把把““ωx＋＋φ””视视为为一一个个整整体体，，借借助助复复合合函函数数性性质质求求y＝＝Asin(ωx＋＋φ)＋＋B的的单单调调性性及及奇奇偶偶性、最值、对称性等问题性、最值、对称性等问题.思维升华 变式训练3已已知知函函数数f(x)＝＝2sin ωxcos ωx＋＋2 sin2ωx－－ (ω>0)的最小正周期为的最小正周期为π.(1)求函数求函数f(x)的单调增区间；的单调增区间； (2)将将函函数数f(x)的的图图象象向向左左平平移移 个个单单位位长长度度，，再再向向上上平平移移1个个单单位位长长度度，，得得到到函函数数y＝＝g(x)的的图图象象；；若若y＝＝g(x)在在[0，，b](b>0)上至少含有上至少含有10个零点，求个零点，求b的最小值的最小值.解 将函数将函数f(x)的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度，个单位长度，再向上平移再向上平移1个单位长度，得到个单位长度，得到y＝＝2sin 2x＋＋1的图象的图象,所以所以g(x)＝＝2sin 2x＋＋1，， 所以在所以在[0，，π]上恰好有两个零点，上恰好有两个零点，若若y＝＝g(x)在在[0，，b]上有上有10个零点，个零点，则则b不小于第不小于第10个零点的横坐标即可，个零点的横坐标即可， 1.求求函函数数y＝＝Asin(ωx＋＋φ)(或或y＝＝Acos(ωx＋＋φ)，，或或y＝＝Atan(ωx＋＋φ))的单调区间的单调区间(1)将将ω化为正化为正.(2)将将ωx＋＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解看成一个整体，由三角函数的单调性求解.本讲规律总结 2.已已知知函函数数y＝＝Asin(ωx＋＋φ)＋＋B(A>0，，ω>0)的的图图象象求求解析式解析式(3)利用与利用与““五点法五点法””中相对应的特殊点求中相对应的特殊点求φ.3.函函数数y＝＝Asin(ωx＋＋φ)的的对对称称轴轴一一定定经经过过图图象象的的最最高高点或最低点点或最低点. 4.求三角函数式最值的方法求三角函数式最值的方法(1)将将三三角角函函数数式式化化为为y＝＝Asin(ωx＋＋φ)＋＋B的的形形式式，，进进而而结合三角函数的性质求解结合三角函数的性质求解.(2)将将三三角角函函数数式式化化为为关关于于sin x，，cos x的的二二次次函函数数的的形形式，进而借助二次函数的性质求解式，进而借助二次函数的性质求解.5.特别提醒特别提醒进进行行三三角角函函数数的的图图象象变变换换时时，，要要注注意意无无论论进进行行什什么么样样的的变换都是变换变量本身变换都是变换变量本身. Ø真题感悟Ø押题精练真题与押题 12真题感悟 12真题感悟 12真题感悟答案 B 真题感悟21 真题感悟21 真题感悟21答案 π 押题精练121.函函数数f(x)＝＝2sin(ωx＋＋φ)(ω>0)的的部部分分图图象象如如图图，，其其中中M(m,0)，，N(n,2)，，P(π，，0)，，且且mn<0，，则则f(x)在在下下列哪个区间中是单调的列哪个区间中是单调的( ) 押题精练12解析 ∵∵mn<0，所以当左右移动图象，，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即当图象过原点时，即M点在原点时，此时点在原点时，此时T＝＝π，，则则ω＝＝2，， 押题精练12答案 B 押题精练12 押题精练12 押题精练12(2)将将函函数数f(x)的的图图象象向向右右平平移移 个个单单位位长长度度后后，，再再将将得得到到的的图图象象上上各各点点的的横横坐坐标标伸伸长长为为原原来来的的2倍倍，，纵纵坐坐标标不不变变，，得得到到函函数数y＝＝g(x)的的图图象象，，若若关关于于x的的方方程程g(x)＋＋k＝＝0在在区区间间[0，， ]上上有有且且只只有有一一个个实实数数解解，，求实数求实数k的取值范围的取值范围. 押题精练12解 将将f(x)的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度后，得到个单位长度后，得到y＝＝sin(4x－－ )的图象，的图象，再再将将所所得得图图象象所所有有点点的的横横坐坐标标伸伸长长到到原原来来的的2倍倍，，纵坐标不变，纵坐标不变，得到得到y＝＝sin(2x－－ )的图象的图象.所以所以g(x)＝＝sin(2x－－ ). 押题精练12g(x)＋＋k＝＝0在区间在区间[0，， ]上有且只有一个实数解，上有且只有一个实数解，即函数即函数g(t)＝＝sin t与与y＝－＝－k在区间在区间 上有且只有一个交点上有且只有一个交点.如图，如图， 押题精练12 。
