GCT入学资格考试线代几何初代算术课件.ppt

第五部分   线性代数 第一节    行列式[考试要求] 行列式，行列式的概念和性质，行列式按行展开定理，行列式的计算 GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)[内容综述] 一、行列式及有关概念  1、定义：      特征：方形数阵，两边加上     ；或行列式是对    个数所作特定运算的记                号，结果是一个数     元素 aij 的代数余子式：      元素 aij 的余子式：    ，去掉 aij 所在的 i 行，j 列剩下的元素按原来的次序                                   组成的n-1阶行列式    主对角线：（行列式中从左上角到右下角的对角线）  2、特殊行列式             上、下三角行列式，行列式 D 的转置行列式 DT （由D的行换成列，列换成行所得， DT 与 D 成对出现）     注意：对角与上、下三角行列式值是主对角线元素乘积二、行列式的性质    1、行列互换，行列式的值不变，即 D = DT  ；    2、两行（或两列）互换，行列式的值变号；    3、某一行（或某一列）的公因子，可提到行列式之外；    4、按某一行（或某一列）拆开，原行列式是两个特定行列式之和；GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)5、一行（或一列）的倍数加到另一行（或另一列），行列式的值不变；6、行列式等于其任一行（或一列）的元素乘以该行（或列）元素的相应的代数余子式的和；即7、行列式中某一行（或某一列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式之和为零8、行列式有零行（或列），行列式的值为零。

反之如何？ 9、两行（或两列）对应元素相等（或成比例)，行列式的值为零反之如何？         三、行列式的计算[总体思路：根据行列式特点，运用性质将行列式恒等变形，化成上（下）三角或某行（或列）除一个元素外其余均为零]     1、用定义公式；      2、按行（或列）展开：用性质6；     3、先做变换：初等变换、逐行相加减、拆项、递推关系等；     4、重要关系式：                                                                              （A，B分别为m，n阶矩阵）GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)例1  计算D= 例2   证明                                       =例3    a,b为何值时，三阶行列式例4 设A为n阶矩阵，且︱A︱=0，则矩阵A中[   ]（A）必有一行元素全为零；    （B）必有两行元素对应成比例；（C）必有一行向量是其余行向量的线性组合；（D）任意行向量必是其余行向量的线性组合   GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)第二节    矩阵[考试要求]   矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换。

[内容综述]一、矩阵的概念（本质上是数表）          m×n 矩阵、零矩阵、同型阵、矩阵相等、对角阵、数量阵、单位阵、三角阵、(转置矩阵、对称阵、反对称阵)二、矩阵的运算 1、加法（注意同型矩阵才可相加）； 2、数乘（注意每一元素都乘该数）； 3、乘法（注意左矩阵列数等于右矩阵行数）；      4、转置①定义: A的行换成相应的列所得矩阵, 称为A的转置, 记为AT；②性质：      5、方阵的行列式GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)三、逆矩阵  1、定义：A为n阶方阵，若有n阶方阵B，使得 ，则称A可逆A的逆记为A-1即可逆矩阵也称为非奇异矩阵，非退化矩阵   2、方阵A可逆的充要条件：A可逆 ；  3、伴随矩阵：  4、逆矩阵的性质：  5、逆矩阵的求法：     ①利用伴随矩阵； ②利用定义； ③利用性质；④初等行变换四、初等行变换  1、定义  2、初等行变换求逆矩阵五、矩阵的秩  1、定义                2、计算  3、相关结论GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)例例1  设设                               ，，                          ，，   且︱且︱A︱︱=2，， ︱︱B︱︱=3，求︱，求︱BC︱︱例例2  设设A是是m×n 矩阵，矩阵，B是是n×m矩阵，则矩阵，则[     ]（（A）当）当m＞＞n时，必有行列式︱时，必有行列式︱AB︱︱=0；；（（B）当）当m＞＞n时，必有行列式︱时，必有行列式︱AB︱︱≠0；；（（C）当）当n＞＞m时，必有行列式︱时，必有行列式︱AB︱︱=0；；（（D）当）当n＞＞m时，必有行列式︱时，必有行列式︱AB︱︱≠≠0。

 例例3  设设例例4  设设n阶矩阵阶矩阵A满足满足 ，证明，证明A 及及 A+2E 都可逆，都可逆，并求并求 及及 GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)例例5   设设 A是四阶矩阵，是四阶矩阵，E是四阶单位阵，是四阶单位阵，                 存在，且存在，且                                           ，则，则                   =[    ]（（A））         （（B））E+A   （（C））                  （（D）不存在）不存在例例6 6 设设A是是3阶矩阵，阶矩阵， ，求，求   第三节第三节    向量向量[考试要求考试要求]          n维向量，维向量， 向量组的线性相关和线性无关，向量向量组的线性相关和线性无关，向量组秩和矩阵秩的关系组秩和矩阵秩的关系GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)[内容综述内容综述]    一、一、n维向量的概念与运算（与矩阵有关运算类似）维向量的概念与运算（与矩阵有关运算类似）   1、、n维维向向量量：：n个个有有顺顺序序的的数数组组成成的的数数组组（（有有序序数数组组））称称为为向向量量。

记为记为            n维行向量，维行向量，n维列向量，零向量，负向量维列向量，零向量，负向量    2、向量相等、向量相等             ：同维，分量对应相等；：同维，分量对应相等； 3、向量加法、向量加法              ：同维，分量对应相加；：同维，分量对应相加；    4、向量数乘、向量数乘 k (k为常数为常数)：每一分量都乘以该数；：每一分量都乘以该数；    5、向量点积、向量点积         ：：(分量表示为分量表示为)                                       ，其中，其中                                       ，，    6、、向量运算的性质向量运算的性质 ( (加法和数乘的线性运算加法和数乘的线性运算) ) 二、向量组的线性相关和线性无关二、向量组的线性相关和线性无关         1、、线性表出定义线性表出定义GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)    2、、向量组的线性相关和线性无关向量组的线性相关和线性无关     3、常用相关结论：、常用相关结论：①① 一个向量一个向量    的向量组线性相关的向量组线性相关                ；；                ②② 两个同维向量两个同维向量          的向量组线性相关的向量组线性相关                                    ；；③③ n维向量组维向量组                                 线性相关线性相关                                   中至少有一个向量可由其余中至少有一个向量可由其余s- -1个向量组线性表出；个向量组线性表出；            齐次线性方程组齐次线性方程组                                         有非零解；有非零解；            矩阵矩阵                               的秩的秩               ；；                    （此条等价：（此条等价：                     无关无关                               ））④④ 含零向量的向量组必线性相关；含零向量的向量组必线性相关；⑤⑤ 线性相关的向量组中，增加向量后，仍线性相关（相关缩维仍相关）；线性相关的向量组中，增加向量后，仍线性相关（相关缩维仍相关）；     线性无关的向量组中，减少向量后，仍线性无关（无关扩维仍无关）；线性无关的向量组中，减少向量后，仍线性无关（无关扩维仍无关）；⑥⑥ 向向量量组组                      线线性性无无关关，，向向量量组组                     线线性性相相关关，，则则    可可由由向向量量组组                   线线性性表表出出。

线线性性无无关关的的向向量量组组增增加加向向量量后后线线性性相相关关，，则则增加进去的向量可由原向量组线性表出）；增加进去的向量可由原向量组线性表出）；⑦⑦ n+1个个n维向量必线性相关（个数多于维数）；维向量必线性相关（个数多于维数）；⑧⑧ n个个n维向量线性相关维向量线性相关                                    ；；     n 个个n维向量线性无关维向量线性无关                                  GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)三、向量组的秩 1、最大线性无关组与向量组的秩 ①定义 ②性质 ③求法 2、矩阵的秩与向量组秩的关系：        矩阵A的行向量组的秩等于其列向量组的秩，也等于A的秩即GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)例1   a=2是向量组                       ，                      ，                       线性无关的[   ]（A）充分但非必要条件             （B）必要但非充分条件（C）充分必要条件                     （D）既不充分也不必要条件例2 若向量           线性无关，          线性相关，则[ ]（A）   必可由          线性表示 （B）   必不可由           线性表示（C） 必可由 线性表示 （D） 必不可由 线性表示例4    设向量组                   线性无关，                   ，                     ，                           ，证明                  线性无关(无关时的变换系数?)GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)第四节    线性方程组[考试要求] 线性方程组的克莱姆法则，线性方程组的判别法则，齐次和非齐次线性方程组的求解。

[内容综述]一、线性方程组基本概念         线性方程组(17.1, 17.4)，非齐次线性方程组，齐次线性方程组，向量形式，矩阵形式，系数矩阵 A ，增广矩阵     ，方程组的解、解向量注：线性方程组与系数矩阵、增广矩阵一一对应GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)二、克莱姆法则： ，m=n，                                                   (i=1，      ，n)(分子是将分母系数行列式中第i 列元素换成相应常数项所得)三、齐次线性方程组解的性质  1、齐次线性方程组AX=0总有零解；  2、n元齐次线性方程组AX=0有非零解 A的列向量组 线性相关；（ n是未知量个数）（只有零解                       ） ① A 是 n 阶方阵，AX=0有非零解  ② 设A是m×n阵，m

则 称为齐次线性方程组AX=0的基础解系  2、有关结论：A是m×n矩阵， ，则AX=0的基础解系含n-r个解向量反之，若已知n-r，则AX=0的任意n-r个线性无关解向量都是AX=0的基础解系   3、通解：设 是 AX=0的一个基础解系( ),则对AX=0的任一解X，有称为AX=0的通解或全部解其中 为任意常数）  4、求解方法：初等行变换化系数矩阵为阶梯形，得同解方程组后再求解GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)五、非齐次线性方程组的求解 1、非齐次线性方程组AX=b有解                                b可由系数矩阵的列向量组                     线性表示  2、非齐次线性方程组AX=b有解时[ 时]  ① AX=b有唯一解 r=n 线性无关 ② AX=b有无穷多个解 r

3、非齐次方程组解的性质与解的结构AX=b的解具如下性质： ① 是AX=b的解，则 是AX=0的解；    ②      是AX=b的解，    是AX=0的解，则          是AX=b的解 AX=b的解结构：设   是AX=b的某一解，                     是AX=0的基础解系，则                                                   是AX=b的通解 是任意常数）  4、求解方法: 初等行变换化增广矩阵为阶梯形, 求同解方程组GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)例例1   设四元非齐次线性方程组系数矩阵秩为设四元非齐次线性方程组系数矩阵秩为3，已知，已知                    是是其三个解向量，且其三个解向量，且                                                                             ，，求该方程组的通解求该方程组的通解例例2   已知已知          是是 AX=b 的两个不同解，的两个不同解，           是是 AX=0 的基础解系，的基础解系，则则 AX=b 的通解必可表示为（其中的通解必可表示为（其中          为任意常数）为任意常数） A.                                                           B . C .                                                          D .例例3  设设     是是非非齐齐次次线线性性方方程程组组AX=b的的一一个个解解，，                         是是对对应应齐齐次次的的一一个个基基础础解解系系，，证证明明（（1））     ，，                             线线性性无无关；关；（（2）） ，， 线性无关。

线性无关GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)例例4  设设A是是4×3阶矩阵，阶矩阵，   是齐次线性方程组是齐次线性方程组                  的基础解的基础解系，则系，则 r(A)=[   ]               （（A））1      （（B））2      （（C））3      （（D））4例例5 5 设设 ，， ，， ，， 当当a为何值时，为何值时， 可可 由线性表示由线性表示例例6    设设                               ，，                           ，，                             已知线性方程组已知线性方程组AX=b有解，则行列式有解，则行列式                   [   ]（（A））- -1      （（B））0    （（C））1     （（D））2 GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)第五节   特征值问题 [考试要求]        特征值和特征向量的概念，相似矩阵，特征值和特征向量的计算，n阶矩阵可化为对角矩阵的条件和方法。

[内容综述] 一、特征值特征向量定义: 设A为n阶方阵，若存在常数    及非零列向量X，使得AX= X则称    是矩阵 A 的特征值，X是 A 的属于 的特征向量     （关键含义：有 AX= X，且 X≠0）       特征多项式：             ；  特征方程：                     二、特征值特征向量性质 1、线性运算封闭(同一特征值下)： , ,则 ( 任意常数, )GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)2、设 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值为                      ，则    1° （称为方阵的迹）； 2° ； 3°n阶方阵A可逆      A的n个特征值均不为零；(判断方阵可逆又一法) 4° 是 n 阶方阵A的一个特征值，A可逆，则        是A-1的一个特征值；         是A*的一个特征值； 5°属于A的不同特征值的特征向量线性无关； 6°矩阵A与其转置矩阵AT具有相同的特征值。

三、特征值特征向量计算 1、由 =0，求特征值 ； 2、由 ，解线性方程组求相应特征向量X GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)四、相似矩阵 1、定义： 设A，B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使                   ，称A与B相似，记为A~B      2、性质： 1°相似矩阵具有相同的特征多项式，进而具有相同的特征值； 2°若A ~B，则GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)例1  A，B是n阶方阵，且 ，证明AB与BA相似，tr(AB)=tr(BA)例2  A是n阶方阵， 是A的特征值，证明 是A+3E的特征值例3  A是三阶可逆矩阵，且各列元素之和均为2，则[    ]（A）A必有特征值2           （B）A-1必有特征值2（C）A必有特征值-2          （D）A-1必有特征值-2例4              是矩阵A的一个特征值，则               有一个特征值为[    ]（A）3      （B）        （C）      （D）(A),(B),(C)均不正确 GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)1 1．极坐标系中，点．极坐标系中，点 关于直线关于直线 对称点的坐标对称点的坐标(A)(A) (B)(B) （（C C）（）（0 0，，0 0））(D) (D) （（2 2，，0 0））2. 2. 已知已知 是椭圆是椭圆 的两个焦点，点的两个焦点，点B B 是短轴的一是短轴的一个端点，则个端点，则 的面积的最大值为的面积的最大值为(A)(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 41 (B) 2 (C) 3 (D) 43. 3. 过原点且与圆过原点且与圆 截得的弦长为截得的弦长为 的一条直线方程是的一条直线方程是 (A) (A) y y= =x x (B) (C) (B) (C) y=-xy=-x (D) (D) 4. 4. 在在 中，中， ，则，则 的值为的值为(A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) 5.5.如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以9πcm3/s的速的速度向该容器注水，则水深度向该容器注水，则水深10cm10cm时水面上升的速度为时水面上升的速度为 cm/scm/sGCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)例例1  若若            ，且，且                         ，则，则                  的最小值是（的最小值是（       ））          A．．2               B. 3               C. 4               D. 5例例1*  已知复数已知复数 满足满足 , ,则复数则复数 z 在复平面在复平面上对应点上对应点( (x，，y) )的轨迹是的轨迹是( )( ) A A 圆圆 B B 椭圆椭圆 C C 双曲线双曲线 D D 抛物线抛物线例例2 2 已知已知                                   ，，                               ，，求求例例3 3 已已知知集集合合 ，， ，，若若B B 非非空空，，且且 ，求，求a的取值范围。

的取值范围例例4  已知数列已知数列         是等差数列，且是等差数列，且           ，，                          ，， （（1 1）求数列）求数列         的通项；的通项； （（2 2）求数列）求数列 前前n项和的公式，其中项和的公式，其中b为任意实数为任意实数例例5 5 某某科科技技小小组组有有6 6名名同同学学，，从从中中送送3 3人人去去参参观观展展览览，，至至少少有有一一名名女女生生入入送送时时的的不同选法有不同选法有1616种，则小组中的女生人数为种，则小组中的女生人数为 A.2 B.3 C.4 D.5 A.2 B.3 C.4 D.5例例6 6 设设 ，则，则S= = A. A. x4 4 B. B. x4 4+1 C. (+1 C. (x- -2)4 4 D. D. x4 4+4+4GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)例例7 7 设设{an}是是公公比比为为q的的等等比比数数列列，，|q|>1，，令令bn = an +1(n=1，，2，，…)，，若若数数列列{bn}有有连连续续四四项项在在集集合合{-53，，-23，，19，，37，，82}中，则中，则6q =例例8 P.34 8 P.34 例例2.3.62.3.6另图解。

另图解GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)。