考点29空间点、直线、平面之间的位置关系-21年高考数学(文)考点一遍过.pdf

理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.学科 #网定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.一、平面的基本性质及应用1平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内Al ， Bl ， 且A，B ? l? 公理 2 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C 三点不共线 ? 有且只有一个平面 ， 使 A ， B ，C公理2的推论推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点A直线 a，则 A 和 a 确定一个平面推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面abPI? 有且只有一个平面，使a，b推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面ab? 有 且 只 有 一 个 平 面，使a，b公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ， 且 P ? =l，Pl，且 l 是唯一的公理 4 l1 l2 l平行于同一条直线的两条直线互相平行l1l，l2l? l1l22等角定理（1）自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. （2）符号语言：如 图 （ 1） 、 （ 2） 所 示 ， 在 AOB 与 A O B 中 ，,OAO A OBO B， 则AOBAO B或180AOBAO B. 图（ 1）图（ 2）二、空间两直线的位置关系1空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：（1）从有无公共点的角度分类：两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线（2）从是否共面的角度分类：相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 2异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义如图 ,已知两异面直线a,b,经过空间任一点O,分别作直线a a,b b,相交直线a，b所成的锐角 （或直角）叫做异面直线a 与 b 所成的角（或夹角）. （2）异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是(0,2. （3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作 ab. 学科 & 网三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系1直线与平面、平面与平面位置关系的分类（1）直线和平面位置关系的分类按公共点个数分类：直线和平面相交有且只有一个公共点直线和平面平行没有公共点直线在平面内有无数个公共点按是否平行分类：直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内按直线是否在平面内分类：直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内( 直线在平面外 )直线和平面平行（2）平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行 没有公共点；（2）两个平面相交 有一条公共直线. 2直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示图形语言符号语言公共点直线a与平面相交aAI1 个直线a与平面平行a0 个直线a在平面内a无数个平面与平面平行0 个平面与平面相交lI无数个3常用结论（1）唯一性定理过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直（2）异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线考向一平面的基本性质及应用（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3 知这些点都在这两个平面的交线上；学科￥网选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上. （2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点 .常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点 . （3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. 典例 1（1）在下列命题中，不是公理的是A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（2）给出以下四个命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A、B、C、D 共面，点A、B、C、E 共面，则 A、B、C、D、E 共面；若直线a、b 共面，直线a、 c 共面，则直线b、c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面. 其中正确命题的个数是A0 B1 C2 D3 【答案】（1）A （2）B 1如图所示 ,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别是 AB,AA1的中点 . 求证：（1）E,C,D1,F四点共面；（2）CE,D1F,DA 三线共点 . 考向二空间线面位置关系的判断两条直线位置关系判断的策略：(1)异面直线的判定常用到的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直(3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查. 典例 2 如图，在正方体1111ABCDA B C D中， M、N 分别为棱C1D1、C1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1是异面直线；直线 AM 与 DD1是异面直线其中正确的结论为ABCD【答案】 A 2若直线l 与平面 相交，则A平面 内存在直线与l 异面B平面 内存在唯一一条直线与l 平行C平面 内存在唯一一条直线与l 垂直D平面 内的直线与l 都相交典例 3如图所示 ,正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,M,N 分别是 A1B1,B1C1的中点 .问: （1）AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由 . （2）D1B 和 CC1是否是异面直线?说明理由 . 【解析】（ 1）AM 和 CN 不是异面直线.理由如下 : 如图 ,连接 A1C1,AC,MN,学科 #网M,N分别是A1B1,B1C1的中点,MNA1C1. 又 A1AC1C,A1ACC1为平行四边形 , A1C1AC,MN AC, A,M,N,C 在同一个平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线. 3如图，平面,a bbaA cII平面,且ca，求证 :b,c 是异面直线 . 考向三异面直线所成的角求异面直线所成的角的常见策略：(1)求异面直线所成的角常用平移法平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移学 %科网(2)求异面直线所成角的步骤一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. (3)判定空间两条直线是异面直线的方法判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面典例 4如图，四棱锥PABCD中，90ABCBADo，2BCAD，PAB和PAD都是等边三角形，则异面直线CD和PB所成角的大小为A90oB75oC60oD45o【答案】 A 在GHA中，1223,2,2222GHEFAHAEFGAG，则222AGGHAH，所以90AEFo，故选 A. 【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题 . 4如图 ,已知棱长为a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,设 M,N 分别是 A1B1,BC 的中点 . （1）求 MN 与 A1C1所成角的正切值; （2）求 B1D 与 A1C1所成角的大小. 1在正方体中，与成异面直线的棱共有A 条B 条C 条D 条2下面四个条件中，能确定一个平面的条件是A空间中任意三点B空间中两条直线C一条直线和一个点D两条平行直线3已知直线平面,直线平面,则AB异面C相交D无公共点4若直线a ,给出下列结论：内的所有直线与a 异面；内的直线与a 都相交；内存在唯一的直线与a 平行；内不存在与a 平行的直线其中成立的个数是A0 B1 C2 D3 5如图 ,在四面体中 ,若直线和相交 ,则它们的交点一定A在直线上B在直线上C在直线上D都不对6在空间中 ,下列命题正确的是A若平面内有无数条直线与直线l 平行 ,则lB若平面内有无数条直线与平面平行 ,则C若平面内有无数条直线与直线l 垂直 ,则lD若平面内有无数条直线与平面垂直 ,则7给出下列四种说法: 两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；一条直线和一个点确定一个平面；若四点不共面, 则每三点一定不共线；三条平行线确定三个平面正确说法的个数为A1 B2 C3 D4 8已知,m n为异面直线 ,平面平面，直线 满足,则A且lB且C 与相交 ,且交线垂直于D 与相交 ,且交线平行于9若空间中四条两两不同的直线1234,l lll，满足12ll，23ll，34ll，则下列结论一定正确的是A14llB14llC1l与4l既不垂直也不平行D1l与4l的位置关系不确定10 在如图所示的正方体1111ABCDA B C D中分别是棱的中点 ,则异面直线与所成角的余弦值为A147B57C105D2 5511已知在正方体1111ABCDA B C D中（如图），l平面1111A B C D，且l与11B C不平行，则下列一定不可能的是Al 与 AD 平行Bl 与 AB 异面C l 与 CD 所成的角为30Dl 与 BD 垂直12在空间四边形ABCD中，,E F G H分别是,AB BC CD DA的中点 .若ACBDa，且AC与BD所成的角为60o，则四边形EFGH的面积为A238aB234aC232aD23a13我国古代九章算术里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？” 该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为 尺，则异面直线与所成角的正弦值为ABCD14如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：与平行；与为异面直线；与成 60 角；与垂直 .以上四个命题中，正确命题的个数是A1 B2 C 3 D4 15若直线和平面平行 ,且直线,则两直线和 的位置关系为 _ . 16如图所示，1111ABCDA B C D是长方体， O 是 B1D1的中点，直线A1C 交平面 AB1D1于点 M，给出下列结论：A、M、O 三点共线； A、 M、O、 A1不共面； A、M、 C、O 共面； B。