一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.解: 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200<1－20%><1+x>2＝193.6,即<1+x>2＝1.21,解这个方程,得x1＝0.1,x2＝－2.1〔舍去.答这两个月的平均增长率是10%.说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m<1+x>2＝n求解,其中m＜n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m<1－x>2＝n即可求解,其中m＞n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出〔350－10a件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意,得<350－10a>＝400,整理,得a2－56a+775＝0,解这个方程,得a1＝25,a2＝31.因为21×<1+20%>＝25.2,所以a2=31不合题意,舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100〔件.答需要进货100件,每件商品应定价25元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入"少儿银行",到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给"希望工程",剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.〔假设不计利息税解 设第一次存款时的年利率为x.则根据题意,得[1000<1+x>－500]<1+0.9x>＝530.整理,得90x2+145x－3＝0.解这个方程,得x1≈0.0204＝2.04%,x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈－1.63舍去.答 第一次存款的年利率约是2.04%.说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为m,上口宽为m.则根据题意,得·x＝1.8,整理,得x2+0.8x－1.8＝0.解这个方程,得x1＝－1.8〔舍去,x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口宽2.5m,渠深1m.说明 求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.五、古诗问题例5 读诗词解题：〔通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄.大江东去浪淘尽,千古风流数人物；而立之年督东吴,早逝英年两位数；十位恰小个位三,个位平方与寿符；哪位学子算得快,多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x－3.则根据题意,得x2＝10+x,即x2-11x+30＝0,解这个方程,得x＝5或x＝6.当x＝5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去；当x＝6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.答 周瑜去世的年龄为36岁.说明 本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6 象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解 设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与个选手比赛一局,共计n局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为n局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n分.显然与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n＝1980,得n2－n－1980＝0,解得n1＝45,n2＝－44〔舍去.答参加比赛的选手共有45人.说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去XX湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去XX湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去XX湾风景区旅游？解 设该单位这次共有x名员工去XX湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000,所以员工人数一定超过25人.则根据题意,得[1000－20]x＝27000.整理,得x2－75x+1350＝0,解这个方程,得x1＝45,x2＝30.当x＝45时,1000－20＝600＜700,故舍去x1；当x2＝30时,1000－20＝900＞700,符合题意.答：该单位这次共有30名员工去XX湾风景区旅游.说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.图1如果人数超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低20元,但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人,人均旅游费用为1000元.八、等积变形例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园〔阴影部分所占的面积为原来荒地面积的三分之二.〔精确到0.1m〔1设计方案1〔如图2花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.〔2设计方案2〔如图3花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件,请说明理由.解 都能.〔1设小路宽为x,则18x+16x－x2＝×18×15,即x2－34x+180＝0,解这个方程,得x＝,即x≈6.6.〔2设扇形半径为r,则3.14r2＝ ×18×15,即r2≈57.32,所以r≈7.6.图2图4 图3说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变,但重量不变,等等.九、动态几何问题例9 如图4所示,在△ABC中,∠C＝90°,AC＝6cm,BC＝8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.〔1如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米？〔2点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间；若不存在,说明理由.解 因为∠C＝90°,所以AB＝＝＝10〔cm.〔1设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以AP＝xcm,PC＝<6－x>cm,CQ＝2xcm.则根据题意,得·<6－x>·2x＝8.整理,得x2－6x+8＝0,解这个方程,得x1＝2,x2＝4.所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.〔2设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.则根据题意,得<6－x>·2x＝××6×8.整理,得x2－6x+12＝0.由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明 本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程＝速度×时间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.〔1若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米？〔2若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米？〔3如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米？解 依题意,梯子的顶端距墙角＝8〔m.〔1若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理,列方程72+<6+x>2＝102,整理,得x2+12x－15＝0,解这个方程,得x1≈1.14,x2≈－13.14〔舍去,所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.〔2当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理,列方程<8－x>2+<6+1>2＝100.整理,得x2－16x+13＝0.解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14〔舍去.所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.〔3设梯子顶端向下滑动xm时,底端向外也滑动xm.则根据勾股定理,列方程 <8－x>2+<6+x>2＝102,整理,得2x2－4x＝0,解这个方程,得x1＝0〔舍去,x2＝2.所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题图5例11 如图5所示,我海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点,岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.〔1小岛D和小岛F相距多少海里？〔2已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里？〔精确到0.1海里解〔1F位于D的正南方向,则DF⊥BC.因为AB⊥BC,D为AC的中点,所以DF＝AB＝100海里,所以,小岛D与小岛F相距100海里.〔2设相遇时补给船航行了x海里,那么DE＝x海里,AB+BE＝2x海里,EF＝AB+BC－－CF＝<300－2x>海里.在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2＝1002+<300－2x>2,整理,得3x2－1200x+100000＝0.解这个方程,得x1＝200－≈118.4,x2＝200+〔不合题意,舍去.所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明 求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12 如图6所示,正方形ABCD的边长为12,划分成12×12个小正方形格,将边长为n〔n为整数,且2≤n≤11的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为×个小正方形.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：〔1由于正方形纸片边长n的取值不同,完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表：纸片的边长n23456使用的纸片张数〔2设正方形ABCD被纸片盖住的面积〔重合部分只计一次为S1,未被盖住的面积为S2.①当n＝2时,求S1∶S2的值。
