学而思2011年秋季四年级超常123班难题汇总(共15讲).doc

学而思学而思 20112011 年秋季北京四年级超常年秋季北京四年级超常 123123 班难题汇总班难题汇总第一讲第一讲 整数与数列整数与数列找规律、记公式是本讲的主要内容，尤其是平方差公式、平方和公式，孩子第一次接触，需要有个理解消化的过程1、一列数是按以下条件确定的：第一个是 3，第二个是 6，第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的 2 倍，则第六个数等于：______，从这列数的第______个数开始，每个都大于 2007难度级别】★★☆☆☆【解题思路】找规律第 1 个：3第 2 个：6＝3×2第 3 个：18＝(3+2×3)×2＝3×(1+2)×2＝3×3×2＝32×2第 4 个：54＝(3+6+18)×2＝(3+3×2+3×3×2)×2＝(3×3+3×3×2)×2＝(3×3×3)×2＝33×2……第 n 个：3n-1×2这个式子孩子不一定理解，但是孩子可以明白：每个数是其前面数的 3 倍(第 1、2 个数除外)，前 8 个数是：3、6、18、54、162、486、1458、4374由公式，第 6 个数：35×2＝486由 3n-1×2 > 2007，得 3n-1 > 1003.5，n>=8（其实，第 6 个数是486，第 7 个数就是 486×3＝1458，第 8 个数1458×3＝4374>2007） 。

答案】486，82、 【例 5】计算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16计算：1×99 + 2×98 + 3×97 + … + 49×51【难度级别】★☆☆☆☆【解题思路】此题没有难度，就是平方差公式的应用，列在这里是想说一下如何找中间数2 个数的中间数＝2 个数的和除以 2，或者＝小的数 + 2 个数的间隔的一半（大的数 - 2 个数的间隔的一半） 例如 11 和 19 的中间数是15（(11+19)/2=15,19-11=8,8/2=4,11+4=15,19-4=15）, 2 和 98 的中间数是 50（(2+98)/2=50,98-2=96,96/2=48,2+48=50,98-48=50） 计算题中平方差的应用主要是找准中间数另外，项数要数对了，例如第 2 道计算题是 49 项，而不是 50 项1)=(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152-12)=870(2)=(502-492)+(502-482)+(502-472)+…+(502-12)=502×49-(492+482+472+…+12)=2500×49-49×50×99÷6=82075【答案】870，82075。

3、 【学案 4】计算：2×4 + 4×6 + 6×8 + … + 28×30【难度级别】★☆☆☆☆【解题思路】此题不难，主要是考一下孩子要先提取公因式，再继续往下做，用到 n(n+1)= n2+n 和平方和公式：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6每个乘积的 2 个数分别提取个 2，2×2＝4，相等于提取 42×4 + 4×6 + 6×8 + … + 28×30＝4×（1×2 + 2×3 + 3×4 + … + 14×15）括号内的，例题讲过，通用的方法是：n×（n + 1）= n2 + n这样构成了 2 个数列，一个平方和，一个等差数列（连续自然数） ＝4×（12+1 + 22+2 + 32+3 + … + 142+14）＝4×[（12+22+32+…+142+）+（1+2+3+…+14）]＝4×（14×15+29÷6 + 15×14÷2）＝4480【答案】44804、 【学案 1】我们把相差为 2 的两个奇数称为连续奇数，自然数1111155555 是否是两个连续奇数的乘积？【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】这道题，直接证明不太容易，尝试拆分是可做的当然本题考孩子的是找规律。

先说一下不找规律，看看用尝试法如何做，以下分拆过程是大家容易想到的1111155555＝1111100000 + 55555＝11111×100000+11111×5＝11111×（100000+5）＝11111×100005（因 100005 比 11111 大，想办法变小）＝11111×20001×5（先考虑是 5 的倍数）＝11111×6667×5×3（再看到 20001 是 3 个倍数）＝33333×33335从 11111×6667×5×3 这个式子可以看出来，11111×3 得到 3 万多，6667×5 也得到 3 万多，这样两两组合应该可以得到比较接近的两个数（当然也是尝试法） 找规律，方法如下：1 个 1，1 个 5，15＝3×52 个 1，2 个 5，1155＝33×353 个 1，3 个 5，111555＝333×335……n 个 1，n 个 5，11…155…55＝33…3×33…35(都是 n 位数)所以，5 个 1，5 个 5，1111155555＝33333×33335【答案】可以，1111155555＝33333×333355、 【学案 2】47 个互不相同的非零自然数之和为 2000，问最少有多少个偶数？【难度级别】★★★☆☆【解题思路】此题，孩子可能无从下手。

先将最少多少个偶数，转换为最多多少个奇数要想奇数最多，肯定越小越好，所以从 1、3、5 开始考虑，从1、3、5 一直加到多少会接近 2000 呢？假设有 n 个奇数，第 n 个奇数是 2n-11+3+5+…+(2n-1)=(1+2n-1)*n/2=n2n=44 时，n2=1936；n=45 时，n2=2025所以 n 最大为 44，47－44＝3，偶数最多 3 个给出一例：2000=1+3+5+…+85+87+(2+4+58)，保证 3 个偶数和为 64即可（2000-1936=64） 答案】最少有 3 个偶数6、 【作业 1】计算：12345678987654321×9＝_____________【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】这道题，将 9 变成(10-1)也不是太复杂，当然本题考孩子的是找规律12=1112=1211112=1232111112=1234321……数如果是 n 个 1(1） 这 5 秒就是乙早到的 5 秒钟，5×4＝20(米)，20÷(5-4)=20(秒)，20×5＝100 米答案】100 米75、 【学案 4】如图，甲、乙两辆汽车在周长为 360 米的圆形道上行驶，甲车每分钟行驶 20 米。

他们分别从相距 90 米的 A、B 两点同时出发，背向而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向当乙车到达 B 点时，甲车经过 B 点后恰好又回到 A 点此时甲车立即调头前进，乙车经过 B 点继续行驶请问：再经过多少分钟甲车与乙车再次相遇？【难度级别】★★★★★【解题思路】此题先是要读懂题，另外考虑需要求第二次相遇的时间，距离知道，甲的速度知道，BA甲甲乙乙唯一缺的就是乙的速度，想办法求乙的速度从出发到第一次相遇，再到乙返回 B 点甲恰好到达 A 点，因为甲乙用的时间相等，想办法知道他们走的距离之间的倍数关系就可以了甲走的是一个整圆，乙走的是一去一回要想找甲乙走的距离之间的关系， “乙走的是一去一回”是关键此题的突破口在于“第一次相遇后乙返回 B” ，乙走的是一去一回，乙来回的时间是相等的而乙返回 B 甲恰好到达 A，第一次相遇前甲乙用时相等，同时乙返回 B、甲到达 A 用时也相等，从“突破口”知道乙来回时间相等，所以甲从 A 到第一次相遇点、从第一次相遇点再到 A，时间相等，说明第一次相遇点正好是半个圆，半圆＝180 米，第一次相遇点到 B 的距离＝180－90＝90 米从第一次相遇过程知道，甲走 180 米，乙走 90 米，甲的速度是 20米/分，所以乙的速度是 10 米/分。

第二次相遇：距离和＝90 米，速度和＝20+10＝30(米/分)，所以，时间＝90÷30=3(分)答案】3 分钟76、 【作业 8】周长为 400 米的跑道上，有相距 100 米的 A、B 两点甲、乙两人分别从 A、B 同时反向跑步相遇后，乙即转身与甲同向跑步，当甲跑到 A 时，乙恰好跑到 B当甲追上乙时，甲共跑了多少米？【难度级别】★★★★★【解题思路】此题与学案 4 分析方法相同C BA刚一读此题，我有两点疑问：一、是反向跑步是相向还是背向？二、甲跑到 A 时乙恰好跑到 B，在这之前的整个过程甲没有追上乙呀，为什么求甲追上乙？第一个疑问，在下面的解题过程中可以搞清楚是相背而不是相向第二个疑问是因一个误区产生的，误区就是：以为甲跑到 A 时乙恰好跑到 B，这时就不跑了如果想明白还会继续跑，就没有此疑问了，继续跑，甲比乙快（为何甲快解题中有阐述） ，甲当然会追上乙的相遇前后，乙回到 B 跑了一个来回，来回的时间肯定是相等的，那么甲在相遇点前后（后指的是：回到 A）时间也相等，所以相遇点 C 是半个圆的点，半圆长度是 200 米，弧 BC＝200－100＝100 米从这里可以看出，甲乙只能是相背而跑，不可能是相向（相向必定在 AB 之间的 100 米相遇，矛盾） ，也看出甲跑 200 米乙跑 100 米，所以甲快。

甲在 A 点乙在 B 点，甲要想追上乙，需要追 400－100＝300 米，已知甲跑 200 米乙跑 100 米可以追上 100 米，要追 300 米需要甲跑 600米乙跑 300 米加上甲一开始跑的一圈 400 米甲共跑了 400+600＝1000米答案】100 米77、 【例 6】如图，学校学校操场的 400 米跑道中套着 300 米小跑道，大跑道与小跑道有 200 米路程相重甲以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒 4 米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点 A 处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？【难度级别】★★★★★【解题思路】变道问题，需要分段考虑甲乙只能在大圈的右半圈相遇1)甲比乙快，甲先到达大圈对面的中点 B，第一次会在大圈右半圈相遇，T1＝400÷（6+4）＝40(秒)甲走 40×6＝240(米)，240－200＝40(米)，相遇点在大圈对面中点 B 的右侧 40 米处2)乙回到出发点 A 的距离＝100+40＝140(米)，需用时：140÷4＝35(秒)，甲回到出发点 A 的距离＝400－240＝160(米)，需用时：160÷6＝26.67(秒)、、、存在整除关系，只有不存在整除关系，x＝7，幻和是 19。

给出一种填法：上面 1、4、8、6 对应下面 9、5、2、3我找这个答案也用了几分钟时间，或许填法也有玄机，我没有去深究答案】剩下的那个数是 786、 【例 8】图中有大中小 3 个正方形，组成 8 个三角形现在先把1、2、3、4 分别填在大正方形的 4 个顶点上，再把 1、2、3、4 分别填在中正方形的 4 个顶点上，最后把 1、2、3、4 分别填在小正方形的 4个顶点上1)能否使 8 个三角形顶点上的数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由2) 能否使 8 个三角形顶点上的数字之和各不相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由难度级别】★★★☆☆【解题思路】将 8 个三角形的顶点全部累加起来，则大正方形的顶点各使用 1 次，中正方形的顶点各使用 3 次，小正方形的顶点各使用 2次1+2+3+4＝10，1×10+3×10+2×10＝60，60 不能被 8 整除，所以第 1 问不能第 2 问，各不相同是可以的，如图，8 个三角形的顶点和分别是：4、5、6、7、8、9、10、11答案】见解题思路87、 【例 5】在下图中，将 1～9 这九个数填入圆圈内，使每个三角形三个顶点的数字之和都相等。

难度级别】★★★☆☆【解题思路】此题计算幻和有一个巧妙2413213241345678910114的方法，学会从拆分结果中寻找合适的数字先搞清楚有 4 个小△、3 。