第四章不定积分习题课-带解答.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -第四章 不定积分 习题课1．原函数 如 F〔x〕f 〔 x〕 ，就称F 〔 x〕 为f 〔 x〕 的一个原函数．如 F 〔 x〕 是f 〔 x〕的一个原函数，就f 〔 x〕的全部原函数都可表示为F 〔 x〕 C ．2．不定积分f 〔 x〕 的带有任意常数项的原函数叫做f 〔 x〕 的不定积分，记作 f 〔 x〕dx ．如 F 〔 x〕 是f 〔 x〕 的一个原函数，就f 〔 x〕 dxF 〔 x〕 C ，3．基本性质1） [f 〔 x〕dx ]f 〔 x〕 ，或 d[f 〔 x〕dx]f 〔 x〕 dx ；2） dF 〔x〕F 〔x〕C ，或F 〔 x〕dxF 〔 x〕 C ；3） [f 〔 x〕g〔 x〕] dxf 〔x〕dxg〔 x〕dx ；4） kf〔x〕dxk f 〔 x〕dx ，（ k0 ，常数）．4．基本积分公式（ 20 个）原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念；不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一．5. 例题例 1 已知f 〔 x〕 的一个原函数是ln 2x ，求 f〔 x〕 ．解 f 〔 x〕〔ln 2 x〕2 ln x 1 ，xf 〔x〕2 ln x x2 〔1x 2ln x〕 ． 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 2 设f 〔 x〕dx2 sin x2C ，求f 〔x〕 ．解 积分运算与微分运算互为逆运算，所以f 〔x〕[ f 〔x〕dx][ 2 sin x C] 2cos x ．2xx例 3 如f 〔x〕 的一个原函数是2x ，求f 〔 x〕dx ．x解 由于 2 是f 〔 x〕 的原函数，故f 〔 x〕〔 2 〕2 ln 2 ，所以f 〔 x〕dxf 〔x〕 C2 x ln 2 C ．例 4 求不定积分 3 x ex dx ．解 被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即3 x ex dx〔3 1 e〕 x dx1ln〔 31 e〕〔3 1 e〕 x C3 x e xC ．1 ln 3例 5 求不定积分sin x x2dx ．解 利用求导运算与积分运算的互逆性，得sin xx2 dxsin x．x2 C例 6 求不定积分x 3 xdx ．5 x3解 先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．x 3 xdx5 x31 31x 3 5 dx11x15 dx2615 x15 C ．26 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -x3 x23x 1例 7 求不定积分 dx ．x3 x解 分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即x3 x2x33x 1 dx xx3 x x 2 1 x3 x2 x dx1 21 x x2 1 dxx ln| x |2 arctan x C ．例 8 求不定积分11 cos2xdx ．解 用三角恒等式cos 2 x1 2 sin 2x 将被积函数变形，然后积分．1 dx1 cos 2x12 sin 2 x dx1 csc2 2xdx1 cot x C ．2例 9 求不定积分〔tan 2 xsec2x〕dx ．解 用三角恒等式数，再积分．t an2 xsec2 x1 将被积函数统一化为sec2 x 的函〔tan 2 xsec2x〕dx〔sec2 x 1sec2x) dx〔2 sec2 x1) dx2 t a nxx C ．2例 10 求不定积分1 2xdx ．x 2 〔1 x 2 〕解1x 2 〔12 x2dxx2 〕x2 1x2 〔1x2dxx 2 〕11 x212 dxxarctan x 1 C ．x 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 11 求不定积分1x4 〔1x 2 〕dx ．解 类似于例 10，拆项后再积分1x4 〔14dxx 2 〕1 x2 x 2x4 〔1x4 x 2 〕x dx1 1x 4 x211 x2 dx13x31 arctan x C ． x例 12 一连续曲线过点求该曲线的方程．〔e2 , 3〕 ，且在任一点处的切线斜率等于 2 ，x解 设曲线方程为 yf 〔x〕 ，就 f〔x〕2 ，积分得xf 〔 x〕2 dx x2 ln xC ．（曲线连续， 过点〔e2 , 3〕 ，故 x 0 ）将f 〔e2 〕3 代入，得32 ln e 2C ，解出C1 ．所以，曲线方程为y2 ln x1 ．例 13 判定以下运算结果是否正确1） 〔arctanx〕 2dx1 〔arctan x〕 3C ； 2）1 dxln 1 e x C ．1 x2 3 1 e x解 1）1 〔arctan x〕3 C〔arctanx〕 2，所以运算结果正确．3 1 x 22） ln〔 1e x 〕 Ce x1 e x11 e x， 运算结果不正确，即11 e x dxln 1 ex C ． 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -以下积分都要用到“凑微分” ．请仿照示例完成其余等式1） a0 时，f 〔axb 〕dx1 f 〔ax ab 〕d 〔axb〕 ．2） f 〔sinx〕 cos xdxf 〔sin x〕d sin x ．3） f〔cos x〕 sinxdx4） f〔lnx〕 1 dx x5） a0 ， a1 时，f 〔a x 〕a x dx6） 0 时，f 〔x 〕 x1dx7） f 〔tanx〕 sec2xdx8） f 〔cotx〕 csc2xdx9） f 〔arcsin x〕1 dx 1 x 210） f11） f〔arctan x〕1〔x〕dx1 dx x 2f 〔 x〕例 14 求ln tan xdx ．sin x cos x解 lntan xdxln tan xsec2xdxln tan xdtan xsinxcos xtan xln tan x d 〔lntan x〕tan x．1 2ln tan x C2 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -注 由 于 被 积 函 数 中 含 有ln t a xn， 表 明t a xn0 ， 故1tan xd tan xd ln t a xn．例 15 求以下不定积分1） ln x 1xln xdx ； 2）x〔1x〕100 dx ．解 1）ln x dxx 1 ln xln x11 1ln x1 dx x〔请留意加 1、减 1 的技巧 〕1 ln x11 ln xd 〔1ln x〕2 〔133ln x〕 22〔11ln x〕 2 C ．2） x〔1x〕100 dx〔 x 11〕〔1x〕100 dx〔 x 1〕101 d 〔 x 1〕 〔x 1〕100 d 〔 x 1〕1 〔x102。