概率论与数理统计：第四章多维随机变量及其分布.ppt

多维随机变量及其分布第四章第四章从本讲起，我们开始第四章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 .它是第三章内容的推广.第一讲第一讲 多维随机变量及其多维随机变量及其 分布函数、边缘分布函数分布函数、边缘分布函数 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标）来确定的等等. 若 是定义在同一个样本空间S上的n个随机变量，eS,则由它们构成的一个n维向量（ ）称为n维随机变量，或n维随机向量，简记为 二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论二维r.v(X，Y),多维随机变量可类推二维随机变量（X,Y）X和Y的联合分布函数 X的分布函数一维随机变量X两事件同时发生类似一维r,v的分布函数，定义二维r,v的分布函数如下：定义：设（X，Y）二维随机变量，x, y为任意 实数，则二元函数 称为（X，Y）的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数几何意义：如将( X，Y )看成是平面上随机点 的坐标，则F(x, y)就是(X，Y)落在 以点(x, y)为顶点的左下方无穷矩形 域内的概率。

xoy(x,y)利用分布函数，对任意实数 则 xoy( x1, y1)( x1, y2 )( x2, y2 )( x2, y1 )分布函数性质：1.对任意实数x, y有0F(x, y)1;即F(x, y)对每个自变量都是单调不减的；2.3对任意x, y有 4 即F(x,y)对每个自变量都是右连续的5对任意实数 ，有 若F(x ,y) 满足上述性质，则其必为某一二维r.v (X ,Y)的分布函数 如果二维r.v(X ,Y)的分布函数F(x ,y)已知，可以分别求r.v X和Y的分布函数 即： 称 为分布函数F(x ,y)的边缘分布函数，或二维r.v (X, Y)关于X和Y的边缘分布函数第二讲第二讲 二维离散型随机变量二维离散型随机变量定义1：若二维随机变量( X, Y )所有可能取值是 有限对或可列无限多对，则称( X, Y )为 二维离散型随机变量定义2：设( X, Y )为二维离散型随机变量，所有 可能取值为 i, j=1,2,令 则称 为( X, Y )的分布列，或称为X和Y的联合分布列 二维离散型联合分布列i, j =1,2, 随机变量（X,Y）k=1,2, 一维离散型k=1,2, 分布列 随机变量X分布列的性质： 分布列的表示方法：公式法 列表法： 1 p.1 p.2 p.j p.Jp1 .p2 .pi .pi . p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij x1 x2 X xi Y y1 y2 yj 例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的联合分布列.解：（ X, Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2, Y=1)=3/8P(X=3, Y=0)=1/8列表如下 二维联合分布列全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布列. 那么要问:二者之间有什么关系呢? 从表中不难求得:P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3)=1/8+1/8=2/8.注意这两个分布正好是表2的行和与列和. 如下表所示 我们常将边缘分布列写在联合分布列表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词. 联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.一般，对离散型 r.v ( X,Y )，则(X,Y)关于X的边缘分布列为(X,Y)关于Y 的边缘分布列为X和Y 的联合分布列为 二维离散型随机变量( X, Y )的分布函数可表示如下：其中和式是对所有满足 的i, j 求和。

一维连续型随机变量 X的概率密度二维连续型随机变量X和Y 的联合概率密度第三讲第三讲 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一. 概率密度与边缘概率密度定义：设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x ,y)， 若存在非负函数f(x, y),使得对任意实数 x, y有 则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称f(x, y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为X与Y的联合概率密度 不难得出，对连续型r.v(X,Y)，其概率密度与分布函数的关系如下：在 f (x,y)的连续点概率密度性质： 3.设G是xOy平面上的一个区域，则点(X,Y)4. 落在G中的概率为： 计算性质性质1: 表示Z=f(x ,y)在xOy平面上方的曲面；性质2: 表示Z=f(x ,y)与xOy平面所夹空间区域 的体积为1性质3: 表示P(X,Y)G的值等于以曲面 Z=f(x ,y)为顶，以平面区域G为底的曲 顶柱体的体积几何意义： 对连续型 r.v ( X,Y )，X和Y的联合概率密度为则( X,Y )关于X的边缘概率密度为( X,Y )关于Y的边缘概率密度为例2 设(X,Y)的概率密度是求 (1) c的值； （2）两个边缘概率密度。

5c/24=1,c =24/5(1)由确定C解：例2 设(X,Y)的概率密度是解: (2) 求 (1) c的值; (2) 两个边缘概率密度 .注意积分限注意取值范围xy01y=x例2 设(X,Y)的概率密度是解: (2) 求 (1) c的值; (2) 两个边缘概率密度 .注意积分限注意取值范围xy01y=x即 在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .下面我们介绍两个常见的二维分布. 设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布. 向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标（ X,Y）在G上服从均匀分布.例均匀分布 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立 . 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 .两随机变量独立的定义是：第四讲第四讲 随机变量的独立性随机变量的独立性用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立 . 它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .其中是X,Y的联合密度， 则称X,Y相互独立 .对任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 . 若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的定义等价于：则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有即 例1 设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解：x0 即：对一切x, y, 均有：故X,Y 独立y 0 若(X,Y)的概率密度为情况又怎样？解：0 x1 0y1 由于存在面积不为0的区域，故X和Y不独立 .例2 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？ 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻以12时为起点,以分为单位,依题意,XU(15,45), YU(0,60)解:所求为P( |X-Y | 5) 及P(XY)解: 设X为甲到达时刻， Y为乙到达时刻以12时为起点，以分为单位，依题意，XU(15,45), YU(0,60)甲先到的概率由独立性先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率解一：P(| X-Y| 5) =P( -5 X -Y 5)=1/6=1/2P(XY)解二：P(X Y)P(| X-Y| 5) 类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率. 在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰. 求发生两信号互相干扰的概率. 把长度为a的线段在任意两点折断成为三线段，求它们可以构成三角形的概率.长度为a 随机变量独立性的概念不难推广到两个以上r.v的情形.1. 分布函数 设 为n维随机变量， 为任意实数，则n元函数称为 的分布函数。

2. 概率密度 设 为n维随机变量的分布函数，若存在非负函数 对任意实数 有 则称 为连续型随机变量， 称为n维随机变量的概率密度3. n个随机变量的独立性 设 为n维随机变量 的分布函数，的分布函数（一维边缘分布函数），若对任意实数有则称 是相互独立的 对连续型随机变量，设 的概率密度分别为 ，则 相互独立的充要条件是： 定理1 若连续型随机向量（X1, ,Xn）的概率密度函数f(x1, ,xn)可表示为n个函数g1, ,gn之积，其中gi只依赖于xi，即 f(x1, ,xn)= g1(x1) gn(xn) 则X1, ,Xn相互独立,且Xi的边缘密度fi(xi)与gi(xi)只相差一个常数因子.最后我们给出有关独立性的两个结果：第五讲第五讲 二维随机变量二维随机变量 函数的分布函数的分布 在第三章中，我们讨论了一维随机变量函数Y=g(X)的分布，现在我们进一步讨论二维随机变量函数Z=g(X, Y)的分布 具体说，已知( X, Y )的分布，求Z=g(X, Y)的分布 例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的分布列.解: =a0br+a1br-1+arb0 由独立性此即离散卷积公式r=0,1,2, 一. 离散型随机变量和的分布Z=X+Y依题意 例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布.由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,解：由卷积公式即Z服从参数为 的泊松分布.r =0,1，例3 设X和Y相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布. 回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释: 我们给出不需要计算的另一种证法:同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p. 若X B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p. 故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p).例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的概率密度. 解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线x+y =z 左下方的半平面.二. 连续性随机变量和的分布Z=X+Y 化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得变量代换交换积分次序由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度。