2021-2022学年湖南省郴州市鲁塘中心学校高三数学理期末试卷含解析.docx

2021-2022学年湖南省郴州市鲁塘中心学校高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数上的奇函数，当x>0时，的大致图象为参考答案：B2. 已知集合，B={x|}，则( )A. (0,1) B. (0,2] C. [2,4) D. (1,2]参考答案：D3. 已知函数，则该函数零点个数为A.4　　　　　　B.3 C.2 D.1参考答案：B4. 已知函数，若，则函数的零点个数是（ ） A. 1 B. 2 C．3 D.4参考答案：D略5. 复数，则（A）； （B）； （C）； （D）．参考答案：C略6. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的（ ）A. 66 B. 12 C. 36 D. 198参考答案：A模拟程序框图的运行过程，如下；a=6402，b=2046，执行循环体，r=264，a=2046，b=264，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=198，a=264，b=198，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=66，a=198，b=66不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=66，b=0满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为66.故选A.7. 为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是( )A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】依题意得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），于是有|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，从而可求得|m﹣n|的最小值．【解答】解：由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，易知（k1﹣k2）=1时，|m﹣n|min=．故选：B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，得到|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|是关键，考查转化思想．8. 设函数 ，则（ ）A．－1 B． C． D．参考答案：D9. 已知向量a=（2，1），b=（3，2），若a（a+b），则实数等于（ ）A. B. C. D.参考答案：D10. 三个数，，的大小顺序为（ ）A. B.C. D.参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若复数，则等于 ．参考答案： 12. 在平面直角坐标系内，有四个定点A(?3，0)，B(1，?1)，C(0，3)，D(?1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为 参考答案：解：如图，设AC与BD交于F点，则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，当动点P与F点重合时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值。

13. 与直线2x－y－4＝0平行且与曲线相切的直线方程是 ．参考答案：14. 若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60角，则到底面的距离为 参考答案：15. 在△ABC中，若，，则的值为__________. 参考答案：答案: 16. 已知a=sinxdx则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为　　．参考答案：﹣80【考点】二项式定理；定积分．【分析】利用积分求出a的值，然后求解二项展开式所求项的系数．【解答】解：a=sinxdx=﹣cosx=﹣（cosπ﹣cos0）=2．二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为：，故答案为：﹣80．17. 观察下列不等式：①；②；③；...请写出第个不等式_____________.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=和直线l：y=m（x﹣1）．（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l垂直时，求原点O到直线l的距离；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；（3）求证：ln＜（n∈N+）参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l垂直求出m=﹣2，则直线l的方程可求，由点到直线的距离公式得答案；（Ⅱ）把对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立转化为，然后构造函数，利用导数对m≤0和m＞0分类讨论求得m的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1，m=时，成立，令，结合不等式得到不等式，即，然后利用累加求和得答案．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=，得，∴，于是m=﹣2，直线l的方程为2x+y﹣2=0．原点O到直线l的距离为；（Ⅱ）解：对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，即，也就是，设，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0成立．．①若m≤0，?x使g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾；②若m＞0，方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2，当△≤0，即m时，g′（x）≤0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．当0＜m＜时，方程﹣mx2+x﹣m=0的两根为x1，x2（x1＜x2），，，当x∈（x1，x2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0与题设矛盾．综上所述，m；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1，m=时，成立．不妨令，∴ln，（k∈N*）．∴．．…．累加可得：，（n∈N*）．即ln＜（n∈N*）．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用导数证明函数表达式，对于（Ⅲ）的证明，引入不等式是关键，要求考生具有较强的逻辑思维能力和灵活变形能力，是压轴题．19. （本小题满分12分）已知函数．（I）当时，求函数的定义域；（II）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．参考答案：（I）由题设知：， …………1分不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集： ，或，或，…………4分解得函数的定义域为； …………6分（II）不等式即， …………8分∵时，恒有， …………10分∵不等式解集是，∴，求得的取值范围是．………12分20. (本小题满分12分)如图，在四棱锥中底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示．（I）证明：平面；（II）证明：平面；（III）求四棱锥的体积．参考答案：21. 已知函数. (Ⅰ)是否存在点，使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数 的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (Ⅱ)定义，其中，求； （Ⅲ）在（2）的条件下，令，若不等式对，且恒成立，求实 数的取值范围.参考答案：（1）假设存在点，使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上，则函数图像的对称中心为.由，得，即对恒成立，所以解得所以存在点，使得函数的图像上任意一点关于点M对称的点也在函数的图像上.（Ⅱ）由（1）得.令，则.因为①，所以②，由①+②得，所以.所以.（Ⅲ）由（2）得，所以.因为当且时，.所以当且时，不等式恒成立.设，则. 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.因为，所以，所以当且时，.由，得，解得.所以实数的取值范围是.略22. （12分）海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一轮船在岛北偏东60C处,俯角30,11时10分,又测得该船在岛的北偏西60B处,俯角60.（1）这船的速度每小时多少千米？(2)如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千 米？参考答案：①如图：所示. OB=OA (千米)，（千米）则（千米）（千米/小时）②由余弦定理得：再由正弦定理，得OE=1.5（千米），（分钟）.答：船的速度为千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时所在点E离岛1.5千米.。