双曲线几何--8--教师.doc

其他更多更好的资料见公众号或小编空间圆锥曲线【知识精要】一、 复习引入复习回顾椭圆(a＞b＞0)的几何性质及其研究方法二、 讲解新课我们依照研究椭圆的简单几何性质的方法和步骤来研究双曲线的简单几何性质对于双曲线(a＞0,b＞0)的几何性质（一）范围，|x|≥a,即x≥a,x≤-a由标准方程可知与一个非负数的差等于1，所以≥1，由此推得x的范围.y除受到式子本身的制约外，没有任何限制，说明双曲线位于x≥a与x≤-a的区域内.（二）对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.讨论方法是以-y代y，方程不变，所以双曲线关于x轴对称；以-x代x，方程不变，所以双曲线关于y轴对称；同时以-y代y，以-x代x，方程不变，所以双曲线关于原点对称.（三）顶点：只有两个，即（±a,0）.讨论方法是令y=0,得x=±a,因此双曲线和它的一条对称轴——x轴有两个交点A1（－a,0），A2(a,0)，所以双曲线的顶点是（±a,0）.令x=0时，解得y2=-b2,无实数解，说明双曲线与它的另一条对称轴——y轴没有交点，故双曲线顶点只有两个.注意：双曲线(a＞0,b＞0)与y轴没有交点，但我们也把B1（0，－b),B2（0，b）画在y轴上.线段A1A2叫做双曲线的实轴，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a,虚轴的长为2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，焦点始终在实轴上.（四）渐近线：经过A2、A1作y轴的平行线x=±a,经过B2、B1作x轴的平行线y=±b，这四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线的方程是y=±x，从图中可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.证明：先取双曲线在第一象限的部分进行证明，这一部分的方程可写成y=(x＞a)设M（x,y）是它上面的点，N（x,y）是直线y=x上与M有相同横坐标的点，则y=x∵y==∴|MN|=Y－y=∴|MN|=∴|MN|= 设|MQ|是点M到直线y=x的距离，则|MQ|＜|MN|，当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于0，|MQ|也接近于0，就是说，双曲线在第一象限部分从射线ON的下方逐渐接近于ON.在其他象限内，也可以证明类似的情况.我们把两条直线y=±x叫做双曲线的渐近线.【注1】等轴双曲线在方程中，如果a=b，那么双曲线的方程为x2－y2=a2,它的实轴和虚轴的长都等于2a，这时四条直线x=±a,y=±a围成正方形.渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.【注2】双曲线的画法利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图，具体做法：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后再过这两个点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分.最后根据双曲线的对称性画出完整的双曲线.【精解名题】1、求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程.解：把方程化为标准方程：.由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3..焦点的坐标是（0，－5），（0，5）.渐近线方程为，即.【注意】根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：1、画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜率的确定.2、将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即得双曲线的渐近线方程，再据此推出y=kx的形式.另外需要注意的是：若已知双曲线的标准方程则可以写出其渐近线方程，但若已知双曲线的渐近线方程，则不能仅据此确定a、b的值，只能确定a、b的关系.2、 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且=13×2 (m)，=25×2 (m).设双曲线的方程为 （a>0,b>0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以解方程组由方程（2）得 （负值舍去）.代入方程（1）得化简得 19b2+275b－18150=0 （3）解方程（3）得 b≈25 (m).所以所求双曲线方程为：3、设椭圆与双曲线有共同焦点F1(─4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.解法1：设交点为P(x,y)，双曲线的实半轴长为a (2

令x=0, 得P(0,c)，∵l==2:1，∴, 即Q()，且c=.将Q点的坐标代入双曲线的方程得：=1，化简得：16´─41´─21=0,解得：=3 或= ─ (舍).即b=a (1) 又ab= (2)由(1),(2)解得：a=1,b=.∴所求双曲线的方程为：=15、 过双曲线C：(a＞0,b＞0)上任意一点P，作x轴的平行线，交双曲线的两条渐近线于Q、R两点求证：｜PQ｜·｜PR｜为定值.证明：设P（x0,y0),则=1双曲线渐近线方程为y=±x由，得R(y0,y0)由，得Q（－y0,y0）∴|PQ|·|PR|=|－y0－x0|·|y0－x0|=|x02－y02| =|x02－x02+a2|=a2 ∴|PQ|·|PR|为定值 　　　【巩固练习】1、方程mx2＋ny2＋mn=0(m4或t<1 ． 4．双曲线的准线方程是 y= ． 5．焦点为F1（-4，0）和F2（4，0），离心率为2的双曲线的方程是 ． 6．设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ．15．已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程． 由椭圆． 设双曲线方程为，则 故所求双曲线方程为16．某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．建立坐标系并写出该双曲线方程．。