2019考研数学二答案真题解析.pdf

20192019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题：一、选择题：1 18 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分分. .下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的要求的, ,请将所选项前的字母填在答题纸请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上. .．．．（1）当x  0时，若xtanx与xk是同阶无穷小，则k （）(A)1【答案】C(B)2(C)3(D)4x3【解析】x  0时，有xtanx，故k  33（2）曲线y  xsin x  2cos x (2 x 3)的拐点坐标为（）2 (A)(,)2 2【答案】C(B)(0,2)(C)(,2)(D)(33,)22【解析】y  sin x xcosx2sin x  xcosxsin x，y  cosx xsin xcosx  xsin x，令y 0得x  0或x ，当xU(0,)，y 0，故(0,2)不是拐点；当x 时，y  0；当x 时，y 0，故(,2)为拐点.（3）下列反常积分发散的是（）(A)0xexdx(B)0xexdx2(C)0arctanxdx21 x(D)0xdx21 x【答案】D【解析】0x12dxln(1 x )21 x2x0 ，故选项 D 正确；选项 A：0xe dx  (2) 1；选项 B：0xexdx 21x221edx ；0220选项 C：0arctanx12dxarctanxdarctanx(arctanx)01 x2228.（4）已知微分方程yayby ce的通解为y(C1C2x)exex，则a,b,c依次为（）x(A)1, 0,1【答案】D(B)1,0, 2(C)2,1, 3(D)2,1, 4【解析】由通解形式可得，(C1C2x)ex是对应齐次方程的解，故是1其二重特征值，所以其特征方程为(1)20，即2210，所以a2,b1；再将特解ex带入原方程可得c  4I （5）已知积分区域D {(x, y) x  y 2}，1Dx2 y2dxdy，I2sinx2 y2dxdy，DI3(1cosx2 y2)dxdy，试比较I1,I2,I3的大小（）D(A)I3 I2 I1(B)I1 I2 I3(C)I2 I1 I3(D)I2 I3 I1【答案】A【解析】 在区域D上，x  y 2224， 令x  y， 则0 u 222， 所以有sinx2 y2x2 y2；令f (u) 1cosusinu，则f (u) sinucosu，故当0  u 4，f (u)  0；当4u 2，f (u)  0；而f (0)  f ()  0，所以f (u)  0，即1cosu sinu，得到1cosx  y sin222x2 y2综合对比可得，I3 I2 I1.(6) 函数f (x),g(x)的二阶导函数在x  a处连续，则limxaf (x) g(x) 0是两条曲线y  f (x)，(xa)2y  g(x)在x  a对应的点处相切及曲率相等的（）(A)充分非必要条件(B)充分必要条件(C)必要非充分条件(D)既非充分又非必要条件【答案】A【解析】 （充分性）由泰勒公式可得：f (x)  f (a) f (a)(xa)f (a)(xa)2o(xa)2；2g(x)  g(a) g(a)(xa)则limxag(a)(xa)2o(xa)22f (x) g(x) 0，可得f (a)  g(a)，f (a)  g(a)，f (a)  g(a)，由此可得在x  a处相切。

xa)2k y1 y 232由曲率公式可得两曲线在x  a处曲率相同.（必要性）若函数y  f (x)，y  g(x)在x  a处相切可得f (a)  g(a)，f (a)  g(a)；由曲率相等k f (a)1[ f (a)]322g(a)1[g(a)]322，可得：f (a)  g(a)但若f (a)  g(a)，有limxa（7） 设f (x) g(x) f (a)不一定为0，故必要性不一定成立.(xa)2A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵， 若线性方程组Ax  0的基础解系中只有2个向量， 则A*(B) 1(C) 2(D) 3的秩是（）(A) 0【答案】A【解析】因为Ax  0的基础解系中只有2个向量，故有nr(A)  2，即r(A)  42 2，又因为n,r(A)  nr(A*) 1,r(A)  n1，所以r(A*)  00,r(A)  n1（8）设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2 A  2E且A  4，则二次型xTAx的规22y12y2y322y12y2y322y12y2y3范形为（）(A)22y12y2y3(B)(C)(D)【答案】C【解析】设矩阵又因为A的特征值为，由A2 A  2E可得，2 2，解得1,2，222A  4 123， 故A的3个特征值为1,2,2， 所以二次型xTAx的规范形为y1y2y3.二、填空题：二、填空题：9 91414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分分. .请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上. .9.lim(x2x)xx02.【答案】4e2【解析】lim(x2x)x ex02x0lim(x2x1)2x e22ln2 4e210.曲线x  t sint3在t对应点处切线在y轴的截距为2y 1cost.【答案】2【解析】当t时，x +1, y 1，y 32323232dydy / dtsintdxdx / dt1cost323t2 132故切线方程为y 1 1(x1)，即y  x2，令x  0，y 2zzy211.设函数f(u)可导，z  yf ()，则2x yxyxy2【答案】yf ()x.zy2y22yy22y2y2zy2y2y3y2 f ()f ()【解析】 yf ()(2)  2f ()， f () yf ()yxxxxxxxxxxxy3y2zzy22y2y2y2f () yf ()则2x y 2x2f () yf ()xyxxxxxx12.设函数y  lncos x (0  x 6)的弧长为.【答案】ln326060【解析】s 1 y dx x2601 tan xdx secxdx  ln secx tan x602ln3213.已知函数f (x)  x11sint2dt，则0f (x)dx t.【答案】cos114x【解析】设F(x) 111111112sint2dt，故有f (x)dx xF(x)dx F(x)dx2x2F(x)1x F(x)dx000t20220112sin x2111 xdx  xsin x2dx cosx220x20410cos11411002111，Aij表示A中元素(i, j)的代数余子式，则A11 A1214.已知矩阵A 32210034【答案】411111121112111 121  010  4【解析】A11 A12 A 322131210340340034003411001000.三、解答题：三、解答题：15152323 小题，共小题，共 9494 分分. .请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上. .解答应写出文字说明、证明过程解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤或演算步骤. .15.设函数y  f (x)是微分方程y xy  ex22满足条件y(0)  0的特解。

1）求y  f (x)；（2）求曲线y  y(x)的凹凸区间及拐点 【答案】 （1）y  xe拐点为( 3, 3ex22； （2）凸区间为(, 3)(0, 3)，凹区间为( 3,0)( 3,)，3232)，(0,0)，( 3,3e)xdx【解析】 （1）y(x) e(ex22edxC) exdxx22(ex22e dxC) ex22x22(xC)，因为y(0)  0，得C  0，所以y  xe（2）由（1）有y  ex22x22；x22 xex22x22(x)  (1 x2)ex22，y  2xex22(1 x2)e(x)  (x33x)e，令y  0得x  0, 3，当x   3或0  x 当 3  x  0或x 3时，y 03时，y  0所以凸区间为(, 3)(0, 3)，凹区间为( 3,0)( 3,)，又y( 3)   3e32，y( 3) 323e，y(0)  0，3232所以拐点为( 3, 3e16.求不定积分【解析】由于)，(0,0)，( 3,3e).3x6dx (x1)2(x2 x1)3x6232x1 2 222(x1) (x  x1)x1(x1)x  x1232x1 112x12dx3dx 2dxdx  222x1(x1)x  x1x1(x1)x  x1故原积分可化为： 2ln x1 31d(x2 x1) 2x1x  x1 2lnx1 3ln(x2x1)C x117.已知y(x)满足微分方程y xy 12 xe，且有y(1)e.x22（1）求y(x)（2）D {(x, y) 1 x  2,0  y  y(x)}，求平面区域D绕x轴旋转成的旋转体体积.【解析】 （1）y(x) e xdx1xxdx2e edxC2 x2 1 edxC e2( x C)2 x又因为y(1)e，故C  0所以y 2x22x2xex22（2）V 21x22x22x224x22xe dx 1xe dx 1e dx e1(e e)222218.已知平面区域D {(x,y) x  y,(x  y )  y }，计算二重积分22 34DDx yx  yxx  y2222dxdydxdy0【解析】(x  y )  y的极坐标方程r sin22 342，由对称性可得：所以4Dx yx  y22dxdyDsin2rsin2dxdy 2rdrd 2drsindr220rx  y4D1y44 2sin5d2(1cos2)2d cos2(12cos2cos4)d cos21=(coscos3cos5)3524432120Sn19.n N*，Sn是f (x)  exsinx(0 x  n)的图像与x轴所围图形的面积求Sn，并求limn【解析】面积S n0exsin x dx exsin xdxexsin xdx02k0n1(k1)kexsin x dx (1)k0n1kk(k1)1esin xdx (1) [ex(cosxsin x)]2k0kxkn1(k1)1n1(1)k1[e(k1)(1)k1ek(1)k]2k0(n1)n11n1(k1)11kk1e[ee](1e)e(1e)2k0221ek011e(n1)111 e1所以limSn(1e)lim(1e)nn21e21e2 e 12u2uuu30，求a,b的值，使得在变换20.已知函数u(x, y)满足22223xyxyu(x, y)  v(x, y)eaxby下，上述等式可化为v(x, y)不含一阶偏导数的等式.【解析】uvaxbyev(x, y)aeaxbyxx，uvaxbyev(x, y)beaxbyyy2u2vaxbyvaxby2axbye aev x y a e2( , )22xxx，2u2vaxbyvaxby2axby2( , )e bev x y b e22yyy2u2uu0带入已知条件22223xyy2vaxby2vaxbyvaxbyvaxby2axby2axby2aev(x, y)a e22( , )ebev x y b e得：22ey2xxyvv+3eaxbyv(x, y)aeaxby+3eaxbyv(x, y)beaxby=0xy2v2vvv(34b)(2a22b23a3b)v(x, y) 0整理得：2(22)(4a3)xyxy由题意可得上式不含v(x, y)的一阶偏导数，所以4a30,34b 0，即：a  ,b 21.已知函数f (x)在[0,1]上具有二阶导数，且f (0)  0，f (1)1，343410f (x)dx 1，证明：（1）存在(0,1)，使得f () 0（2）存在(0,1)，使得f () 2【解析】 （1）令F(x) x0f (t)dt，易知F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，由拉格朗日中值定理可得：存在c(0,1)使得F(1)F(0)  F(c)，即f (c) 1对f (x)在[c,1]上使用罗尔定理可得，存在(c,1) (0,1)，使得f () 0（2） 令G(x)  f (x) x2， 分别在[0,c],[c,1]上应用拉格朗日中值定理可得： 存在1(0,c)，2(c,1)使得G(c)G(0) G(1)c；G(1)G(c) G(2)(1c)c21即：G(1) ；G(2) 1cc在[1,2]上对G(x)再次使用拉格朗日中值定理可得：G(2)G(1) G()(21)c211cG(2)G(1)整理可得cc10G ()  f ()2c(21)2121故有f () 2.111101 1 ,0 ,21,2,3122.已知向量组II（I），（ ）23123  ，44a23a31aa23  若向量组（I）和向量组（II）等价，求a的值，并将3用1,2,3线性表示.【解析】 （1）因为向量组（I）和向量组（II）等价，所以有r(1,2,3) r(1,2,3) r(1,2,3,1,2,3)1101112123对其初等行变换有：(1,2,3,1,2,3) 1044a23a31aa2311011101102200a21a1 1aa21① 若a 1，有r(1,2,3)  r(1,2,3)  r(1,2,3,1,2,3) 3，所以向量组（I）和向量组（II）等价② 若a 1，有r(1,2,3) r(1,2,3) r(1,2,3,1,2,3)2所以向量组（I）和向量组（II）等价111111111023（2）① 当a 1，因为(1,2,3,3) 102301120112，444400000000TT所以3 k(2,1,1) (3,2,0)，k R，即3(32k)1(k 2)2k3,kR.1111111001112301 120101② 当a 1，(1,2,3,3) 1044a2+3a2+300110011所以3123210221x2与B 010相似.23.已知矩阵A200y002（1）求x, y（2）求可逆矩阵P使得P1AP B.【解析】 （1）由于A与B相似，根据相似性质，有：A  B，tr(A)tr(B)；即：2(2x4) 2y，2x2 21 y解得x  3,y  2；（2）B是上三角矩阵，则B的特征值为1,2,2，又因为A和B相似，则A的特征值也为1,2,2对矩阵A：当2时，解(2E  A)x 0得T11 (1,2,0)；当时，解(E  A)x 0得T1 12 (2,1,0)；当(2E  A)x 0得T3 2时，解3 (1,2,4)；对矩阵B：当T12时，解(2E B)x 0得1 (1,0,0)；当时，解(EB)x 0得T1 12 (1,3,0)；当(2EB)x 0得T3 2时，解3 (0,0,1)；令P(1211,2,3)，则P1AP112；2令P11,2,3)，则P2AP212(；21P11111AP1 P2AP2，则P2P1APP12 B；故P  P11P220111204.。