高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二导学案新人教A版必修4.doc

1.3 三角函数的诱导公式（二）学习目标　1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一　诱导公式五完成下表，并由此总结角α，角－α的三角函数值间的关系.(1)sin＝，cos＝，sin＝cos；(2)sin＝，cos＝，sin＝cos；(3)sin＝，cos＝，sin＝cos.由此可得诱导公式五sin=cos α，cos=sin α.知识点二　诱导公式六思考　能否利用已有公式得出＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案　 以－α代替公式五中的α得到sin ＝cos(－α)，cos ＝sin(－α).由此可得诱导公式六sin=cos α，cos=－sin α.知识点三　诱导公式的推广与规律1.sin(π－α)＝－cos α，cos(π－α)＝－sin α，sin(π＋α)＝－cos α，cos(π＋α)＝sin α.2.诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.类型一　利用诱导公式求值例1　(1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值.(2)已知cos＝，求cos·sin的值.解　(1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝，又α为第一象限角，则cos＝－sin α＝－＝－ ＝－.(2)cos·sin＝cos·sin＝－cos·sin＝－sin＝－cos＝－.反思与感悟　对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.跟踪训练1　已知sin＝，求cos的值.解　∵＋α＋－α＝，∴－α＝－.∴cos＝cos＝sin＝.类型二　利用诱导公式证明三角恒等式例2　求证：＝－tan α.证明　∵左边＝＝＝＝＝－＝－tan α＝右边.∴原等式成立.反思与感悟　利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.跟踪训练2　求证：＝.证明　因为左边＝＝＝＝＝＝.右边＝＝.所以左边＝右边，故原等式成立.类型三　诱导公式在三角形中的应用例3　在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状.解　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.∵sin＝sin，∴sin＝sin，∴sin(－C)＝sin(－B)，即cos C＝cos B.又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B，∴△ABC为等腰三角形.反思与感悟　解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，＝，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos，cos＝sin.跟踪训练3　在△ABC中，给出下列四个式子：①sin(A＋B)＋sin C；②cos(A＋B)＋cos C；③sin(2A＋2B)＋sin 2C；④cos(2A＋2B)＋cos 2C.其中为常数的是(　　)A.①③ B.②③ C.①④ D.②④答案　B解析　①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；③sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C＝sin[2(π－C)]＋sin 2C＝sin(2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；④cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C＝cos[2(π－C)]＋cos 2C＝cos(2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.故选B.类型四　诱导公式的综合应用例4　已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值.解　(1)f(α)＝＝cos α.(2)因为f(A)＝cos A＝，又A为△ABC的内角，所以由平方关系，得sin A＝＝，所以tan A＝＝，所以tan A－sin A＝－＝.反思与感悟　解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值.解　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，∴·tan2(π－α)＝·tan2α＝·tan2α＝－tan2α＝－＝－.1.已知sin＝，则cos的值为(　　)A.－ B.C. D.－答案　D解析　cos＝cos＝－sin＝－.2.若cos(2π－α)＝，则sin(－α)等于(　　)A.－ B.－C. D.±答案　A解析　∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝，∴sin(－α)＝－cos α＝－.3.已知tan θ＝2，则等于(　　)A.2 B.－2C.0 D.答案　B解析　＝＝＝＝－2.4.已知cos＝2sin，求的值.解　∵cos＝2sin，∴－sin α＝－2sin，∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.∴＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝.5.求证：＝－tan α.证明　因为左边＝＝＝＝－tan α＝右边，所以原等式成立.1.诱导公式的分类及其记忆方式(1)诱导公式分为两大类：①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.②α＋，－α＋的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.(2)以上两类公式可以归纳为：k·＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，)内的三角函数值”这种方式求解.用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：课时作业一、选择题1.已知sin(＋α)＝，那么cos α等于(　　)A.－ B.－C. D.答案　C解析　sin(＋α)＝cos α，故cos α＝，故选C.2.已知cos(＋α)＝－，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于(　　)A. B.－C.± D.答案　B解析　∵cos(＋α)＝sin α，∴sin α＝－.又α为第四象限角，∴cos α＝＝，∴cos(－3π＋α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，故选B.3.若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)A.cos(A＋B)＝cos C B.sin(A＋B)＝－sin CC.cos＝sin B D.sin＝cos答案　D解析　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，故A，B项不正确；∵A＋C＝π－B，∴＝，∴cos＝cos(－)＝sin，故C项不正确；∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin(－)＝cos，故D项正确.4.已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于(　　)A.2 B.－2C.2－ D.－2答案　C解析　cos α＝＝sin 2，∵α为锐角，∴α＝2－.5.已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为(　　)A.－ B. C.－ D.答案　A解析　f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.6.若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为(　　)A.－ B. C.－ D.答案　C解析　∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，∴sin α＝.故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－.二、填空题7.若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝ .答案　解析　∵cos α＝，且α是第四象限角，∴sin α＝－ ＝－ ＝－.∴cos＝－sin α＝.8.sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝ .答案　解析　原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝.9.已知tan(3π＋α)＝2，则＝ .答案　2解析　因为tan(3π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝2，所以原式＝＝＝＝2.10.在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos A＝－cos(π－B)，则C＝ .答案　解析　由题意得cos A＝3sin A，　　　　　　　①cos A＝cos B， ②由①得tan A＝，∴A＝.由②得cos B＝＝，∴B＝.∴C＝.三、解答题11.已知角α的终边经过点P(－4，3)，求的值.解　∵角α的终边经过点P(－4，3)，∴tan α＝＝－，∴＝＝tan α＝－.12.已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值.解　∵sin＝－cos α，cos＝cos＝－sin α，∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝. ①又∵sin2α＋cos2α＝1， ②①＋②得(sin α＋cos α)。