江苏省苏州大学2013届高三高考考前指导卷（1）数学试题含答案.doc

苏州大学 2013 届高考考前指导卷（1）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．已知 是虚数单位，复数 z 的共轭复数为 ，若 2z =  2  3 ，则 z  ． i i2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 是双曲线 的3yx21xyab一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ． 3．如图是样本容量为 200 的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________ ．4．函数 为奇函数的充要条件是 a = ．2()1()xaf5．某团队有 6 人入住宾馆中的 6 个房间，其中的房号 301 与 302 对门，303 与 304 对门，305 与 306 对门，若每人随机地拿了这 6 个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为_______． 6．阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，若输入 x 的值为－4，则输出y 的值为________．7．底面边长为 2，侧棱与底面成 60的正四棱锥的侧面积为____．8．已知 ，若存在 ，使 对一π()3sin()6fx(0,π)()()fxf切实数 x 恒成立，则 = ． 9．在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为(0 ，1) ，(4，2)，(2，6) ．如果 P(x，y)是△ ABC 围成的区域( 含边界)上的点，那么当 ω = xy 取到最大值时，点 P 的坐标是 ________．10．已知 A = { (x，y) | x2  y2 ≤4 }，B = { (x，y) | (x  a)2  (y  a)2≤2a 2，a  0 }，则 A∩B 表示区域的面积的取值范围是___________．11．方程 有两个不同的解，则实数 a 的取值范围是________．|e1|0xa12．已知函数 是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意 x > 0，都有)(f，则 = ________．[)ln]1efx()f13．已知 O 是△ABC 的外心，AB = 2a，AC = ，∠BAC = 120，若 = x ＋y ，则 x＋y 的2a → AO → AB → AC最小值是 ．14．记集合 P = { 0，2，4，6，8 }，Q = { m | m = 100a1 10a2  a3，且 a1，a 2，a 3P }，将集合 Q 中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第 68 项是_______．二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本小题满分 14 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 ．3cos16cos（1 ）求 ；（2 ）若 a = 3， △ABC 的面积为 ，求 b，c．216． （ 本小题满分 14 分）在直三棱柱 ABC  A1B1C1 中，AB  AC  AA1  3a，BC  2a，D 是 BC 的中点，E，F 分别是 A1A，C 1C 上一点，且 AE  CF  2a．（1 ）求证：B 1F⊥平面 ADF；（2 ）求三棱锥 B1  ADF 的体积；（3 ）求证：BE ∥平面 ADF．A F C B D C B 111E 1 1 1 A 17． （本小题满分 14 分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线 AE 排水管 ，在路南侧沿直线 CF 排水管 ，现要在矩形区域 ABCD 内沿直线 EF 将 与 接1l 2l 1l2通．已知 AB = 60 m，BC = 80 m，公路两侧排管费用为每米 1 万元，穿过公路的 EF 部分的排管费用为每米 2 万元，设 EF 与 AB 所成角为 ．矩形区域 ABCD 内的排管费用为 W．（1 ）求 W 关于 的函数关系式；（2 ）求 W 的最小值及相应的角 ．18． （本小题满分 16 分）已知椭圆 E： 的离心率为 ，它的上顶点为 A，左、右焦点21(0)xyab3分别为 ，直线 AF1，AF 2 分别交椭圆于点 B，C ．12,F（1 ）求证直线 BO 平分线段 AC；（2 ）设点 P（m，n ） （m ，n 为常数）在直线 BO 上且在椭圆外，过 P 的动直线 l 与椭圆交于两个不同点 M，N ，段 MN 上取点 Q，满足 ，试证明点 Q 恒在一定MPN直线上．FE DCBA l2l1 公公PCF2BF1 QA NMyxO19． （本小题满分 16 分）数列{a n}满足： a1 = 5，a n+1－a n = ，数列{b n}的前 n 项和2(an+1＋ an)＋ 15 *()NSn 满足：Sn = 2(1－b n)．（1 ）证明：数列{a n+1－a n}是一个等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2 ）求数列{b n}的通项公式，并求出数列 {anbn}的最大项．20． （本小题满分 16 分）已知三次函数 f(x) = 4x3＋ax 2＋bx＋c(a，b ，c )R(1)如果 f(x)是奇函数，过点（ 2，10）作 y = f(x)图象的切线 l，若这样的切线有三条，求实数 b 的取值范围；(2)当－1 ≤x ≤1 时有－1 ≤f (x)≤1，求 a，b ，c 的所有可能的取值．苏州大学 2013 届高考考前指导卷（1）参考答案1． 2  2．2 3．64 4． 1 5．i 16． 2 7． 8． 9． （0，2π ） 10．( ，5) 4π25211． a ＜ 12． 13．2 14．464 e15． 解： (1) ，3(cossin)16cosBCBC得 ．即 ，从而 ．s()11cs3A(2) 由于 ，所以 ．0πA2in3又 ，解得 bc = 6．①si2BCSbc由余弦定理 ，得 =13．②2cosabA2bc由①②两式联立可得 b = 2，c = 3 或 b = 3，c = 2． 16． （ 1）证明：∵AB  AC，D 为 BC 中点，∴AD⊥BC． 在直三棱柱 ABC  A1B1C1 中，∵B 1B⊥底面 ABC，AD 底面 ABC，∴AD⊥B 1B． ∵BC B1B  B，∴AD ⊥平面 B1BCC1．∵B 1F 平面 B1BCC1，∴AD⊥B 1F． 在矩形 B1BCC1 中，∵C 1F  CD  a，B 1C1  CF  2a，∴Rt△DCF ≌ Rt△FC1B1．∴ CFD  C1B1F．∴B 1FD  90°．∴B 1F⊥FD．∵AD FD  D，∴B 1F⊥平面 AFD． （2 ） ∵B 1F⊥平面 AFD，∴ = ．13AAVS△ 315232aADFB（3 ）连 EF，EC，设 ，连 ，ECM，∴四边形 AEFC 为矩形， 为 中点．2EFaEC为 中点， ． DB/B平面 ， ． 平面 ， 平面 MAADF/ADF17．解：（1）如图，过 E 作 ，垂足为 M，由题意得 ，4(0tan)3A F C B D C B 1 1 1 E 1 1 1 A M 故有 ， ， ，60tanMF60cosEF806tanAFC所以 (8)12Wsi0cs．n06o（2）设 （其中 ，si2()cf00π4,tan)23≤ ≤则 ．2(si)n)1sico令 得 ，即 ，得 ．()0f1in0i6列表 (,)60(,)()f+ 0 -单调递增 极大值 单调递减所以当 时有 ，此时有 ．6max()3fmin863W答：排管的最小费用为 万元，相应的角 ．80618.（ 1）由题意， ，则 ， ，3cac22bac故椭圆方程为 ，21xy即 ，其中 ， ，2360c(,2)Ac1(,0)F∴直线 的斜率为 ，此时直线 的方程为 ，1AF2()yxc联立 得 ，解得 （舍）和 ，即22,()xyc23x123c，3(,Bc由对称性知 ．32(,)Cc直线 BO 的方程为 ，线段 AC 的中点坐标为 ，yx32(,)4cAC 的中点坐标 满足直线 BO 的方程，即直线 BO 平分线段 AC．32(,)4c（2 ）设过 P 的直线 l 与椭圆交于两个不同点的坐标为 ，点12(,)(,)MxyN，(,)Qxy则 ， ．22136xyc236xyc∵ ，∴设 ，则 ，MPQNPMN,PNMQ求得 ， ，1212,mx1212,yyn∴ ，22,yxn∴ ，222211133(3)3 6xyxyxyy c由于 m，n，C 为常数，所以点 Q 恒在直线 上．60mnc19.解 (1)令 n = 1 得 a2－5 = ，解得 a2 = 12，由已知得2(a2＋ 5)＋ 15(an+1－a n)2 = 2(an+1＋a n)＋15 ① (an+2－a n+1)2 = 2(an+2＋a n+1)＋15 ② 将②－①得(a n+2－a n)(an+2－2a n+1＋a n) = 2(an+2－a n)，由于数列{ an}单调递增，所以 an+2－a n≠0 ，于是an+2－2a n+1＋a n = 2，即(a n+2－a n+1)－( an+1－a n) = 2，所以{a n+1－a n}是首项为 7，公差为 2 的等差数列，于是an+1－a n = 7＋2(n－1) = 2n＋5 ，所以an = (an－ an-1)＋(a n-1－a n-2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1= (2n＋3)＋(2n＋1) ＋…＋7＋ 5 = n(n＋4)．(2)在 Sn = 2(1－b n)中令 n = 1 得 b1 = 2(1－b 1)，解得 b1 = ，23因为 Sn = 2(1－ bn)，S n+1 = 2(1－b n+1)，相减得 bn+1 = －2b n+1＋2b n，即 3bn+1 = 2bn，所以{b n}是首项和公比均为 的等比数列，所以 bn = ( )n．23 23从而 anbn = n(n＋4)( )n．设数列{a nbn}的最大项为 akbk，则有23k(k＋4)( )k≥(k ＋1)(k＋5)( )k+1，且 k(k＋4)( )k≥( k－1)(k＋3)( )k-1，23 23 23 23所以 k2≥10，且 k2－2k －9 ≤0 ，因为 k 是自然数，解得 k = 4．所以数列{a nbn}的最大项为a4b4 = ． 5128120.解 (1) 因为 f(x)是奇函数，所以由 f(－x) = －f(x )得 a = c = 0，设切点为 P(t，4t 3＋bt)，则切线 l 的方程为 y－(4t 3＋bt) = (12t2＋b )(x－t) ，由于切线 l 过点（2 ， 10） ，所以 10－(4t 3＋bt) = (12t2＋b)(2 －t) ，整理得 b = 4t3－12t 2＋5，令 g(t) = 4t3－12t 2＋5－b，则 g′(t) = 12t 2－24t = 12t(t－2)，所以 g(t)在( －∞，0)上是增函数，在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，要使切线 l 有三条，当且仅当 g(t) = 0 有三个实数根，g(t) = 0。