第四章 习题课　错位相减法、裂项相消法求和.docx

习题课错位相减法、裂项相消法求和学习目标L熟练掌握等差和等比数列前〃项和的结构特点以及各个符号的意义2掌握错位 相减和裂项相消求和的一般过程和思路.一、错位相减法例1求和:例1求和:=x+2/+3x3 + …+ 九d(x WO)..171(/? + 1)解当x= 1解当x= 1时，S〃=l+2+3 +…+ n— 5Sz?=x+2x2+3x3HP 几d,xSn=12+213 + 3/ H1- (〃 - 1)/+n^l+1,.\(1 -X)S〃=x+N+x3-||-?一. x( l -X72)屁 1••5=(1_%)2―7彳综上可得,S〃=、x(］一炉)取，+1(1 —X)2 1一X'#1 且 xWO.反思感悟(1)一般地，如果数列｛斯｝是等差数列，｛小｝是等比数列，求数列｛斯•瓦｝的前〃项 和时，可采用错位相减法.⑵用错位相减法求和时，应注意：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.②在写出“s「与'zs/'的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地 写出“Sn—qS〃”的表达式.跟踪训练1已知数列｛斯｝的前〃项和为S”数列［乎是公差为1的等差数列，且2=3.(1)求数列｛斯｝的通项公式；⑵设—求数列｛为｝的前n项和Tn.解⑴数列榭是公差为1的等差数列， 可得 5?=〃(0+〃-1), •••0+42=23 + 1),且 〃2=3,解得 a\ = \.Sn=n2..\n^2 时, an = Sn — Sn-i=n1 — (n— 1)2 = 2〃- 1(〃= 1 时也成立).an=2n— 1.= 64,解得q=2,贝I1q〃=2〃.anz数列］（如一i）（斯+1—i）［即为］（2〃 一 i）（2〃十一）• （2〃一 1）（2E一1）—2〃一 1 2〃J_ + 1 — 1'2〃•••数列｛（&—1）渭的前〃项和是昌一占十岗—芸工+…十上一哥二7=12〃+ ］一］，故选A・12.设 S=~/l+*+/+12.设 S=~/l+*+/+,,•+\/1+2^+202PJ［S］表示不大于S的最大整数（例如：［2.34］=2,［—兀］=一4）,则5等于（）A. 2019 B. 2 020 C. 2 021 D. 2 022答案B解析因为［1+品击_/（-2 + 九）2 + 2（,2 + 几）+ ］ T2 + 九士］V序（1+〃）2〃（〃+1）=1+『干）所以 S=1+（J—j+l+（g-Q）HH1 += 2021-2 021'所以[5]=2 020.13.在数列｛斯｝中，0 = 1,对于任意自然数〃，都有斯+1=斯+〃・2〃，则。

15等于（）A. 14215+2B. 13-214+2C. 14215 + 3D. 13-215 + 3答案D解析 〃+ 1 -斯=〃• 2" 9• • a?—1 = 1,213—1/2=2-22,3 = 3・23斯—斯-1 = （〃—1）・2" I以上 n~ 1 个等式，累加得 ai = l-21+2-22+3-23H1■（〃- 1）・2〃-I ①XV2^-2tzi = b22+2-23+3-244——F（〃-2）・2〃一】 + （〃一 1）・2〃，②①一②得 a\ —6zZ7=2+22+23HF2〃—i —（〃一 1）・2〃2(1—2〃- i) =~1^2-一(〃一1)・2〃=(2 —〃)・2〃一2,・•・斯=(〃-2)・2〃+3(〃>2),Aai5=(15-2)-215+3=13-215+3.14.已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且满足%=2斯一1(〃£N*),则数歹U｛〃斯｝的前〃项和为.答案 5—1)2〃+1解析 ・・6=2斯—1("£N*),*.n=\ 时，a\=2a\ — \,解得 ai = l9 心2 时，an=Sn—Sn-i=2an—l — (2an-i — l)9 化为 an・••数列｛斯｝是首项为1,公比为2的等比数列，斯=2〃-L则数列｛〃如｝的前〃项和5=1+2X2+3X22+…+九.2〃-1.••・ 2 7；=2 + 2 X 22 H——F （〃一 1）义 2〃- 1 + 〃・ 2〃,・•・-Tn= 1 +2+22H——F2〃—i — 〃・2〃=・•・-Tn= 1 +2+22H——F2〃—i — 〃・2〃=1—2〃丁二一〃・2〃=(1—〃)・2〃一 1, 1 —2L拓广探究.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,…这些数叫做三角形数.设第〃 个三角形数为斯，则下面结论错误的是（）A- an—an-\ = n(n> 1)B .。

2210+ 1 2/1斯 n~\~ 1C.1024是三角形数1,1,1, D.—+—+—+6Z13 答案C 解析..•々2 — 0=2, 〃3一2 = 3, 〃4一的=4,…,由此可归纳得斯一斯一1=〃（〃>1）,故A正确;将前面的所有项累加可得知=（〃一4"+2）+0=吟1）, .-.6/20=210,故B正确;令迎抖=1 024,此方程没有正整数解，故C错误;=2一击)=等，故D正确.15 .已知数列｛〃｝满足〃1 = 1,斯+尸2斯+外为常数).(1)试探究数歹U｛出+储是不是等比数列，并求斯；(2)当丸=1时，求数歹1」｛〃(处十为｝的前〃项和Tn.解(1)因为〃+1=2斯+九 所以斯+1+2=2(〃+2).又 0=1,所以当A= —1时，ai+2=0,数列｛〃〃+»不是等比数列,此时 诙+4=〃- 1=0,即 an=l；当 2W — 1 时，41+/IW0,所以所以数列｛斯+2｝是以1+2为首项，2为公比的等比数列，此时诙+4=(1+2)2〃-1,即 an=(l+A)2n-1-l⑵由⑴知an=2n-l9所以双诙+1)=/・2〃,7；2=2+2X22+3X23H——F〃・2〃，①27；? = 22+2X23+3X24H——Fn-2,z+1,②①一②得，一〃=2 + 22+23H卜2〃一九・2〃+1:2、2〃+1=2〃+1—2―〃・2〃+i1 -z= (l-n)2n+]-2.所以♦=(〃- 1)2〃+】+ 2.(2泡=即3〃=(2九一1)・3〃，，数列｛6〃｝的前n项和7；=3+3X3(71+1)(/1+2) 〃+1 〃+2'7；=3+3X3(71+1)(/1+2) 〃+1 〃+2'+5X334——F(2〃- 1)X3〃，.•.37]7=32+3X33+- + (2h-3)X3,z+(2/i-1)X3,i+1,•••—25=3 + 2X(32+33 +…+ 3〃)一(2〃-1)义3产= 3 + 2X9(3〃「一 1)-S771-一(2〃T)><3/可得。

3 + （〃一l）X3〃+i.二、裂项相消法 问题 已知数列斯=〃（〃；］），如何求｛斯｝的前〃项和S〃.提示Sn = Cl\ +念+…+斯Sn = Cl\ +念+…+斯〃十1 〃十1知识梳理常见的裂项求和的形式:C111)②(2〃T)(2〃+1)=4 2〃-1 2n+\)2〃]—](2〃+ l)(2〃+i +1)=2〃+1 ―2〃+1+1 ；1)(h+2)-2_/?(h+ 1) (〃+1)(/?+2)_@lnf 1 +~j = ln(/i+1) —In n.注意点：（1）裂项前耍先研究分子与分母的两个因式的差的关系；（2）若相邻项无法相消，则采 用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组；（3）检验所留的正项与负项的个数是否相同.例2已知数列｛斯｝的前〃项和为S”满足§2 = 2, §4=16, ｛斯+1｝是等比数列.⑴求数列｛〃〃｝的通项公式；⑵若斯〉0,设〃=log2（3斯+3）,求数列的前〃项和.解（1）设等比数列｛斯+1｝的公比为夕，其前〃项和为 因为 §2=2, 54 = 16,所以乙=4, A=20,易知qWl,所以0〜+尸一/)=4,① 11 —q(tzi + 1)(1 —<74)与T4=-——广一—=20,② i—q由①得1+/=5,解得9=±2.142〃+i当 ^=2 时，〃1=? 所以 〃〃+1 =qX 2〃 1 = —Q -；当夕=一2 时，的=—5,所以斯+1=(—4)X(—2)门=一(-2)〃+1.2"+i所以诙=二一一1 或斯=—(―2)"+i —1.2〃+i所以所以]b〃b 〃+12 〃+2 2(〃+2](2)因为斯>0,所以斯=—^――1,所以为=log2(3斯+3)=几+1, _ 1 1 *反思感悟(1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和 的目的.(2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止.(3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.跟踪训练2设S〃为等差数列｛诙｝的前〃项和，已知S3 = 〃7,。

8 — 2〃3 = 3.⑴求知；(2)设b〃=卷,求数列｛为｝的前n项和T〃.解(1)设数列｛斯｝的公差为43〃i + 3d=〃i + 6d,由题意得 ।八，।八、3 +74一2(ai + 26f)=3,解得〃i = 3, d=2./.+l)d=2〃+1.(2)由(1)得 S〃=na 1 +1)d=帅+2),♦ ・/?〃 =♦ ・/?〃 =〃(〃+2)=船-"+2):.6+/?2+ …+ 历L1+打:.6+/?2+ …+ 历L1+打■课堂小结.知识清单：(1)错位相减法求和.(2)裂项相消法求和.1 .方法归纳：公式法、错位相减法、裂项相消法.2 .常见误区：错位相减法中要注意项的符号以及化简合并；裂项求和中要关注正项与负项的 个数是否相同.随堂演练已知已知]y]n +1 +班则 〃1+〃2 +3HHa80 等于(A. 7 B. 8 C. 9 D. 10答案B解析因为=7 几十1 —yl~n(n £ N*),所以 0+42+03+…+80=<^— 1 +<5—+…—y[sd = 9— 1 =8.2数列2X5' 5X8, 8X 1T …'(3.—1)2(31+2)'…的刖〃项和为( )几〃*3/?+2巳6〃+4〃+1力+2〃+1力+2「3〃 62+4答案B解析由数列通项公式(3〃-1)(3〃+2)=5(3〃-1-3〃+2)，得前〃项和Sn=KH+9鸿-*…+高n宏安2021.口木 1 0112解析因为而而=22解析因为而而=2所以 S2M=2(i_T+g_g+…+忐一2 0211 oir3 .已知如=2〃，”京二则阿的前〃项和3答案答案〃+2课时对点练基础巩固.数列W，卷6七…的前〃项和S〃为（）A. h2+ 1 +^FiD. 〃("+1)+薪7D. 〃("+1)+薪7一 ....1 1C. 〃(〃十1)十］一亍开7 答案C<1,1, +2〃)+(j+g+解析*=(2+4+6+=〃(〃+1)+2—透7.2.等比数列｛斯｝中，卷=2,恁=5,则数列｛1g斯｝的前10项和等于()A. 6 B. 5 C. 4 D. 3答案B解析•/数列｛斯｝是等比数列，45 = 2,恁=5,• •。