电动力学第三版答案郭硕鸿著资料.ppt

第 0 章 数学预备知识—矢量、场论,本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运算和算符 运算的重要公式本 章 主 要 内 容 ●矢量运算 ●标量场的梯度 算符 ●矢量场的散度 高斯定理 ●矢量场的旋度 斯托克斯定理 ●在正交曲线坐标系中 算符的表达式 ●二阶微分算符 格林定理,,,§0-1 矢量运算,1、两矢量标量积与矢量积,2、混合积,3、三重矢积,满足旋转定律,,a,b,c,,,,不满足交换定律,4、矢量求导法则,若,则有,§0-2 场论分析 一、标量场的梯度， 算符,,1、场的概念 场是用空间位置函数来表征的在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场如电势场、温度场等如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场如电场、速度场等若场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场2、方向导数 方向导数是标量函数 在一点P处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取的方向 有关， 一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。

如图所示， 为场中的任意方向，P1是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一点为p2和p1之间的距离，从p1沿 到p2标量函数 的增量为 若下列极限 存在，则该极限值记作 ，称之为标量场 在p1处沿 的方向导数 3、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过 该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数，,则可引进梯度概念记作 称之为 在该点的梯度（grad 是gradient 缩写）， 它是一个矢量，其大小 ，其方 向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 方向4.方向导数与梯度的关系：,是等值面 上p1点法线方向单位矢量它指向 增加的方向 表示过p1点的任一方向显见，,所以,即,该式表明： 即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影 梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度 5、 算符（哈密顿算符） 算符既具有微分性质又具有矢量性质在任意方向 上移动线元距离dl， 的增量 称为方向微分，即,读作“del”，或“nabla”,在直角坐标系中的表示,二 矢量场的散度 高斯定理,1、通量,一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是dN，而dN是以ds为底，以v cosθ为高的斜柱体的体 积，即,称为矢量 通过面元 的通量。

对于有向曲面s，总可以将s分成许多足够小的面元 ，于是通过曲面s的通量N为,每一面元通量之和,对于闭合曲面s，通量N为,2、散度 设封闭曲面s 所包围的体积为 ，则,就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，或者平均发 散量当闭合曲面s 及其所包围的体积 向其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作,称为矢量场 在该点的散度(div是divergence的缩写) 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的 强弱程度，当div ，表示该点有散发通量的正源； 当div ，表示该点有吸收通量的负源；当div ， 表示该点为无源场3、高斯定理 它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体 积分，反之亦然4、散度的运算法则：,例1：求 其中 ， 为常矢量 解：,例2：证明,其中,三、矢量场的旋度 斯托克斯定理,1、矢量场 的环流 在数学上，将矢量场 沿一条有向闭合曲线L（即取 定了正方向的闭合曲线）的线积分,称为 沿该曲线L的循环量或环流2、旋度 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么,以闭合曲线L为界的面积 逐渐缩小， 也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作,即单位面积平均环流的极限。

它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向 ，且通常L的正方向与 规定要构成右手螺旋法则，为此定义,称为矢量场 的旋度（rot是rotation缩写） 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方 向上环流强弱的程度，如果场中处处 rot 称为无旋场在直角坐标系中表示为：,3、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem） 它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为对该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然4、旋度的运算法则,物理意义：所有面积元边线上的环流之和等于整个曲面的边线 L上的环流例 1：,为常矢量解：,§0-3 正交曲线坐标系及 运算的表达式,一、柱坐标( ),基本单位矢量为,只有 不随位置变化， 随位置都要发生变化,1. 梯度,在 方向上的方向导数为 ; 在 方向上的方向导数为 ; 在 方向上的方向导数为,而,即柱坐标系中算符的表达式为：,2. 散度：,3. 单位矢量的微商,4. 旋度：,2. 单位矢量的微商,4.二阶微分运算,3.散度,5.旋度,,,,,§0-4 二阶微分算符 格林定理,1、一阶微分运算,将算符 直接作用于标量场和矢量场，则分别得到梯度、散度和旋度，即 这些都叫一阶微分运算。

举例：,a)设 为源点 与场点 之间的距离，r 的方向规定为由源点指向场点，试分别对场点和源点求r 的梯度第一步：源点固定，r 是场点的函数，对场点求梯度用 r表示，则有,而,同理可得：,故得到：,第二步：场点固定，r 是源点的函数，对源点求梯度用 表示 而,同理可得：,所以得到：,b) 设u是空间坐标 x,y,z 的函数，证明,证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有,c) 设 求 解： 而 同理可得,那么 这里 同理可得 故有,由此可见： d) 设u是空间坐标 x , y , z 的函数，证明 证：,e) 设u是空间坐标 x , y , z 的函数，证明 证：,2、二阶微分运算 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设 为标量场， 为矢量场并假设 的分量具有所需要阶的连续微商，则不难得到： （1）标量场的梯度必为无旋场 （2）矢量场的旋度必为无散场 （3）无旋场可表示成一个标量场的梯度 （4）无散场可表示成一个矢量场的旋度,（5）标量场的梯度的散度为 （6）矢量场的旋度的旋度为 3、 运算乘积 （1）,,（2）,（3）,（4） （5）,(6) 根据常矢运算法则 则有：,故有： (7) 根据常矢运算法则： 则有,（8） 因为 故有 从而得到：,,4、格林定理 (Green’s theorem) 由Gauss’s theorem得到: 将上式 交换位置， 得到 以上两式相减，得到,第一章 电磁现象的普遍规律,§ 1.1 电荷和电场,§ 1.2 电流和磁场,§ 1.3 麦克斯韦方程组,§ 1.4 介质的电磁性质,§ 1.5 电磁场边值关系,§ 1.6 电磁场的能量和能流,二、场论知识,数学准备知识复习,一、矢量分析,,,恒等式,,1.1电荷和电场,一、库仑定律 设真空中有二静止点电荷Q、 Q’，库仑由实验发现 Q 对于Q’ 有一作用力F 为:,(1.1-1),其中,是真空介电常数； r 为由Q到Q’的矢量。

1.1-2),它是一实验定律，但可以有两种截然不同的物理解释一种认为Q超越空间距离作用于Q’，这种观点称为超距作用或远距作用观点另一观点认为Q 在其周围空间产生或激发电场: 而Q’ 在电场E中所受的力F为: 后一观点称为近距作用观点，认为静止电荷在其周围空间激发 一电场E，另一静止电荷Q’受到该电场E的作用，因此，电荷与,(1.1-3),电荷之间是通过电场作用的 实践证明通过场来传递相互作 用的观点是正确的 由实验知道，电场具有迭加性， (1.1-4) 设第 i 个电荷 Qi 到P点的距离为ri，则 P点上的总电场强度E为 若电荷连续分布于区域V内，如图1－1所示，则P点上的电场 强度E为 其中是dV所在点的电荷密度，r是由源点dV到场点P的矢量1.1-5),(1.1-6),二、高斯(Gauss)定理和电场散度 设S表示包围着电荷Q 的一个闭合曲面，dS为S上的定向面元，以外法线方向为正向，如图1-2所示通过闭合曲面S的电场E的通量定义为面积分 A 高斯定理 高斯定理：电场E通过任一闭合曲面S 的总通量等于S 内的总电荷量除以 ，而与S 外的电荷无关用公式表示为 式中，Q 为闭合曲面内的总电荷。

1.1-7),(1)若闭合曲面内有多个电荷Qi ，则E对闭合曲面S的通量为 （Qi 在S内） (2)如果电荷连续分布于空间中，则E对闭合曲面S的通量为 式中V为S所包围的体积上式右边是V内的总电荷量，与V外的电荷分布无关根据矢量场的积分变换公式(高斯公式) 不难得到，(1-8)式可以表示为微分形式 上式表明 : (1)电荷是电场的源，电力线从正电荷发出而终止于负电荷若 在某处 ，则在该点处 ,表示在该处既没有电力 线发出，也没有电力线终止，但是可以有电力线连续通过该处1.1-8),(1.1-9),(2)(1-9)式称为高斯定理的微分形式仅适用于电荷连续分 布情况 (3)空间某点处电场的散度只和该点上的电荷密度有关，而 与其他点的电荷分布无关 (4)在个别教材中（如北大教材），此定理又称为奥斯特洛 拉德斯基—高斯定理，简称奥—高定理 B 高斯定理(1-8)式的证明* 试作E对任意闭合曲面的积分，即求电通量 由(1-6) 式可知 因 只与源点的位置有关，dS只与场点的位置有关，而r则和源点、场点的位置都有关系，上式可交换积分次序如 下： 是dS在矢径r方向的投影， 刚好是dS对 点所张的立体角 如图1-2所示。

若dV在闭曲面内，则积分 因此 所以 若dV在闭曲面外，则积分 C 静电场的旋度 根据电场强度的表示式（1-6），静电场的旋度 交换积分运算和微分运算的次序，并利用 求得 此式表明静电场是无旋的但在一般情况下变化电场是有旋 的根据斯托克斯（Stokes），可得电场E对任一闭合回路L的环量 即，静电场E对任一回路的环量恒为零1.1-10),,解：与带电球同心，作半径为r 的球面，由电荷分布的球对称性，球面上各点电场强度有相同的值，并且都沿径向当 时，球面所围的总电荷为 Q . 而 时，球内电荷总量是 由高斯定理得 因此得,例一 :电荷Q 均匀分布在半径为a 的球内，求空间各点的电场强度，并由此得到的电场强度计算电场的散度和旋度现在计算电场的散度和旋度,1.2电流和磁场,一、电荷守恒定律 A、电流密度 电流是由电荷的定向运动形成的当电荷在细导线中运动时，电流的方向即是导线的取向电流的大小用电流强度I描述，它等于单位时间内通过导线横截面的电量： 如图1－4，设dS为某曲面上的一个面元，它与该点上的电流 方向有夹角θ定义电流密度J，它的方向沿着该点上的电流 方向，它的数值等于单位时间垂直通过单位面积的电量，即,(1.2-1),图1－4,或,通过任一曲面S的总电流强度I为,(1.2-2),如果电流由一种运动带电粒子构成，设带电粒子的电荷密度为ρ，平均速度为v，则电流密度为 如果有几种带电粒子，其电荷密度分别为ρi ，。