三年高考20162018高考数学试题分项版解析专题17椭圆理含解析.doc

专题 17 椭圆考纲解读明方向考纲解读考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1. 椭圆的定义及其标准方程掌握选择题解答题★★★ 掌握椭圆的定义、几何图2. 椭圆的几何性质 掌握 形、标准方程及简单性质填空题解答题★★★3. 直线与椭圆的位置关系 掌握 解答题 ★★★分析解读 1. 能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程 .2. 能熟练运用几何性质 ( 如范围、对称性、顶点、离心率 ) 解决相关问题 .3. 能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题 , 判断位置关系及解决相关问题 .4. 本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主 , 与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强 , 分值约为 12 分, 难度较大 .2018 年高考全景展示1．【2018 年理数全国卷 II 】已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为A. B. C. D.【答案】 D【解析】分析：先根据条件得 PF2=2c, 再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率 .详解：因为 为等腰三角形， ，所以 PF2 = F1F2=2c, 由 斜率为 得，，由正弦定理得 ,所以 ，选 D.点睛： 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式， 再根据的关系消掉 得到 的关系式， 而建立关于 的方程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 .2．【2018 年浙江卷】已知点 P(0 ，1) ，椭圆 +y 2=m(m>1) 上两点 A，B满足 =2 ，则当 m=___________时，点 B横坐标的绝对值最大．【答案】 5点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个 ( 或者多个 ) 变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 .3．【2018 年理北京卷】已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线 N的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M的离心率为 __________；双曲线 N的离心率为 __________．【答案】 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中 关系，即得双曲线 N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，解得椭圆 M的离心率 .详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，所以椭圆 M的离心率为 双曲线 N的渐近线方程为 ，由题意得双曲线 N的一条渐近线的2倾斜角为 ，点睛： 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式， 再根据的关系消掉 得到 的关系式， 而建立关于 的方程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 .4．【2018 年理数天津卷】设椭圆 ( a>b>0) 的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 ，点 A的坐标为 ，且 .（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线 l ： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB交于点 Q. 若( O为原点 ) ，求 k 的值.【答案】 (Ⅰ) ；( Ⅱ) 或【解析】分析： （Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得 a=3，b=2．则椭圆的方程为 ．（Ⅱ）设点 P的坐标为 （x1，y1），点 Q的坐标为 （x2，y2）．由题意可得 5y1=9y2．由方程组 可得 ．由方程组 可得 ．据此得到关于 k 的方程，解方程可得 k 的值为 或详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为 2c，由已知知 ，又由 a ，可得 2a=3b．由已知可得， ， ， 2=b2+c2由 ，可得 ab=6，从而 a=3，b=2．所以，椭圆的方程为 ．（Ⅱ）设点 P的坐标为（ x1，y1），点 Q的坐标为（ x2，y2）．由已知有 y1>y2>0，故 ．又因为 ，而∠ OAB= ，故 ．由 ，可得 5y1=9y2．由方程组消去 x，可得 ．易知直线 A B的方程为 x+y–2=0，由方程组 消去x，可得 ．由 5y1=9y2，可得 5（k+1）= ，两边平方， 整理得 ，解得 ，3或 ．所以， k 的值为 或点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系、 弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．【2018 年全国卷Ⅲ理】已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为．（1）证明： ；（2）设 为 的右焦点， 为 上一点 , 且 ．证明： ， ， 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1） （2） 或（2）由题意得 ，设 ，则 .由（1）及题设得 . 又点 P在 C上，所以 ，从而 ，. 于是 . 同理 . 所以. 故 ，即 成等差数列 .设该数列的公差为 d，则 . ②将 代入①得 . 所以 l 的方程为 ，代入 C的方程，并整理得 .故 ，代入②解得 . 所以该数列的公差为 或 .4点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量， 第二问由已知得到 , 求出 m得到直线方程很关键， 考查了函数与方程的思想， 考察学生的计算能力，难度较大。

2017 年高考全景展示1. 【2017 浙江， 2】椭圆2 2x y9 41的离心率是A．133B．53C．23D．59【答案】 B【解析】试题分析：9 4 5e ，选 B．3 3【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b,c 的方程或不等式，再根据 a,b,c的关系消掉 b 得到 a,c的关系式，建立关于 a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．2. 【2017 课标 3，理 10】已知椭圆 C：2 2x y2 2 1，（a>b>0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2a b为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0相切，则 C的离心率为A．63B．33C．23D．13【答案】 A【解析】5【考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率 ( 或离心率的取值范围 )，常见有两种方法：①求出 a，c，代入公式 e＝ca；2 2 2②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b ＝a －c 转化为 a，c 的齐次式，然后等式 (不等2式) 两边分别除以 a 或 a转化为关于 e 的方程 ( 不等式 ) ，解方程 ( 不等式 ) 即可得 e( e 的取值范围 ).3. 【2017 天津，理 19】设椭圆2 2x y2 2 1( 0)a ba b的左焦点为 F ，右顶点为 A，离心率为12. 已知 A是抛物线2 2 ( 0)y px p 的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设 l 上两点 P ， Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （ B 异于点 A ），直线 BQ 与 x 轴相交于点 D . 若△APD 的面积为62，求直线 AP 的方程 .【答案】 （1）22 4yx 1，32 4y x . （2）3x 6y 3 0 ，或 3x 6y 3 0 .【解析】试题分析：由于 A 为抛物线焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为 12，则1a c ，又椭圆的离心率为212，求出 c, a,b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则 A(1,0) ，设直线 AP 方程为设 x my 1(m 0) ，解出 P、Q两点的坐标，把直线 AP 方程和椭圆方程联立解出 B 点坐标，写出 BQ 所在直线方程，求出点 D6的坐标，最后根据 △APD 的面积为62解方程求出 m ，得出直线 AP 的方程 .试题解析：（Ⅰ）解：设 F 的坐标为 ( c,0) . 依题意，ca12，p2 1 1a ，a c ，解得 a 1，c ，p 2 ， 2 2于是2 2 2 3b a c . 所以，椭圆的方程为422 4yx 1，抛物线的方程为32 4y x .（Ⅱ）解：设直线 AP 的方程为 x my 1(m 0) ，与直线 l 的方程 x 1联立，可得点 P( 1, 2 )m，故 2Q( 1, ) m. 将 x my 1与22 4yx 1 联立，消去 x ，整理得32 2(3m 4) y 6my 0 ，解得 y 0，或y6m23m 4. 由点 B 异于点 A ，可得点23m 4 6mB( , )2 23m 4 3m 4. 由2Q( 1, )m，可得直线 BQ 的方程为26m 2 3m 4 2( )(x 1) ( 1)( y ) 02 23m 4 m 3m 4 m，令 y 0，解得x22 3m23m 2，故D22 3m( ,0)23m 2. 所以| AD | 12 22 3m 6m2 23m 2 3m 2. 又因 为 △APD 的面 积为62， 故21 6m 2 6， 整理得22 3m 2 m| | 223m 2 6 m| | 2 ，0解得6|m | ，所以36m .3所以，直线 AP 的方程为 3x 6y 3 0 ，或 3x 6y 3 0 .【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键 .4.【2017 江苏，17】 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆2 2x yE : 1(a b 0)2 2a b的左、 右焦点分别为 F1 ,F , 离心率为212, 两准线之。