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完整word版)p106-159讲稿北师大的群论第二章 群表示理论§2.12 表示的直积矩阵的直积（1)定义 例如：， 则 维数(阶）n×m（2）定理若，,则有直积表示（1）定义:群G的两个表示，表示矩阵为Da（A）， Db（A）则表示矩阵的直积，也是群G的一个表示Da（A）Db（A）称为直积表示（一般是可约表示）2）直积表示的特征标 （2.12—6）（3）直积表示的约化 （2.6-6）即 （4）直积表示的基函数若直积表示 D（A)= Di(A）Dj（A），不可约表示的基函数分别为Di :｛、、…、}Dj ：{、、…、｝则直积表示有个基函数,分别是 (2.12—10)§213 直积群的表示复习：§15 直积群Ga={E, A2， A3， …， Aga}Gb={E， B2, B3， …, Bgb｝则阶的直积群G= GaGb={EGb, A2Gb, A3Gb, …, AgaGb }={E,B2,…, Bgb，A2,A2B2,…A2Bgb,…， AgaBgb }（1）两个可对易群的表示的直积,是直积群的表示2）直积群表示的特征标，是可对易群的表示的特征标的乘积（3）若Da和Db分别是群Ga和Gb的不可约表示,则D=DaDb是直积群 G= GaGb的不可约表示。

4）若群G= GaGb,则群G的所有不可约表示，是Ga与Gb的所有不可约表示的直积例如：（a）群C2h=｛E， c2, I, Ic2=σh}C2h=C2Ci 则直积群的不可约表示和特征标表为（b）其中O群是立方体的完全转动群.（5）直积群表示的基函数Da :｛、、…、｝Db ：{、、…、}则直积表示有个基函数，分别是 (213-9）§2.14 实表示定义（1）复共轭表示若DG是群G的一个表示，例如表示矩阵为其复共轭矩阵为这一组矩阵记作DG＊可以证明：(a) DG＊也是群G的一个表示；(b) 若DiG是群G的一个不可约表示，则DiG*也是群G的一个不可约表示；(c) 若DG是一个么正表示,即,则DG*也是一个么正表示表示DG*称作群G的复共轭表示2）实表示（a） 若表示DG＊与DG等价，而且都等价于同一组实数的表示矩阵，那么，表示DG就称为实表示例如：若等价,则即 特殊的:对角元为相同实数的两个复矩阵，一定是等价的b) 若表示DG*与DG等价，但却不等价于同一组实数的表示矩阵，或者说不等价于一实表示,那么，表示DG不是实表示.定理1若DG与DG*是群G的等价的不可约表示，即存在矩阵C，使得D（R）＊=CD（R)C—1, （2.14—1）那么(I）相似变换矩阵一定是对称的或反对称的；（II）定理2 设群G的不可约表示DG的特征标为,那么这是群G的不可约表示DG与DG＊是否等价、是否为实表示的一个判据。

例如:D3群恒等表示 二维表示 ，所以，D3群的上述表示与其复共轭是等价的，并且与一个实矩阵表示等价，是实表示.又例如：一个3阶群的一维表示为1，ω，ω2其中 对应的复共轭表示为1，ω2，ω这两个表示是否等价、是否为实表示?判据：一维表示 1，ω，ω2所以，表示 1,ω,ω2与其复共轭表示 1,ω2,ω是不等价的复表示（不等价就不可能是实表示）第三章 完全转动群§3.1 三维空间中的正交群§31 三维转动矩阵定义（1）矢量的转动如果保持任意两个矢量变换前后内积不变 （31—1）称算符A为转动算符注意：转动包括正当转动（完全转动）与非正当转动（镜面反映、中心反演等）转动算符A的三维转动矩阵：三维坐标空间中的矢量（基矢或基函数记作一个行矩阵).在三维坐标空间写为其中称为三维转动矩阵，都是实数.（2）基矢的转动一组基矢用一个行矩阵表示算符B作用于基矢，得到矩阵形式其中 比较：矢量转动A与基矢转动B之间的等效关系则 B=A—1证明：写成矩阵形式代入，得到有 BA=I0所以 B=A—1转动矩阵A的性质(1）A是么正矩阵这是保持任意两个矢量变换前后内积不变（保持任一矢量长度不变、任意两个矢量之间夹角不变)的要求.证明：则 转动算符是么正算符；转动矩阵是么正矩阵。

2）矩阵元之间存在正交归一关系么正矩阵 ,对于实矩阵 ，即 ， 即 , 表示矩阵元对列正交归一、对行正交归一实的么正矩阵是正交矩阵(）行或列的正交归一关系有6个，所以，转动矩阵元中只有3个元是独立的3）转动矩阵的行列式detA=±1所以 ，detA=±1转动包括正当转动 detA = +1；非正当转动 detA = —11.2 正当转动三维正当转动群SO（3)（I)所有的满足detR=1的转动的集合构成群，称为正当转动群，或完全转动群SO（3)群描述球对称系统的转动对称性II)正当转动相当于刚体转动转动矩阵转轴的单位矢 ，方向余弦满足 ；转动矩阵中含有3个独立参量.把矢量记作一列矩阵，算符记作一个方阵：一个方阵可以记作一个并矢用并矢表示为下面推导转动矩阵： （3.1-24）则正当转动矩阵对应的并矢为（3.1-35）下面把正当转动算符的并矢写成矩阵形式：则正当转动矩阵为可以验证满足detR=1，三维正当转动群SO(3）的阶g=∞例如：（1）转轴为z轴（,，)（2）转轴为x轴（，，)§33 非正当转动非正当转动矩阵的行列式detS = -1仅由非正当转动，不能构成群.非正当转动有两个相互有关的基本转动：中心反演I、镜面反映（反射）σ其中， 性质：（1）两个非正当转动的连续作用，是一个正当转动。

II = E，Iσ= C2, σσ= E(2）一个非正当转动与一个正当转动连续作用,是一个非正当转动IC2 =σh（3）非正当转动把右手坐标系变成为左手坐标系.例如：若 ，则,§3.14 三维空间中的正交群三维空间中全部的正当转动与非正当转动，构成一个群，称为三维空间中的正交群，或称为三维转动反演群记作O（3）.三维空间中全部的正当转动，构成三维空间中的正当转动群，或称为三维完全转动群.记作SO(3）SO（3)是O（3)的不变子群中心反演群Ci={E,I｝也是O(3)的不变子群.O（3）是SO（3）与Ci的直积群O(3) = SO(3）Ci§3.2 完全转动群SO(3）的不可约表示函数变换算符PR（1）由得到 和 绕z轴的一个小角度转动对应的小角度函数变换算符得到 对于有限大小的转角，有 (32—5）（2）及其相应的其中S满足 ，即对应的函数变换算符将代入，得到可以证明 （3.2-17)则 （3.2—18）完全转动群SO(3）的不可约表示SO(3）群描述球对称系统的转动对称性，群阶g = ∞,类c = ∞[ p21,（7)对于含转动操作的群，转角相同而转轴可由群中的元转成一致的,属同一类。

］SO（3)群中所有转角相同的转动，属同一类不可约表示数 r = c = ∞下面由构造SO(3）群的表示1）基函数取为首先分析一定的个球谐函数，在作用下构成一个维的完备的表示空间：由于又 ,所以 则即仍然是本征值为的本征函数，必然可以由这个球谐函数展开.所以，一定的个球谐函数，在作用下构成一个维的完备的表示空间同时,展开的这个维表示空间,维数不能再降低,所以这个维的表示是不可约表示表示的构造:对于一定的，有个球谐函数，形成一个维的表示作为表示的记号局限性：只有奇数维的不可约表示.表示的特征标:绕不同轴转相同角度的操作，属同一类选取绕z轴转α角的操作,分析特征标又 所以 得到第m列的表示矩阵元 （3.2—28)表示矩阵为则第个表示中，转角为α类的特征标为特征标表（示意）（2)用欧拉角表征正当转动欧拉角的定义任意的一个转动等价于对固定坐标轴的转动证明：转角相同的转动都是共轭的，有又 即 则用欧拉角表示的正当转动矩阵可以验证 对应的函数变换算符为也可以选用球谐函数构造的表示方向余弦及转角与欧拉角的关系,，作业1和2:第三章习题3和5§33 二维幺模幺正群SU(2)二维幺模幺正矩阵u若二维矩阵，满足（1）； (2）det u=1则矩阵u称为二维幺模幺正矩阵.矩阵元之间的关系即 以及 解得 ,所以，二维幺模幺正矩阵写为，独立参量只有3个，与三维转动矩阵相同。

u矩阵实例：二维单位矩阵，以及，二维幺模幺正矩阵构成群,称为二维幺模幺正群,记作SU（2)二维幺模幺正群与完全转动群矩阵与正当转动矩阵R之间存在对应关系对于 , 即 ，下面讨论存在一个u矩阵,同样能够对于,得到 ，即1）h矩阵复习泡利自旋矩阵：，，(a）h矩阵的引入h矩阵是泡利矩阵的线性组合，组合系数为x、y、z即 记，则，,另外 b）用u矩阵，对h作幺正变换：可以写成 这样就有 实现了 具体对h作幺正变换：由 ，，得到记，有或写作与二维幺模么正矩阵对应的三维正当转动矩阵为（2）R（u)的性质（a）R（u）是实矩阵（b）R(u)是转动矩阵(保长变换）（c)detR（u) = 1（d）例例1 若u是对角矩阵， 取,有一般的与u对应的三维正当转动矩阵为与对应的三维正当转动矩阵为 代入，得到这是绕z轴转动α角的正当转动矩阵例2 若u为实矩阵即、，代入对应的转动矩阵，得到这是绕y轴转动β角的正当转动矩阵.(3）SU（2)与SO（3)同态已知 对应的u矩阵 前面是 若有u，可以得到对应的R;这里是 对于R，可以得到对应的u.u与R之间存在对应关系.2对。