《高等代数习题》word版.doc

高等代数习题第一章 基本概念 §1.1 集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？ 2、设a是集A的一个元素记号{a}表示什么？ {a} A是否正确？ 3、设 写出 和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？ 6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii) (iv) 7．证明下列等式： (i) (ii) (iii) §1.2　映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、 是不是全体实数集到自身的映射？ 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？ 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？ 6、设a ,b是任意两个实数且a

§1.4　整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以 除 所得的商和余数: ;　　 ; ;　 　 . 2、设 是整数且不全为0,而 , , .证明, 的一个最大公因数必要且只要 . 3、设 是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数 叫做 与 的最小公倍数: ; 如果 且 ,则 .证明: 任意两个不等于零的整数 都有唯一的最小公倍数; 令 是 与 的最小公倍数而 ,则 . 4、设 是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数 ,如果 ,则 或 .证明, 是一个素数(定理的逆命题). 5、设 是两两不相同的素数,而 . 证明 ; 利用 证明,素数有无限多个． §1.5数环和数域 1．证明,如果一个数环 那么 含有无限多个数． 2．证明, 是数域． 3．证明, 是一个数环, 是不是数域? 4．证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环? 5．设 是一整数,令 由例1, 是一个数环.设 ,记 ． 证明: 是一个数环． ． ,这里 是 与 的最大公因数． ． 第二章 多项式 §2.1一元多项式的定义和运算 1．设 和 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) ，那么 2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式 和 3．证明： §2.2 多项式的整除性 1．求 被 除所得的商式和余式： ( i ) (ii) 2．证明： 必要且只要 3．令 都是数域F上的多项式，其中 且 证明： 4．实数 满足什么条件时，多项式 能够整除多项式 5．设F是一个数域， 证明： 整除 6．考虑有理数域上多项式 这里 和 都是非负整数．证明： 7．证明： 整除 必要且只要 整除 §2.3 多项式的最大公因式 1.      计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) (ii) 2.      设 证明：若 且 和 不全为零，则 反之，若 则 是 与 的一个最大公因式． 3.      令 与 是 的多项式，而 是 中的数，并且 证明： 4． 证明： （i） 是 和 的最大公因式； （ii） 此处 等都是 的多项式。

5． 设 都是有理数域Q上的多项式求 使得 6． 设 令 是任意正整数，证明： 由此进一步证明，对于任意正整数 ，都有 7． 设 证明：    8． 证明：对于任意正整数 都有 9． 证明：若是 与 互素，并且 与 的次数都大于0，那么定理 里的 与 可以如此选取，使得 的次数低于 的次数， 的次数低于 的次数，并且这样的 与 是唯一的 10． 决定 ，使 与 的最大公因式是一次的 11． 证明：如果 那么对于任意正整数 ， 12． 设 是数域F上的多项式 与 的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式 ：且 ； 如果 ∈F[x]且 ，那么 证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的 设 都是最高次项系数是1的多项式，令 表示 和 的最高次项系数是1的那个最小公倍式证明 13． 设 并且 证明： 14． 设 证明： 互素的充要条件是存在多项式 使得 15． 设 令 比照定理，证明： 有最大公因式．[提示：如果 不全为零，取 是I中次数最低的一个多项式，则 就是 的一个最大公因式．] §2.4 多项式的分解 1.      在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积： 2.      分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积. 3.      证明： 当且仅当 4.      求 在 内的典型分解式； 求 在 内的典型分解式 5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式 是 中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意 或者 或者存在一个正整数 使得 6．设 是 中一个次数大于零的多项式.如果对于任意 只要 就有 或 那么 不可约. §2.5 重因式 1.      证明下列关于多项式的导数的公式： 2.      设 是 的导数 的 重因式.证明： 未必是 的 重因式； 是 的 重因式的充分且必要条件是 3. 证明有理系数多项式 没有重因式. 4. 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？ 5. 证明：数域F上的一个 次多项式 能被它的导数整除的充分且必要条件是 ， 这里的 是F中的数 。

§2.6 多项式函数 多项式的根 1．设 ,求 . 2．数环R的一个数 说是 的一个 重根,如果 可以被 整除,但不能被 整除.判断5是不是多项式 的根.如果是的话,是几重根? 3．设 求 [提示:应用综合除法．] 4．将下列多项式 表成 的多项式. ; . 5．求一个次数小于4的多项式 ,使 6．求一个2次多项式,使它在 处与函数 有相同的值. 7．令 是两个多项式,并且 可以被 整除. 证明 8．令 是一个复数,并且是 中一个非零多项式的根,令 证明: 在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式 ,使得 中每一多项式 都可以写成 的形式,这里 .在 中不可约. 如果 ,求上述的 [提示:取 是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.] 9．设 中多项式 且 , 是一个大于1的整数. 证明: 的根只能是零或单位根. [提示:如果 是 的根,那么 都是 的根.] §2.7 　复数和实数域上多项式 1．设 次多项式 的根是 .求 以 为根的多项式,这里 是一个数 （ii）以,,…,(假定 都不等于零)为根的多项式.2．设 是一个多项式,用 表示把 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明: 若是g ,那么 ; 若是 是 和 的一个最大公因式,并且 的最高次项系数是1,那么 是一个实系数多项式). 3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4．在复数和实数域上,分解 为不可约因式的乘积. 5．证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. §2.8 有理数域上多项式1．证明以下多项式在有理数域上不可约: ; ; . 2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是 是 个不相同的素数而 是一个大于1的整数,那么 是一个无理数. 3．设 是一个整系数多项式.证明:若是 和 都是奇数,那么 不能有整数根.4．求以下多项式的有理根: ; ; .  §3.２ 线性方程组和行列式 1．计算下列排列的反序数： 523146879； 2．假设n个数码的排列 的反序数是k,那么排列 的反序数是多少？ 3．写出4个数码的一切排列． §3.3 阶行列式 1．确定六阶行列式 D= 中以下各乘积的符号： 2．写出下列四阶行列式 中一切带有负号且含元素 的项。

3．证明： 阶行列式 4．考察下列行列式： ， ， 其中 是 这 个数码的一个排列这两个行列式间有什么关系？ 5．计算 阶行列式 6．计算行列式 7．证明：行列式 8．设在 阶行列式 中，§3.4 子式和代数余式 行列式的依行依列展开 1．把行列式 依第三行展开，然后加以计算．  2．计算以下行列式: 　　  提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和 3．令 计算行列式 §3.5 克拉默规则 1．解以下线性方程组： 2．设 是 个不同的数, 是任意 个数,而多项式 有以下性质: , .用线性方程组的理论证明, 的系数 是唯一确定的,并且对 的情形导出拉格朗日插值公式. 3．设 .用线性方程组的理论证明,若是 有 个不同的根,那么 是零多项式. §4.1 消元法 1．解以下线性方程组： 2．证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换 3．设 阶行列式 0. 证明：用行初等变换能把 行 列矩阵 化为 4．证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把 化为 ． §4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 1．对第一和第二种行初等变换证明定理． 2．利用初等变换求下列矩阵的秩： 3．证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1． 4．证明：含有 个未知量 个方程的线性方程组 有解的必要条件是行列式 这个条件不是充分的，试举一反例． 5． 有解？ 6． 取怎样的数值时，线性方程组 有唯一解，没有解，有无穷多解？ §4.3 线性方程组的公式解 1．考虑线性方程组：　这里 ． 2． 3．设线性方程组： （9） 　　 有解，并且添加一个方程： 于方程组（9）所得的方程组与（9）同解。