彭志科信号处理 第二章Z变换.ppt

第二章变换信号与系统的分析方法有时域分析法和变换域分析法连续时间系统中，其变换域方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换；离散时间系统中，其变换域方法是Z变换和傅立叶变换对求解离散时间系统而言，Z变换是个极重要的数学工具，它可以将描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化 变换的定义与收敛域反变换变换的基本性质和定理序列的变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系离散系统的系统函数、系统的频率响应变换的定义与收敛域变换的定义对于一个序列x(n)，它的Z变换定义为 其中Z为一个复变量，上式定义的Z变换称为双边Z变换或标准Z变换，变换的收敛域由于x(n)的Z变换是一个无穷级数，就必然存在收敛和发散的问题，仅当级数收敛时才可将X(z)表示成一个闭合形式，按照级数理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和的条件，即使上式成立的所有Z值的集合称为X(z)的收敛域，不同形式的序列，其收敛域不同、有限长序列其变换为因为x(n)是有界序列，由于是有限项求和，显然在0|z|上都满足收敛条件，收敛域至少是有限Z平面(0，)，在n1和n2的特殊取值情况下，收敛域可扩大为RezImz0ROC有限长序列的收敛域例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=R(n)，求其X(z)。

解： 收敛域为从上式的分母可知在z=1处有一个极点，但是从分子处看出z=1处有一个零点，零极点刚好对消右边序列右边序列只有在nn1时，序列值不全为零，其它n值时，序列值全为零，即其变换为 若RX-是收敛域的最小半径，则右边序列变换的收敛域为有限长序列，其收敛域为有限Z平面是Z的负幂级数，其收敛域为RX-|Z|RezImzRx-0 右边序列当n1 =0时的右边序列称为因果序列，其收敛域为因此在|z|=处Z变换收敛是因果序列的特征例：求指数序列的变换解：、左边序列左边序列只有在n n时，序列值有值，n n时，序列值全为零，即其变换为 左边序列变换的收敛域为当n时，收敛域不包括z=0，即；当n时，收敛域包括z=0，即有限长序列，其收敛域为有限Z平面是Z的正幂级数，其收敛域为|Z| RXRezImz0Rx+ 左边序列例：求序列的变换解： 如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的，不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围，才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的重要性双边序列一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这两个序列Z变换的公共收敛区间。

其变换为若满足RX RX， 则双边序列变换的收敛域为右边序列，其收敛域为|Z| RX左边序列，其收敛域为|Z| RXRezImz0RRx+ 双边序列例：求序列的变换，其中解：第一部分的收敛域为，即；第二部分的收敛域为，即已知， 所以反变换求反变换的方法通常有：围线积分法（留数法）、部分分式展开法、长除法、部分分式法一般X(z)是z的有理分式，可表示X(z)=B(z)/A(z)，B(z)和A(z)都是变量z的实系数多项式，且没有公因式，可以把X(z)分解为部分分式的形式，然后求出各部分分式的z反变换（基本变换对的公式可查表),将各反变换相加即得到x(n) 如果X(z)只有一阶极点，则X(z)展成最好写成A0、Am分别为X(z)在z=0、z=zm处极点的留数，即 如果X(z)中含有高阶极点，设X(z)含有k个一阶极点，一个s阶极点zi，则X(z)展成其中Br用下式确定、长除法x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即 因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)一般情况下，X(z)是一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式，从而得到x(n)。

如果用收敛域判定x(n)是右边序列，则展开成负幂级数，为此X(z)的分子分母按z的降幂（或z-1的升幂）排列；如果是左边序列，则展开成正幂级数，为此X(z)的分子分母按z的升幂（或z-1的降幂）排列例：用两种方法求的反变换解：部分分式法：长除法由收敛域知x(n)是右边序列，所以X(z)按z的降幂排列 因此得出变换的性质和定理、线性线性就是要满足比例性和可加性，若则其中，即线性组合后的收敛域为各个序列z变换的公共收敛域，如果这些组合中某些零点和极点相互抵消，则收敛域可能扩大序列的移位 若序列x(n)的z变换为则有其中m为任意整数，m为正，则为延迟，m为负则为超前证：对双边序列，移位后收敛域不会发生变化；但是单边序列在z=0或z=处收敛域可能有变化 例如，Z(n)=1=1，在z平面处处收敛，但是Z(n-1)=z-1，在z=0处不收敛，而Z(n+1)=z，在z=处不收敛乘以指数序列（域的尺度变换）若则收敛域为，可是复数此性质表明X(z)如果在z=z1处为极点，则X(a-1z)将在a-1z=z1 ，即z=az1处为极点如果a为正实数，则表示z平面缩小或扩大，零极点在z平面沿径向移动；若a为复数，则在z平面上，零极点既有幅度伸缩，又有角度旋转，因此此性质是一种z域尺度变换。

、序列的线性加权 若序列x(n)的z变换为则证明：由于z变换在其收敛域中处处解析所以通过递推可以证明：式中 、共轭序列若则、翻摺序列若则证：、初值定理 如果x(n)是因果序列，则有证明：因为x(n)是因果序列，有所以、终值定理 如果x(n)是因果序列，且其z变换的极点除在z=1处可以有一阶极点，其它极点均在单位圆内，则有证明：x(n)是因果序列，则因为在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限，有、有限项累加特性设x(n)为因果序列，即x(n)=0,n0,若则、序列的卷积和（时域卷积和定理）若则证：例：已知x(n)=anu(n)，h(n)=bnu(-n),|a|b|，求y(n)=x(n)*h(n)解：由时域卷积定理则因为Y(z)的收敛域为环形区域，故y(n)是双边序列，、序列相乘（域复卷积定理）若则其中C是哑变量v平面上，的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单闭合围线帕塞瓦定理若则其中C是在公共收敛域内的一条闭合围线变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系、平面与平面设连续信号为，其抽样信号为,它们的拉普拉斯变换分别为 应用理想抽样表达式，有 而抽样序列的z 变换为比较上面两式，当时，抽样序列的z变换就等于抽样信号的拉普拉斯变换，即即由s平面到z平面的映射关系为将s平面用直角坐标表示为：将z平面用极坐标表示为：因此结论：1）r与的关系，=0(s平面的虚轴)对应于r=1(z平面的单位圆上)；0(s平面的左半平面)对应于r0(s平面的右半平面)对应于r1(z平面的单位圆外部)。

2）和的关系，=0(s平面实轴)对应于=0(z平面正实轴)；=0(常数)(s平面平行于实轴的直线)对应于=0T(z平面始于原点，幅角为=0T的辐射线)注意:s平面与z平面的映射关系不是单值映射，每增加一个抽样角频率 ，则相应增加一个2，即重复旋转一周，z平面重叠一次与的关系由时域抽样定理有因此 傅立叶变换是拉普拉斯变换在s平面虚轴上的特例，即s=j，因此有 抽样序列在单位圆上的z变换等于其抽样信号的傅立叶变换数字频率表示z平面的幅角，和模拟频率的关系为用数字频率作为z平面上单位圆的参数，即，可得因而单位圆上的z变换就是序列的傅立叶变换 z变换与傅立叶变换的关系 离散系统的系统函数，系统的频率响应系统函数的定义 一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h(n)来表示其输入输出关系，即 对等式两边取变换得则将H(z)定义为线性移不变系统的系统函数，是单位抽样响应h(n)的z变换，即因果稳定系统因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为一个线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和条件，即 而z变换的收敛域由满足的那些z值确定，所以如果系统函数的收敛域包含单位圆|z|=1，则系统是稳定的。

因此，一个因果稳定的线性移不变系统的系统函数H(z)必须在从单位圆到的整个z域内收敛，即 也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内系统函数和差分方程的关系一个线性移不变系统可以用差分方程来描述，其一般形式为若系统的起始状态为零，直接对上式取z变换（利用移位特性），得将两个多项式分别进行因式分解，得z=cm是H(z)的零点，z=dk是H(z)的极点，是由差分方程的系数ak和bk决定，除了比例常数K，系统函数完全由它的零点和极点来确定要根据H(z)唯一确定h(n)，必须同时确定系统的收敛域例如对于稳定系统，其收敛域必须包含单位圆例：已知一线性移不变的因果系统差分方程为，求系统的单位抽样响应h(n)，该系统是否稳定？解：由题意知，系统是因果系统，因此h(n)为因果序列，H(z)的收敛域为圆外部区域， 即所以因为系统是因果的，收敛域为，不包含单位圆|z|=1，因此系统是不稳定的 系统的频率响应 设系统的输入序列是频率为的复指数序列，即线性移不变系统的单位抽样响应为h(n)，利用卷积和，得到输出为其中 是h(n)的傅立叶变换，称为系统的频率响应，描述的是复指数序列经过线性移不变系统后，复振幅（包括幅度和相位）的变化。

系统的频率响应正是系统函数H(z)在单位圆上的值，即 当系统输入为正弦序列时，则输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度加权，而输出的相位为输入相位与系统相位之和证：设输入为则输出为由于h(n)是实序列，因此满足共轭对称条件，也就是幅度为偶对称，相角为奇对称，即例：设一阶系统的差分方程为求系统的频率响应解：将差分方程等式两端变换，得：这是因果系统，求出单位抽样响应为则幅度响应为相位响应为系统的极点在单位圆内，因此系统稳定jImzReza0-1h(n)=anu(n)n0 1 2 37|H(ej)|1/1-a1/1+a0a10/23/2 202argH(ej)-1a0IIR与FIRIIR:从离散时域来看,若系统的单位抽样(冲激)响应延伸到无穷长,称为无限长单位冲激响应系统.FIR:若系统的单位抽样(冲激)响应是一个有限长序列, ,称为有限长单位冲激响应系统.。