沙漠中迷路的数学模型分析.doc

沙漠迷路的数学模型1、 背景在沙漠中，人往往会迷失方向，而迷路时所走的路线常常会是一个圆形轨迹或近似圆形那么，人在沙漠中为什么会迷路呢，迷路时轨迹近似为圆形是必然还是偶然呢？下面我们通过分析来解决这些问题二、问题分析在沙漠中，并没有明显的参照物，所以人们只能凭借感觉去走路，感觉自己走的是一条直线，然而往往却偏离了真确的方向而迷路，而造成这一切的原因正是两只脚迈出的步长不一样长（这里的步长指的是以右脚为支撑脚，左脚从原位置往前迈出一步和以左脚为支撑脚，右脚从原位置往前迈出一步的步长） ，即使这个差距很微小，如果两只脚分别形成的轨迹是平行线，那么在比较长一段路之后，必然有一只脚滞后较多距离，人会变成两半，这显然是不可能的所以在行进中，人两只脚形成的轨迹应该是两个同心圆，所以人在迷路后走出的路线会是一个近似圆的轨迹接下来定量的用数学模型来详细讨论这个问题3、 模型的假设和建立首先先对问题进行必要的假设：1.人的左脚与右脚走出的每一步都是均匀的；2.假设人的右脚每次都比左脚多迈出固定的一小段距离，记为δ；3.人在行进过程中不随意改变方向且没有参照物前面已经分析过，人的步长差在充分长的路程之后会积累到一个比较大的值，而为了保持人的左右脚不致分离，所以人两只脚形成的轨迹近似是两个同心圆。

显然这样处理是合理的也是必须的，在这个前提下，设人的左脚平均步长为 L，则右脚步长为 L+δ（如图1 ） ；左右脚之间的平行间距平均为 d则人的左右脚形成的同心圆的半径之差为 δ，如图 2所示：图1其中大圆半径为 R，小圆半径为 r则同心圆的周长之差 e 为：e=2π（R-r）=2πd 而这个距离又等于人走一圈所走的步数与步子 差的乘积，即：e=（2πr/L）×δ  图2由于 r>>d, 联立可得：R r dL/δ 对一个人来说，d 与 L 为常量，则可以看出，他凭感觉直线走出圆的轨迹的半径与左右脚步幅之差成反比若设人在坐标系 xOy 坐标系中的坐标为（ x，y)，则可得其轨迹方程为 x2+y2=(dL/δ)2 ④δO XyO4、 模型应用既然已得出迷路的数学模型，下面我们来看看究竟步子的微小差异会导致人绕多大的圈子：若取步幅差 δ 为0.0001 米，即0.1毫米，两脚间距 d 为0.1 米，步长 L1.4米，则可得 r 为1400米，可见即使是微小的步幅差也会导致人以半径1.4千米绕圈子。

由此，我们可以看出，在没有参考物与指南针的情况下，在沙漠中行走时迷路似乎是必然的，所以在沙漠中首先要确定自己的方向，可以利用北极星等，然后沿着正确的方向前进，这样才不至于迷路。