奥数相似题参考.doc

一、解答题（共 12 小题，满分 120 分）1、如图所示，已知 AB ∥EF ∥ CD ，若 AB=6 厘米， CD=9 厘米．求 EF ．考点：平行线分线段成比例 ．专题：计算题 ．分析： 由于 BC 是△ ABC 与△ DBC 的公共边，且 AB ∥EF ∥CD ，利用平行线分线段成比例的定理，可求 EF ．解答： 解：在△ ABC 中，因为 EF ∥AB ，所以 EF ：AB=CF ： CB①，同样，在△ DBC 中有 EF ：CD=BF ： CB ②，① + ②得 EF ：AB+EF ：CD=CF ： CB+BF ：CB=1 ③．设 EF=x 厘米，又已知 AB=6 厘米， CD=9 厘米，代入③得x：6+x ： 9=1 ，解得 x= ．故 EF= 厘米．点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．2 、如图所示． ?ABCD 的对角线交于 O， OE 交 BC 于 E ，交 AB 的延长线于 F．若 AB=a ， BC=b ， BF=c ，求BE ．考点：相似三角形的判定与性质 ；平行四边形的性质 ．专题：计算题 ．分析： 本题所给出的已知长的线段 AB ，BC ，BF 位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段 “集中”到一个可解的图形中来，为此，过 O 作 OG∥ BC ，交 AB 于 G，构造出△ FEB ∽△ FOG ，进而求解．解答： 解：过 O 作 OG ∥BC ，交 AB 于 G．显然， OG 是△ ABC 的中位线，∴OG= BC= ， GB= AB= ．在△ FOG 中，由于 GO∥ EB ，∴△ FOG ∽△ FEB ，=，∴BE=?OG=? =．答： BE 的长为 ．点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是通过辅助线将长度已知的线段 “集中 ”到一个可解的图形中来，构造出△ FEB ∽△ FOG ．3、如图所示．在△ ABC 中，∠ BAC=120° ， AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D．求证： ．考点：相似三角形的判定与性质 ；等边三角形的判定 ．专题：证明题 ．分析：过 D 引 DE ∥AB ，交 AC 于 E，因为 AD 平分∠ BAC （=120°），所以∠ BAD= ∠EAD=60° ．若引 DE ∥AB ，交 AC 于 E ，则△ADE 为正三角形，从而 AE=DE=AD ，利用△ CED ∽△ CAB ，可实现求证的目标．解答： 证明：过 D 引 DE ∥AB，交 AC 于 E．∵ AD 是∠ BAC 的平分线，∠ BAC=120° ， ∴∠ BAD= ∠ CAD=60° ．又∠ BAD= ∠EDA=60° ，所以∴△ ADE 是正三角形，∴ EA=ED=AD ．①由于 DE ∥AB ，所以△ CED ∽△ CAB ，∴ = = =1- ．②由①，②得 =1- ，从而 + = ．点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质， 考查了相似三角形的判定， 考查了等边三角形的判定， 考查了角平分线的性质，本题中求证△ CED ∽△ CAB 是解题的关键．4、如图所示，?ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点，E 为 AD 延长线上一点， OE 交 CD 于 F ，EO 延长线交 AB 于 G ．求证： ．考点：相似三角形的判定与性质 ；平行四边形的性质 ．专题：证明题 ．分析： 应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段 “集中 ”到一个三角形中来求证．解答： 证明：延长 CB 与 EG ，其延长线交于 H，如虚线所示，构造平行四边形 AIHB ．在△ EIH 中，由于 DF ∥IH ，∴ = ．∵IH=AB ，∴ = ，从而， - = - = = =1+ ．①在△ OED 与△ OBH 中，∠ DOE= ∠ BOH ，∠ OED= ∠OHB ，OD=OB ，∴△ OED ≌△ OBH （ AAS ）．从而 DE=BH=AI ，∴ =1 ．②由①，②得 - =2．点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长 CB 与 EG ，其延长线交于 H ，如虚线所示，构造平行四边形 AIHB ．这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题．5、一条直线与三角形 ABC 的三边 BC ， CA ， AB （或其延长线）分别交于 D， E，F 如图所示）．求证：考点：平行线分线段成比例 ．专题：证明题 ．分析： 过 B 引 BG ∥ EF ，交 AC 于 G ，将求证中所述线段 “集中 ”到同一线段 AC 上进行求证．解答： 证明：过 B 引 BG ∥EF ，交 AC 于 G．由平行线分线段成比例性质知= ， = ，∴ × × = × × =1．点评： 考查了平行线分线段成比例定理，本题也可过 C 引 CG ∥EF 交 AB 延长线于 G，将求证中所述诸线段 “集中 ”到边 AB 所在直线上6、如图所示． P 为△ ABC 内一点，过 P 点作线段 DE ，FG ， HI 分别平行于 AB ，BC 和 CA ，且 DE=FG=HI=d ， AB=510 ， BC=450 ， CA=425 ．求 d．考点：相似三角形的判定与性质 ；平行四边形的判定与性质 ．专题：计算题 ．分析：由 FG ∥BC ， HI∥ CA ， ED∥ AB ，易证四边形 AIPE 、四边形 BDPF 、四边形 CGPH 均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△ IHB ∽△ AFG ∽△ ABC ，于是 = ， = ，再结合 = ，先计算式子右边的和，易求 + + = =2 ，从而有 + + =2，再把 DE=FG=HI=d ， AB=510 ， BC=450 ， CA=425 代入此式，解即可．解答： 解：∵ FG ∥BC ， HI∥ CA ，ED ∥AB ，∴四边形 AIPE 、四边形 BDPF 、四边形 CGPH 均是平行四边形，∴△ IHB ∽△ AFG ∽△ ABC ，∴ = ， = ，∴ + + = ，又∵ DE=PE+PD=AI+FB ，AF=AI+FI ，BI=IF+FB ，∴DE+AF+BI=2× （ AI+IF+FB ） =2AB ，∴ + + = =2，∵ DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450 ， CA=425 ，∴ + + = + + =2，∴ + + =2，解得 d=306 ．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质．7、如图所示． 梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，BD ，AC 交于 O 点，过 O 的直线分别交 AB ，CD 于 E ，F，且 EF ∥ BC ．AD=12 厘米， BC=20 厘米．求 EF ．考点：平行线分线段成比例 ．分析： 由平行线的性质可得 = = = ，得出 OE 与 BC， OF 与 AD 的关系，进而即可求解 EF 的长．解答： 解：∵ AD ∥BC ，EF ∥BC ，∴ = = = ，又 = = ， = = ，∴ OE= BC= ， OF= AD= ，∴ EF=OE+OF=15 ．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．8、已知： P 为?ABCD 边 BC 上任意一点， DP 交 AB 的延长线于 Q 点，求证：考点：相似三角形的判定与性质 ．专题：证明题 ．分析： 由于 AB=CD ，所以将 转化为 ，再由平行线的性质可得 = ，进而求解即可．解答： 证明：在平行四边形 ABCD 中，则 AD ∥ BC ，AB ∥ CD ，∴ = =∴ - = - = =1．点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．9、如图所示，梯形 ABCD 中， AD∥ BC ，MN ∥ BC，且 MN 与对角线 BD 交于 O ．若 AD=DO=a ， BC=BO=b ，求 MN ．考点：相似三角形的判定与性质 ；梯形．专题：计算题 ．分析： 由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段 MN 的长．解答： 解：∵ MN ∥ BC，∴在△ABD中，=，即OM==，同理ON==，∴MN=OM+ON= ．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握．10 、 P 为△ ABC 内一点，过 P 点作 DE ，FG ，IH 分别平行于 AB ， BC， CA （如图所示）．求证：考点：平行线分线段成比例 ．专题：证明题 ．分析： （ 1）由平行线可得△ PIF ∽△ CAB ，得出对应线段成比例。