如何发展学生的数学模型思想.ppt

如何发展学生的数学模型思想如何发展学生的数学模型思想 扎兰屯市蘑菇气中心校扎兰屯市蘑菇气中心校 张丽平张丽平复旦大学李大潜院士:              20世纪世纪,中国的数学教育一个很重要的中国的数学教育一个很重要的贡献贡献,就是强调了模型就是强调了模型,强调了数学建模强调了数学建模,推动推动了数学与实际的联系了数学与实际的联系.《标准》《标准》在前言中指出：      模型思想的建立是学生体会和理解数学数学与外部世界联系与外部世界联系的基本途径            建立和求解模型的过程包括：建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义      建立和求解模型有助于学生初步形成模建立和求解模型有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识  如何发展学生的模型思想如何发展学生的模型思想一一、、数学模型的概念数学模型的概念二二、、数学建模在教学中的重要意义数学建模在教学中的重要意义三三、、数学建模的基本模式和教学方法数学建模的基本模式和教学方法四四、、建构数学建模的教学策略建构数学建模的教学策略五、五、有效建构数学模型需要注意的问题有效建构数学模型需要注意的问题六、六、建构数学模型常用的学习方法建构数学模型常用的学习方法（一（一））专家解读数学模型概念专家解读数学模型概念1、张奠宙、张奠宙—现代数学史研究现代数学史研究        数学模型数学模型：一般地说，乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量依存关系，进行分析、抽象、简化，提炼本质特征，采用形式化的数学语言数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构数学结构。

广义地讲，数学中各种概念、各种公式和各种理论，都可以叫做数学模型比较狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构才叫做数学模型 2、王永春王永春—课程教材研究所课程教材研究所       数学模型数学模型：是用数学语言数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构数学结构从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型      《标准》指出：《标准》指出：       “数学教学应该从学生已有生活经验数学教学应该从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用成数学模型并理解运用        数学建模数学建模就是建立数学模型，是一种数学就是建立数学模型，是一种数学的思考方法，是利用数学语言、符号、式子或的思考方法，是利用数学语言、符号、式子或图象模拟现实的模型，是把现实世界中有待解图象模拟现实的模型，是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题，并综合运用一类已经解决或较易解决的问题，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思数学思想方法想方法。

        数学建模是对数学建模是对实际问题实际问题进行抽象、简化、建立进行抽象、简化、建立数学模型数学模型，求解，求解数学模型数学模型，解释验证等步骤组成的，解释验证等步骤组成的过程数学建模也是一种研究性学习方式数学建模也是一种研究性学习方式（二（二））小学数学模型小学数学模型就许多小学数学内容来说，本身就是一种数学模型：就许多小学数学内容来说，本身就是一种数学模型：                 自然数是描述离散型数量的数学模型；        直线、平面、球、圆锥是从图形的现实原型中抽象出来的数学模型；    分数是平均分派物品的数学模型；   元角分的计算模型是小数的运算；   500人的学校里一定有两个人一起过生日，其数学模型叫做抽屉原理；   鸡兔同笼问题的数学模型是二元一次整数方程小学数学中的模型小学数学中的模型知识领域知识领域知识点知识点应用举例应用举例数数与代数与代数数的表示数的表示自然数列：自然数列：0,1,2,…用数轴表示数用数轴表示数数的运算数的运算a+b=ca+b=c c c－－a =b, c－－b＝＝aa a×b＝＝c(a≠0,b≠0) c c÷a=b, c÷b＝＝a运算定律运算定律加法交换律：加法交换律：a+b=b+a加法结合律：加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：乘法交换律：ab=ba乘法结合律：乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：乘法分配律：a(b+c)=ab+ac方程方程ax+b=c数量关系数量关系时间、速度和路程：时间、速度和路程：s=vt数量、单价和总价：数量、单价和总价：a=np正比例关系：正比例关系：y/x=k反比例关系：反比例关系：xy=k用表格表示数量间的关系用表格表示数量间的关系小学数学中的模型小学数学中的模型知识领域知识领域知识点知识点应用举例应用举例空间与图形空间与图形用字母表示公式用字母表示公式长方形面积：长方形面积：S＝＝ab正方形面积正方形面积: S＝＝a2三角形面积：三角形面积：S＝＝ ab平行四边形面积：平行四边形面积：S＝＝ah梯形面积：梯形面积：S＝＝ (a+b)h圆周长：圆周长：C＝＝2πr圆面积：圆面积：S＝＝πr2长方体体积：长方体体积：v=abc正方体体积：正方体体积：v=a3圆柱体积：圆柱体积：v=sh圆锥体积：圆锥体积：v= sh空间形式空间形式用用图图表表示空表表示空间间和平面和平面结结构构统计与概率统计与概率统计图和统计表统计图和统计表用用统计图统计图表描述和分析各种信息表描述和分析各种信息可能性可能性用分数表示可能性的大小用分数表示可能性的大小1、按数学知识结构可分为：、按数学知识结构可分为：（1）概念性数学模型：【加法交换律】（2）方法型数学模型：【找规律】（3）结构型数学模型：【相遇问题】（三（三））数学模型分类数学模型分类2、还有以下几种分类：、还有以下几种分类： （1）按学习内容分类：随机模型，统计模型，四则运算模型，分数、小数  模型，一元一次方程模型，二元一次整数方程模型等等。

2） 按情景熟悉程度分类： 如日常生活情景模型（烙饼问题）， 模拟现实情景模型（鸡兔同笼），科学技术模型（工程问题）等等（3）按特定情境的数量关系分类：如行程问题， 工程问题， 流水问题，折扣问题，利息问题等等，二二、、数学建模在教学中的重要意义数学建模在教学中的重要意义1、培养学生、培养学生“翻译翻译”的能力的能力；；2、、培养学生培养学生综合应用和分析综合应用和分析能力能力；；　　3、发展联想能力、发展联想能力,培养创新能力培养创新能力；；　　4、逐渐发展形成一种洞察力、逐渐发展形成一种洞察力数学训练可以分为三个层次数学训练可以分为三个层次：：      第一层是第一层是“知识堆积知识堆积”与与“解题术解题术”式的     它看的见，摸得着，易操作，易复制，但功能性弱，应用面窄     第二层是第二层是“思维方法思维方法”和和“解题方法解题方法”式的     它与前一层比，不易复制，但功能性更强，应用面宽      第三层是第三层是“数学思想数学思想”与与“数学观念数学观念”式的     它虽然抽象，但功能性强，它是对其他两个层次它是对其他两个层次的指导和引领的指导和引领 三三、、数学建模的基本模式和教学方法数学建模的基本模式和教学方法    《课标》提出的数学建模的基本模式：《课标》提出的数学建模的基本模式：            “问题情境问题情境——建立模型建立模型——解释与应用解释与应用” 建立数学模型的基本流程建立数学模型的基本流程林至元提出的数学建模一般要经过五个环节：（一）数学建模五个基本环节（一）数学建模五个基本环节1、模型准备模型准备   （从生活情境中抽象出一个比较清晰的数学问题）2、模型假设与验证模型假设与验证     (针对问题特点和建模目的作出假设，并予以验证)3、模型求解与确立模型求解与确立   （运用适当的数学工具，进行数学抽象，确定数学结构）4、模型解释与应用、模型解释与应用   （用数学模型解决实际问题，用数学语言刻画实际问题）5、模型拓展、模型拓展   （适度生成、派生新模型）1．模型准备，激发学生的学习兴趣，唤起学生的知识储备。

．模型准备，激发学生的学习兴趣，唤起学生的知识储备       这一环节对模型的假设起着决定作用，可以由教这一环节对模型的假设起着决定作用，可以由教师直接提出问题或设计情境引入，让学生从生活现象师直接提出问题或设计情境引入，让学生从生活现象中提炼出一个比较清晰的数学问题在这个环节中，中提炼出一个比较清晰的数学问题在这个环节中，教师要注意找准学生的最近发展区，要通过呈现问题教师要注意找准学生的最近发展区，要通过呈现问题引发学生的思考引发学生的思考       如教学人教版四年级下册《数学广角如教学人教版四年级下册《数学广角——植树问植树问题》时，可出示校园情境图，问：题》时，可出示校园情境图，问：“要在校园里全长要在校园里全长100米的小路一边，每隔米的小路一边，每隔5米栽米栽1棵树如果两端都要棵树如果两端都要栽树，一共要栽多少棵树？栽树，一共要栽多少棵树？”模型准备阶段，应尽可模型准备阶段，应尽可能为学生提供完整、真实的问题背景，使学生产生学能为学生提供完整、真实的问题背景，使学生产生学习的需要习的需要 2．模型假设与验证，引导学生针对问题特点和建模目的作出．模型假设与验证，引导学生针对问题特点和建模目的作出      合理的假设。

合理的假设             在这个环节，教师不应过早地对学生的假设进行评判，在这个环节，教师不应过早地对学生的假设进行评判，而应重点关注假设背后的思想，关注学生是否调动原有的知而应重点关注假设背后的思想，关注学生是否调动原有的知识经验，并引导学生在操作、证明、交流、质疑中用事实验识经验，并引导学生在操作、证明、交流、质疑中用事实验证自己的假设，或纠正自己的错误假设证自己的假设，或纠正自己的错误假设             以前文提到的两端植树的问题为例，如果学生假设以前文提到的两端植树的问题为例，如果学生假设“总长总长÷间隔长间隔长=棵数（间隔数）棵数（间隔数）”，教师就应引导学生质疑：，教师就应引导学生质疑：“总总长长÷间隔长间隔长=棵数棵数”到底对不对到底对不对?怎样证明这一假设是正确的怎样证明这一假设是正确的然后引导学生用自己的方法验证假设是否正确，如学生可把然后引导学生用自己的方法验证假设是否正确，如学生可把总长总长100米改为米改为20米，采用化繁为简的策略；也可画出植树的米，采用化繁为简的策略；也可画出植树的情境图，化抽象为直观，采用数形结合的策略通过验证活情境图，化抽象为直观，采用数形结合的策略。

通过验证活动，学生就能发现，动，学生就能发现，“总长总长÷间隔长间隔长=棵数（间隔数）棵数（间隔数）”的假的假设是错误的，正确的模型应该是设是错误的，正确的模型应该是“植树棵数植树棵数=间隔数＋间隔数＋1”3．模型求解与确立，引导学生用分析、比较、综合、猜想、．模型求解与确立，引导学生用分析、比较、综合、猜想、     验证、概括等思维方法自主构建数学模型验证、概括等思维方法自主构建数学模型     数学建模的目的不仅仅是获得数学结论，更重要的数学建模的目的不仅仅是获得数学结论，更重要的是在建模的过程中促进知识的内化、思想的升华发展是在建模的过程中促进知识的内化、思想的升华发展      如得出如得出“植树棵数植树棵数=间隔数＋间隔数＋1”后，教师可引导学后，教师可引导学生讨论：生讨论：“如果小路总长如果小路总长100米，每隔米，每隔4米种米种1棵树共有多少个间隔？可植树多少棵？共有多少个间隔？可植树多少棵？”“如果间隔数是如果间隔数是50个，要栽树多少棵？如果间隔数是个，要栽树多少棵？如果间隔数是n个，可以植树个，可以植树多少棵？多少棵？”“如果学校的这段小路长度改变了，其他如果学校的这段小路长度改变了，其他条件不变，条件不变，‘植树棵数植树棵数=间隔数＋间隔数＋1’的规律还能成立的规律还能成立吗？为什么植树数不是等于间隔数而是等于吗？为什么植树数不是等于间隔数而是等于“间隔数间隔数＋＋1”呢？呢？”这样，引导学生解释模型，能促进学生进这样，引导学生解释模型，能促进学生进一步理解模型一步理解模型“植树棵数植树棵数=间隔数＋间隔数＋1”。

4．模型解释与应用，引导学生利用抽象出的模型．模型解释与应用，引导学生利用抽象出的模型     解决实际问题解决实际问题      如建立如建立“植树棵数植树棵数=间隔数＋间隔数＋1”的模型后，可让的模型后，可让学生完成类似以下的练习：学生完成类似以下的练习：“5路公共汽车行驶路线路公共汽车行驶路线全长全长12千米，相邻两站之间的距离都是千米，相邻两站之间的距离都是1千米，一千米，一共有几个车站？共有几个车站？”在应用模型的过程中，不能让学在应用模型的过程中，不能让学生简单地套模型，而应引导学生展示解决问题的思生简单地套模型，而应引导学生展示解决问题的思维程序，并对程序的各个部分进行剖析，进一步加维程序，并对程序的各个部分进行剖析，进一步加深学生对数学模型的理解，促进模型的内化深学生对数学模型的理解，促进模型的内化 5．模型拓展，对模型进行适度的生成、拓展与重．模型拓展，对模型进行适度的生成、拓展与重       塑，派生出新的数学模型塑，派生出新的数学模型            如得出两端都栽树的模型如得出两端都栽树的模型“植树棵数植树棵数=间隔数＋间隔数＋1”后，教师可引导学生探索后，教师可引导学生探索“只栽一端只栽一端”和和“两端两端都不栽都不栽”时的植树模型，并由时的植树模型，并由“两端都栽两端都栽”的模型的模型“植树棵数植树棵数=间隔数＋间隔数＋1”派生出派生出“只栽一端只栽一端”的模型的模型“植树棵数植树棵数=间隔数间隔数”和和“两端都不栽两端都不栽”的模型的模型“植植树的棵数树的棵数=间隔数－间隔数－1”。

 案例：鸡兔同笼问题的数学模型的拓展案例：鸡兔同笼问题的数学模型的拓展一千多年过去了，鸡兔同笼这道数学题流传至今有什么独特的魅力吗？一千多年过去了，鸡兔同笼这道数学题流传至今有什么独特的魅力吗？引导学生发现：引导学生发现：        “鸡兔同笼鸡兔同笼”不只是代表着鸡、兔同笼的问题，有很多类似的问题都不只是代表着鸡、兔同笼的问题，有很多类似的问题都可以看成是可以看成是“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题，如人马问题、牛鸡问题、汽车和自行车的问题，如人马问题、牛鸡问题、汽车和自行车的轮子问题轮子问题…… 问题一：问题一：“信封里放着信封里放着5元和元和2元的钞票，共元的钞票，共8张，张，34元，信封里元，信封里5元和元和2                 元的钞票各有多少张？元的钞票各有多少张？”，，问题二：一共有问题二：一共有100个和尚和个和尚和100个馒头 大和尚一人吃三个馒头，大和尚一人吃三个馒头， 小小               和尚三个人吃一个馒头，和尚三个人吃一个馒头， 问各有大小和尚几人？问各有大小和尚几人？               师生共同探讨其与鸡兔同笼问题的关联经过比较和猜想，学生的师生共同探讨其与鸡兔同笼问题的关联。

经过比较和猜想，学生的认识再次提升，进一步明确认识再次提升，进一步明确“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题的结构、模型，同时，又让问题的结构、模型，同时，又让学生很好地经历更高层次学生很好地经历更高层次“数学化数学化”的过程，帮助学生实现完整的的过程，帮助学生实现完整的“模型模型”建构，实现建构，实现“形式的形式的”数学知识向现实生活的数学知识向现实生活的“复归复归”，让学生从，让学生从“模型模型”和和“建模建模”的角度来亲近数学，了解数学站在的角度来亲近数学，了解数学站在“数学建模的高点数学建模的高点”再回望探究再回望探究之旅，学生对数学的认识就更加深入了，将深刻而持久地影响着他们的之旅，学生对数学的认识就更加深入了，将深刻而持久地影响着他们的数学学习和生活数学学习和生活（二）数学建模的基本教学方法：（二）数学建模的基本教学方法：“五步建模教学法五步建模教学法” 第一种：第一种：1、把生活原型抽象为数学模型2、建立正确的表象，建构数学模型3、把实际问题数学化，建构数学模型4、开展课程资源，建构数学模型5、建立模型，解决实际问题第二种：第二种：1、创设问题情境，激发建模兴趣　　、创设问题情境，激发建模兴趣。

　　2、引出数学问题，培育建模基础　　、引出数学问题，培育建模基础　　3、引导自主探究，构建数学模型　　、引导自主探究，构建数学模型　　4、解决实际问题，解释应用模型　　、解决实际问题，解释应用模型　　5、回归生活情境，拓展模型外延回归生活情境，拓展模型外延　 【教学片段【教学片段1】】出示情境图师：请同学们认真观察这两幅图，说一说从图上你看到了什么？生：有5个小朋友在浇花，走了2个，剩下3个师：你真棒!谁再来说一说生：原来有5个小朋友在浇花，走了2个小朋友，还剩下3个小朋友师：很好！你知道怎样列式吗？生：5-2=3教师听了满意地点点头，板书5-2=3接着教学减号及其读法 【教学片段【教学片段2】】出示情境图同上）师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？生：从图中我看到了有5个小朋友在浇花师：第二幅图呢？生：第二幅图中有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友师：你能把两幅图的意思连起来说吗？生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个师：同学们观察得很仔细，也说得很好你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩几个？生（齐）：3个师：对，大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？（教师在行间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。

师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个；从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用同一个算式（学生齐接话：5-2=3）来表示在圆片下板书：5-2=3）生齐读：5减2等于3师：谁来说一说这里的5表示什么？2、3又表示什么呢？……师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什还可以表示什么呢？请同桌互相说一说么呢？请同桌互相说一说生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，还剩3瓶生2：树上有5只小鸟，飞走2只，还剩3只四、四、构建构建数学建模的教学策略　数学建模的教学策略　（一）（一）“数形结合数形结合”建立数模型建立数模型——应用于认数教学　应用于认数教学　　　　　（二）（二）具体操作（实验），建立计算模型、几何形体模型、具体操作（实验），建立计算模型、几何形体模型、单位模型单位模型——应用于计算教学起始课、几何形体教学起始课、应用于计算教学起始课、几何形体教学起始课、单位教学起始课　　单位教学起始课　　（三）（三）借助转化建立数学计算模型、几何形体模型借助转化建立数学计算模型、几何形体模型——应用应用于几何形体面积体积公式的推导；计算课非起始课教学。

于几何形体面积体积公式的推导；计算课非起始课教学　　　　　　（四）（四）通过通过“创设情境创设情境”变变“事理事理”为为“数理数理”，构建数学，构建数学模型——应用于应用题教学、简便算法教学　应用于应用题教学、简便算法教学　　　（五）画线段图建立数量关系模型（五）画线段图建立数量关系模型——应用于应用题教学　应用于应用题教学　 （一）（一）“数形结合数形结合”建立数模型建立数模型——应用于认数教学应用于认数教学　　　　案例：认识数5　　1、认识、认识5　　出示主题画，引导学生认真观察图　　提问：“这幅图画的是什么？”　　指图数一数　　教师提问：“谁能拿出5根小棒？”　　　学生摆五边形　　摆好以后，让学生数一数所摆图形一共有几条边　　2、教学、教学5以内数的顺序　　以内数的顺序　　教师在计数器上先拨4个珠子，再拨一个问：“一共是几个珠子？”然后让大家一起数一遍　　让学生摆4个○，再摆一个○请一个同学数，一共有几个○？然后教师说明4添上1就得到5　　让学生摆4根小棒（横着摆，每两根连接起来），再摆一根，一共是几根？　　　　3、说出生活中有哪些数量是、说出生活中有哪些数量是5的物体？的物体？　4、教学、教学5的组成。

　　的组成　　学生拿出5根小棒，把它摆成两堆　 （二）具体操作（实验），建立计算模型、几何形体模型、单位模型（二）具体操作（实验），建立计算模型、几何形体模型、单位模型—— 应用于计算教学起始课、几何形体教学起始课、单位教学起始课应用于计算教学起始课、几何形体教学起始课、单位教学起始课　　　　案例：体积和体积单位　　我们学习了长度和长度单位，面积和面积单位．今天我们要学习一个新概念：体积和体积单位．（板书课题：体积和体积单位）　　　　　1、、教师教师演示实验：演示实验： 　　　　第一步：出示有水的玻璃杯，在水面处做一个红色记号．　　　　第二步：在水杯中放入一块石头，在水面处做一个黄色记号．　　　　第三步：拿出石块后，再放入一大些的石块，在水面处做绿色记号．　　　　观察思考：在水杯中两次放入大小不同的石块，有什么现象发生？为什么会出现这　　　　个现象，说明什么？　　　　汇报归纳：水杯中放入石块后，石块占据了空间，把水向上挤，水面向上升．　　　　石块大占据空间大，水面上升得高；　　　　石块小占据空间小，水面上升得低．　　 2、学生分组实验、学生分组实验．　　　实验方法： 　　　第一步：拿出装满细沙的杯子，把细沙倒在一边．　　　第二步：把一木块放入杯子里，再把倒出的沙装回杯子里．　　　第三步：把杯中细沙倒出，把一大些的木块放入杯子里，再把倒出的沙装回杯子里．　　　　观察思考：出现了什么结果？这说明了什么？ 　　　汇报归纳：放入大木块，外边剩的沙多；放人小木块外边剩的沙少．　　　这说明木块也占据了杯子的空间．木块大占据空间大，木块小占据空间小．　　　　 3、总结两次实验结果．、总结两次实验结果．　　教师提问：以上的两个实验说明了什么？　　学生归纳：物体都占据空间，物体大占据空间大，物体小占据空间小．　　教师明确：把物体所占空间的大小叫做物体的体积．（板书）　　 （三）借助转化建立数学计算模型、几何形体模型（三）借助转化建立数学计算模型、几何形体模型——应用应用于几何形体面积体积公式的推导；计算课非起始课教学。

于几何形体面积体积公式的推导；计算课非起始课教学　　　　案例：梯形的面积　　1、导入新课　　A、提问：我们学习过哪几种平面图形的面积计算？计算公式分别是什么？　　B、你能说出平行四边形的面积公式是如何推导的吗？三角形的面积公式呢？　　C、创设情境：　　投影显示：　　启发谈话：同学们能依照平行四边形和三角形面积的方法，把梯形也转化成已学过的图形，计算出它的面积吗？（板书课题）　　2、新课展开　　A、操作探索　　⑴拼一拼，让学生拿出自己准备的两个完全一样的梯形动手拼一拼　　提问：你拼成了什么图形，怎样拼的？演示一遍　　⑵看一看，观察拼成的平行四边形　　提问：你发现拼成的平行四边形和梯形之间的关系了吗？　　出示：拼成的平行四边形的底等于（     ），平行四边形的高等于（　　），每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的（      ）　　⑶想一想：梯形的面积怎样计算？　　学生讨论，指名回答，师板书　　梯形的面积=（上底+下底）×高÷2　　 （四）通过（四）通过“创设情境创设情境”变变“事理事理”为为“数理数理”，构建数，构建数学模型——应用于应用题教学、简便算法教学应用于应用题教学、简便算法教学。

　　　　案例：教学323+198  323-198这样的速算时，学生很难掌握算理，建立数学模型主要困难是：“323+198=323+200-2”中，原来是用加法计算，为什么要减2,？在“323-198=323-200+2”中原来是用减法计算，为什么要加2？学生对于“多加要减”和“多减要加”不理解其实，这类题目有一个合适的生活原型，即实际生活中收付钱款时的“付整找零”活动将生活中的原型，构建成数学模型，水到渠成的将“事理”上升为“数理”五）画线段图建立数量关系模型（五）画线段图建立数量关系模型——应用于应用题教学应用于应用题教学　　　　          画线段图可以把问题的内容具体化、形象化，对于我们理解题意，分析数量关系，理清解题思路，十分有益五、建构数学模型需要注意的问题五、建构数学模型需要注意的问题1、建构的数学模型要能有效的提高学生的思维能力建构的数学模型要能有效的提高学生的思维能力2、建构的数学模型要能激发学生学习数学的兴趣以及应用数、建构的数学模型要能激发学生学习数学的兴趣以及应用数      学解决生活中一些实际问题的意识学解决生活中一些实际问题的意识3、建立数学模型应该让学生大胆的去猜想，在直观的事例中、建立数学模型应该让学生大胆的去猜想，在直观的事例中     进行具体地分析。

进行具体地分析4、建构数学模型应该让学生在许多直观或贴近生活的实例中、建构数学模型应该让学生在许多直观或贴近生活的实例中     进行有效地综合比较进行有效地综合比较5、建构数学模型应该让学生从具体的实例中抽象出它们所具、建构数学模型应该让学生从具体的实例中抽象出它们所具     有的共性，再用数学的语言或符号等进行概括有的共性，再用数学的语言或符号等进行概括6、建构数学模型应该关注学生已有的建模经验，引导学生逐、建构数学模型应该关注学生已有的建模经验，引导学生逐     步学会科学规范建立数学模式步学会科学规范建立数学模式1、建构的数学模型要能有效的提高学生的思维能力、建构的数学模型要能有效的提高学生的思维能力             数学模型的一个重要特点就在于其所具有的抽象数学模型的一个重要特点就在于其所具有的抽象性例如表示一节装满货物的车厢，用一个有既定性例如表示一节装满货物的车厢，用一个有既定比例的长方体表示就足够了长方体可以算得上是比例的长方体表示就足够了长方体可以算得上是车厢的抽象化舍弃了这个车厢内部的具体形状、大车厢的抽象化舍弃了这个车厢内部的具体形状、大小、所装货物等非本质属性，只保留了车厢的相对小、所装货物等非本质属性，只保留了车厢的相对大小这一本质属性。

由此可见，数学模型化是一种大小这一本质属性由此可见，数学模型化是一种意识、一种主观倾向，它的形成过程实质上就是学意识、一种主观倾向，它的形成过程实质上就是学生个体思维强度和广度的提高过程而它的实现则生个体思维强度和广度的提高过程而它的实现则依赖于主体对客体的认知水平，对知识的领悟能力，依赖于主体对客体的认知水平，对知识的领悟能力，并引出个体的思维深刻度、广阔性和灵活性并引出个体的思维深刻度、广阔性和灵活性2、建构的数学模型要能激发学生学习数学的兴趣及应用数学、建构的数学模型要能激发学生学习数学的兴趣及应用数学解决生活中一些实际问题的意识解决生活中一些实际问题的意识       由于数学模型形成的背景十分丰富，因此，在具体的教学过程中，要由于数学模型形成的背景十分丰富，因此，在具体的教学过程中，要给于较大的自由度，这样才能够较好地照顾到学生的学习兴趣（例如选择给于较大的自由度，这样才能够较好地照顾到学生的学习兴趣（例如选择一些来源于生活的实例）如教学一些来源于生活的实例）如教学“小数乘法小数乘法”一课时，教师可以选择安排一课时，教师可以选择安排学生在超市中购物的现实情景，超市中有许多学生感兴趣的琳琅满目的商学生在超市中购物的现实情景，超市中有许多学生感兴趣的琳琅满目的商品，让学生按照各种要求在超市中进行购物，比如班级开展联欢会，要给品，让学生按照各种要求在超市中进行购物，比如班级开展联欢会，要给每位同学准备一些食物、奖品等，让他们先自由分组，再在小组中展开广每位同学准备一些食物、奖品等，让他们先自由分组，再在小组中展开广泛地讨论初步得出采购的内容和数量，再进行分工开始购买商品，最后算泛地讨论初步得出采购的内容和数量，再进行分工开始购买商品，最后算一算每种商品的价钱以及购物的总价。

不仅使学生在轻松愉快地活动中掌一算每种商品的价钱以及购物的总价不仅使学生在轻松愉快地活动中掌握了小数乘法同时也复习了加法的相关知识，更使得学生进一步地体会到握了小数乘法同时也复习了加法的相关知识，更使得学生进一步地体会到数学来源于生活的道理除此之外还要通过激发学生的认知内驱力来形成数学来源于生活的道理除此之外还要通过激发学生的认知内驱力来形成他们的学习动机（例如选择一些能够激发学生产生认知冲突的例子）他们的学习动机（例如选择一些能够激发学生产生认知冲突的例子）根根据现代认知心理学，学生学习动机的出现，在其年龄较小时，好奇与兴趣据现代认知心理学，学生学习动机的出现，在其年龄较小时，好奇与兴趣占有很大比重，而随着年龄增大，认知内驱力则逐渐扮演了重要角色因占有很大比重，而随着年龄增大，认知内驱力则逐渐扮演了重要角色因此，模型的建构要可以很方便地应用到数学以外的世界，以培养学生应用此，模型的建构要可以很方便地应用到数学以外的世界，以培养学生应用数学的意识数学的意识3、建立数学模型应该让学生大胆的去猜想，在直观、建立数学模型应该让学生大胆的去猜想，在直观的事例中进行具体地分析的事例中进行具体地分析。

                猜想是一种带有一定直觉性的比较高级的思维方式，对猜想是一种带有一定直觉性的比较高级的思维方式，对于探索或发现性学习来说，猜想是一种非常重要的思维方法于探索或发现性学习来说，猜想是一种非常重要的思维方法在教学生一些数学定理之前，我们不妨可以让他们根据已有在教学生一些数学定理之前，我们不妨可以让他们根据已有的知识大胆地去猜想一下这个定理例如：学生在掌握了长的知识大胆地去猜想一下这个定理例如：学生在掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形等平面图形面积计算的方形、正方形、平行四边形、三角形等平面图形面积计算的推导过程以及计算方法之后，在教学梯形的面积计算时，则推导过程以及计算方法之后，在教学梯形的面积计算时，则可以让学生大胆地猜想一下它的面积计算可能会和谁有关，可以让学生大胆地猜想一下它的面积计算可能会和谁有关，根据以往所学的知识，学生应该会想到转化的数学思想，推根据以往所学的知识，学生应该会想到转化的数学思想，推测出可能会与平行四边形的面积计算有关，再让学生从教师测出可能会与平行四边形的面积计算有关，再让学生从教师所提供的各种各样的梯形材料中进行研究，从直观的图形中所提供的各种各样的梯形材料中进行研究，从直观的图形中开展具体地分析，从而找出其内在的联系与规律，最终得出开展具体地分析，从而找出其内在的联系与规律，最终得出结论。

结论4、建构数学模型应该让学生在许多直观或贴近生活、建构数学模型应该让学生在许多直观或贴近生活的实例中进行有效地综合比较的实例中进行有效地综合比较               综合是指学生在学习的过程中将数学现象、数学实例的综合是指学生在学习的过程中将数学现象、数学实例的分析情况进行整理组合，从而形成对这一类数学知识的总体认分析情况进行整理组合，从而形成对这一类数学知识的总体认识比较是对有关的数学现象、数学实例，区别它们的相同之识比较是对有关的数学现象、数学实例，区别它们的相同之处和不同之处处和不同之处数学中的比较是多方面的，包括多少与大小的数学中的比较是多方面的，包括多少与大小的比较，相同与不同的比较，结构与关系的比较，定律与性质的比较，相同与不同的比较，结构与关系的比较，定律与性质的比较等比较的目的是认识事物的联系与区别，明确彼此之间比较等比较的目的是认识事物的联系与区别，明确彼此之间存在的同一性与相似性，一边解释其背后的共同模型存在的同一性与相似性，一边解释其背后的共同模型例如：例如：在教学《生活中的百分率》，教师先由死海的含盐率引出，在在教学《生活中的百分率》，教师先由死海的含盐率引出，在给出许多相关的实例，比如：出勤率、合格率、成活率、及格给出许多相关的实例，比如：出勤率、合格率、成活率、及格率、发芽率、出粉率等等之后，学生通过综合得出以上这些都率、发芽率、出粉率等等之后，学生通过综合得出以上这些都是生活中的百分率，都是求部分量占总量的百分之几。

再通过是生活中的百分率，都是求部分量占总量的百分之几再通过比较得出虽然都是百分率，也各有各的不同，含盐率是指盐的比较得出虽然都是百分率，也各有各的不同，含盐率是指盐的重量占盐水重量的百分之几，而出勤率则是指实际出勤的人数重量占盐水重量的百分之几，而出勤率则是指实际出勤的人数占应出勤总人数的百分之几占应出勤总人数的百分之几5 5、建构数学模型应该让学生从具体的实例中抽、建构数学模型应该让学生从具体的实例中抽象出它们所具有的共性，再用数学的语言或符号等象出它们所具有的共性，再用数学的语言或符号等进行概括进行概括 抽象是从许多数学实例或数学现象中，发现其抽象是从许多数学实例或数学现象中，发现其共同的本质特点而概括则是把抽象出来的共同点共同的本质特点而概括则是把抽象出来的共同点用数学的语言或符号等形式进行归纳和总结例如：用数学的语言或符号等形式进行归纳和总结例如：在教学分数与除法之间的关系，通过大量的实例使在教学分数与除法之间的关系，通过大量的实例使学生从中抽象出它们的共性，最终用数学符号概括学生从中抽象出它们的共性，最终用数学符号概括出：出： a a ÷÷b= (b ≠0)b= (b ≠0)的结论的结论。

ab6、建构数学模型应该关注学生已有的建模经验，引导学生、建构数学模型应该关注学生已有的建模经验，引导学生逐步学会科学规范建立数学模式逐步学会科学规范建立数学模式                       回想我们的日常教学不难发现我们的学生已经有数学建模的思想或回想我们的日常教学不难发现我们的学生已经有数学建模的思想或意识，只不过没有从理论的角度把它概括出来而已意识，只不过没有从理论的角度把它概括出来而已       例如，在以往教学求比一个数多几的应用题时，经常碰到这样一个例如，在以往教学求比一个数多几的应用题时，经常碰到这样一个例题例题“小明家养了小明家养了6只公鸡，养的母鸡只数比公鸡多只公鸡，养的母鸡只数比公鸡多3 只，母鸡有几只？只，母鸡有几只？”在教学此例时老师们都是采用让学生摆、说等教学活动来帮助学生分析在教学此例时老师们都是采用让学生摆、说等教学活动来帮助学生分析数量关系，理解数量关系，理解“同样多的部分同样多的部分”，但教学效果并没有我们老师想象的那，但教学效果并没有我们老师想象的那么好，一般同学们在解释数量关系式么好，一般同学们在解释数量关系式6+3=9时，母鸡和公鸡是不分的，时，母鸡和公鸡是不分的，极大部分学生都会说极大部分学生都会说6只公鸡加只公鸡加3只母鸡等于只母鸡等于9只母鸡。

为什么学生不会只母鸡为什么学生不会用用“同样多的部分同样多的部分”去描述母鸡的只数，其原因是十分明显的，那就是学去描述母鸡的只数，其原因是十分明显的，那就是学生在操作时头脑中已经对现实问题进行简化，并建立了一个有关母鸡只生在操作时头脑中已经对现实问题进行简化，并建立了一个有关母鸡只数求法的数学模型，这个模型显然是一种叠加模型，即数求法的数学模型，这个模型显然是一种叠加模型，即6+3=9（只），（只），而而6表示什么在模型中已经是无关紧要，因为实际问题最终要解决的是数表示什么在模型中已经是无关紧要，因为实际问题最终要解决的是数量问题       从以上这个教学实例至少可以说明两点；其一，小学生在解决实际从以上这个教学实例至少可以说明两点；其一，小学生在解决实际问题时有他自己的数学模型，有他自圆其说的解读数学模型的方法，因问题时有他自己的数学模型，有他自圆其说的解读数学模型的方法，因此，小学生也有数学建模能力此，小学生也有数学建模能力 其二，当学生的数学模型一旦建立了以其二，当学生的数学模型一旦建立了以后，即使他的模型是不合理或不规范的，但外人很难改变他的模型结构后，即使他的模型是不合理或不规范的，但外人很难改变他的模型结构。

六、建构模型常用的数学学习方法六、建构模型常用的数学学习方法 学生学习数学模型大概有两种情况：第一种是基本模型的学习，第一种是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的新知识，这个学习过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的理解过程；第二种是利用基本模型去解决各种问题，第二种是利用基本模型去解决各种问题，即利用学习的基本知识解决教材中丰富多彩的习题以及各种课外问题建构数学模型的三种常用的学习方法建构数学模型的三种常用的学习方法1、、数学表示数学表示      2、、数学等价数学等价     3、、数学同构数学同构（（一一））数学表示：就是用数字、符号来表示数学内容数学表示：就是用数字、符号来表示数学内容                   数家族：数家族： 1 1、数字：、数字：1 1、、2 2、、3 3、、4 4、、5 5、、6 6、、7 7、、8 8、、9 9、、0 0 2 2、运算符号：、运算符号：+ - + - ×× ÷÷ { } [ ] { } [ ] （（ ）） 3 3、关系符号：、关系符号： = < > ≈= < > ≈ 4 4、、计数数单位：个、十、百、千、万、十万、百万、千万位：个、十、百、千、万、十万、百万、千万…… 5 5、度量、度量单位：位：时间单位位( (时、分、秒、年、月、日、分、秒、年、月、日……) )、、 货币单位（元角分）位（元角分） 重量重量单位（克、千克、吨）位（克、千克、吨） 长度度单位（千米、米、分米、厘米位（千米、米、分米、厘米……）） 面面积单位（平方千米、公位（平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米）、平方米、平方分米、平方厘米） 体体积单位（立方米、立方分米、立方厘米）位（立方米、立方分米、立方厘米） 6 6、特定的字母符号：、特定的字母符号：S = V t S = V t 1 1、点：、点：顶点、交点点、交点……（可以用字母表示）（可以用字母表示）2 2、、线：底（：底（a a）、高（）、高（h h）、上底（）、上底（a a）、下底（）、下底（b b））3 3、面：、面： 4 4、体：、体：形家族形家族：：（二）数学等价（二）数学等价        数学等价实质就是一一对应的转换，它包括数家族之间的一一对应，同时还数学等价实质就是一一对应的转换，它包括数家族之间的一一对应，同时还有数和形家族相互之间转换，这种转换的形式是多方面的。

有数和形家族相互之间转换，这种转换的形式是多方面的1、各种数量关系式：速度、各种数量关系式：速度×时间时间=路程路程      单价单价×数量数量=总价总价                                   部分部分+部分部分=整体整体      小数小数+差差=大数大数                                   被减数被减数-减数减数=差差        ……    2、度量单位关系式：、度量单位关系式：1元元=10角角    1角角=10分分                                   1平方米平方米=100平方分米平方分米    1平方分米平方分米=100平方厘米平方厘米                                   1立方米立方米=1000立方分米立方分米    1立方分米立方分米=1000立方厘米立方厘米                                   1天天=24时时     1时时=60分分                                   1元元=10角角     1元元=10角角                                      ……   ……3、计数单位关系式：一个十、计数单位关系式：一个十 = 10个一个一    一个百一个百 = 10个十个十                                       一个千一个千 = 10个百个百    一个万一个万= 10个千个千                                   ……   ……4、乘除法运算关系式：、乘除法运算关系式：a×b  =  b×a                                      (a×b) ×c=a×(b×c)                                       a÷b÷c = a÷ (b×c)        ……   ……5、商不变关系式：、商不变关系式：a÷b = (a×c)÷(b×c) = (a÷c)÷(b÷c)    (c≠0)6、面积公式：、面积公式： 长方形面积：长方形面积：S＝＝ab     正方形面积正方形面积: S＝＝a2                          圆周长：圆周长：C＝＝2πr       圆面积：圆面积：S＝＝πr2        ……  ……（三）数学同构（三）数学同构        数学是一个逻辑原理合理的概念体系，很多内容的形式虽数学是一个逻辑原理合理的概念体系，很多内容的形式虽然不同，但是它们的结构是完全相同的，这就是数学同构。

然不同，但是它们的结构是完全相同的，这就是数学同构       构建结构图：构建结构图：例如：例如： 加、减、乘、除四则运算：加、减、乘、除四则运算：          1、意义：表示什么意思？含义是什么？、意义：表示什么意思？含义是什么？          2、各种算式的读法、写法及各部分名称各种算式的读法、写法及各部分名称          3、运算的形式、类型运算的形式、类型          4、怎样计算？（计算的方法）、怎样计算？（计算的方法）          5、运算定律、性质、运算定律、性质          6、和其它运算之间有什么关系？、和其它运算之间有什么关系？面面积单位：位：平方千米、公平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方分米、平方厘米、平方亳米、平方米、平方分米、平方分米、平方厘米、平方亳米 100 10000 100 100 100 100 100 10000 100 100 100 100 时间单位时间单位:   1世纪世纪=10年代年代                   1星期星期=7日日   1年代年代=10年年                       1日日=24时时   1年年=4个季度个季度                     1时时=60分分   1季度季度=3个月个月                     1分分=60秒秒   1月月=3旬旬                            秒秒    旬旬如何发展学生的模型思想呢如何发展学生的模型思想呢？？1、、精选问题精选问题——建模的土壤建模的土壤2、、抽象本质抽象本质——建模的关键建模的关键3、、数学思想数学思想——建模的灵魂建模的灵魂4、、变换应用变换应用——建模的延展建模的延展祝各位骨干教师培训期间：祝各位骨干教师培训期间： 收获知识！收获知识！ 收获能力！收获能力！ 收获友谊！收获友谊！ 谢谢！谢谢！小学数学基本思想方法有小学数学基本思想方法有:      归纳推理、演绎推理、对应思想、归纳推理、演绎推理、对应思想、      集合思想、化归思想、代换思想、集合思想、化归思想、代换思想、      转化思想、假设思想、比较思想、转化思想、假设思想、比较思想、      符号思想、类比思想、分类思想、符号思想、类比思想、分类思想、      整体思想、可逆思想、数学模型思想、整体思想、可逆思想、数学模型思想、      统计思想、极限思想、数形结合思想、统计思想、极限思想、数形结合思想、      变中抓不变思想变中抓不变思想……                 《《标准标准》》“课程总目标课程总目标”中明确提出：使学生在参中明确提出：使学生在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展，发展合情推理能力合情推理能力和和演绎推理能力演绎推理能力，清晰的表达自，清晰的表达自己的想法。

己的想法        合情推理主要形式是：归纳推理和类比推理合情推理主要形式是：归纳推理和类比推理         归纳推理：归纳推理：从特殊到一般的推理从特殊到一般的推理过程      演绎推理：演绎推理：从一般到特殊从一般到特殊的的推理推理过程                   史宁中教授认为：史宁中教授认为：       演绎推理演绎推理的主要功能在于验证结论，而不的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论在于发现结论      我们缺少的是根据情况我们缺少的是根据情况“预测结果预测结果”的能力；的能力；根据结果根据结果“探究成因探究成因”的能力而这正是的能力而这正是归纳推归纳推理理的能力                   。