三大抽样分布及常用统计量的分布.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即,2,分布,t,分布,F,分布,数理统计的三大分布,(,都是连续型,),.,它们都与正态分布有密切的联系.,！,在本章中特别要求掌握对正态分布,、,2,分布,、,t,分布,、,F,分布,的一些结论的熟练运用.,它们是后面各章的基础.,第四节 三大抽样分布及常用统计量的分布,（卡方）分布,定义1:设总体 ，是 的一个样本,则统计量,的概率,密,密度函,数,数为,则称统计量 服从自由度为n的 分布，,记作,0 1 3 5 7 9,11 13 15 17,x,0.50.40.30.20.1,n,=1,n,=4,n,=10,图5-4,f,(,y,),其图形,随,随自由,度,度的不,同,同而有,所,所改变.,分布密度函数的图形,注：自由度是指独立随机变量的个数，,性质1：2分布的,数,数学期,望,望与方,差,差,设,2,2,(n),，则,E(,2,)=n,，,D(,2,)=2n.,性质2：2分布的,可,可加性,设,且,相互独立,，,则,定理1,设,(,X,1,，,X,2,，,，,X,n,),为取自正态总体,X,N,(,，,2,),的样本，则,证明,由已知,，,，有,X,i,N(,，,2,),且,X1,，,X2,，,，,X,n,相互独,立,立，,则,且各,相互独立，,由定义1:得,定理3:设,(X1,，,X2,，,，,X,n,),为来自,正,正态总,体,体,XN(,，,2,),的样本,，,，则,(1)样本均值 与样本方差,S,2,相互独立；,(2),(4.1),(4.1)式的自,由,由度为,什,什么是,n,-1,？,从表面,上,上看，,是,n,个正态随机变量,的平方和，,但实际,上,上它们,不,不是独,立,立的，,它们之,间,间有一,种,种线性,约,约束关,系,系：,=0,这表明,，,，当这,个,个,n,个正态,随,随机变,量,量中有,n,-1,个取值,给,给定时,，,，剩下,的,的一个,的,的取值,就,就跟着,唯,唯一确,定,定了，,故,故在这,n,项平方,和,和中只,有,有,n,-1,项是独,立,立的.所以,(4.1),式的自,由,由度是,n,-1.,定理3：设,(X1,，,X2,，,，,X,n,),为来自,正,正态总,体,体,XN(,，,2,),的样本,，,，则,(1)样本均值 与样本方差,S,2,相互独立；,(2),(4.1),与以下,补,补充性,质,质的结,论,论比较,：,：,性质,设,(,X,1,，,X,2,，,，,X,n,),为取自正态总体,X,N,(,，,2,),的样本，则,其几何,意,意义见,图,图5-5所示.,其中,f,(,x,),是,2,-分布的,概,概率密,度,度.,f,(,x,),x,O,图5-5,显然，在自由度,n,取定以后，的值只与,有关.,2分布的上侧分,位,位点,例如，,当,当,n,=,21,，,=,0.05,时，由,附,附表3(,P254,)可查得,，,，,32.67,即,二、t分布,定义3,设随机,变,变量,XN(0,，,1),，,Y,2,(,n,),，且,X,与,Y,相互独,立,立，则,称,称统计,量,量,服从自,由,由度为,n,的,t,分布，,记作,t,分布的,概,概率密,度,度函数,为,为,T,t,(n).,其图形,如,如图5-6所示,(P106),，,其形状类,似,似标准,正,正态分,布,布的概率,密,密度的,图,图形.,当,n,较大时,，,，t分布近,似,似于标,准,准正态,分,分布.,定理4,设,(X1,，,X2,，,，,X,n,),为来自,正,正态总,体,体,XN(,，,2,),的样本,，,，则统,计,计量,证,由于,与,S,2,相互独立，且,由定义3得,定理5,设,(X1,，,X2,，,，,X,n1,),和,(Y1,，,Y2,，,，,Y,n2,),分别是,来,来自正,态,态总体,N(,1,，,2,),和,N(,2,，,2,),的样本，,且,且它们,相,相互独,立,立，则,统,统计量,其中,、,分别为,两,两总体,的,的样本,方,方差.,t分布的上侧分,位,位点,对于给,定,定的,(0,45,时，如,无,无详细,表,表格可,查,查，可,以,以用标,准,准正态,分,分布代,替,替,t,分布查,t(n),的值.,即,t(n)u,，,n,45.,一般的,t,分布临,界,界值表,中,中，详,列,列至,n=,30,，当,n,30,就用标,准,准正态,分,分布,N(0,1),来近似.,三、F分布,服从第,一,一自由,度,度为,n1,，第二,自,自由度,为,为,n2,的,F,分布，,定义5.5,设随机变量,X,2,(,n,1,),、,Y,2,(,n,2,),，且,与相互独立，则称随机变量,记作,F,F,(,n,1,，,n,2,),.,概率密,度,度函数,其中,其图形,见,见图5-9,.,.,(P108),性质,：若,X,F,(,n,1,，,n,2,),，则,F,(,n,2,，,n,1,),.,F,分布的,上,上侧,分位点,对于给,定,定的,(0,=0,.,.1,求,.,解,因为,n=,10，,n-,1,=,9,，,2=,4,2，,所以,2,(9),.,.,又,P,S,2=,=,0.1，,所以,查表,14.684,.,.,故,14.684x,26,.,.105,。