三角函数盲点分析.doc

二角教学盲占分析1、把三角公式看成普通意义上矗恒等式三角公式是在特定条件下成立的等式三角问题在通过三角公式变形或化简 后，很可能使原问题的角的范围发生改变，从而导致解题错误例I划分函数尸誅的单调区间分析 一般来说，研究三角函数性质，先化简三角表达式，然后再分析其 性质，本题可利用万能公式把原函数化为）u丄sin2% ,然后得到递增区间• 2+ ,递减区间［S + Zm + 丸］,（也z）,事实上由于原函数中伙；T +彳，匕7T +手］，（展4 4 4 4兀工«兀+壬，伙W Z）,2那么递减区间应该为呦+彳,如却及Z）例2判断函数/（切=上沁±沁的奇偶性1 + cos X + sin x分析三角函数奇偶性判断通常有两种方法，一是利用函数奇偶性定义；二 是通过变形结合简单的奇偶性來判定，本题如果采用变1 丄• 2 sin2 — + 2 sin — cos —形：/（x） = C0S Sin A = 2 2— =堆壬,那么便会得出/（力是奇1 + cosx + sinx 2曲兰+ 2sin 兰 cos 兰 22 2 2函数的错误结论，事实上原函数的定义域关于原点不对称，如x =-是定义域中2的值，而x = -~却不在定义域中，所以原函数是菲奇菲偶函数。

22、重公式轻角度三角运算会碰到大量的运算技巧，如化异为同，降高为低，引进辅助角，和 差配凑，万能变换等，有时述采用公式的逆用变形等手段，可以说对三角公式 的研究无以复加，但在教学中乂会经常碰到一些新颖，乂不知从何入手，问题的 关键在于缺乏对问题中角与角关系的研究例 1 证明 cos 26r + 6sin2 — - 8sin4 — = cos a2 2分析 问题的证明从左向右的话，那么我们可以看到左边的角是2^-形2 式，而右边的角为a形式，因此只要把左边角也变成a,问题便可以轻易解决左 — (2 cos 厶 a — 1) + 3(1 — cos(X) — 2(1 — cos* oCy — 2 cos?(X—1 + 3-3 cos oc—2 +4coscr-2cos2 cr = cos= 例 2 化简函数 f(x) = cos2x-2cosxcos6acos(x + cir) + cos2(x+a)分析 三角函数化简一般要求三角函数种数少，次数低，但更重耍的是角的 形式越少越好，因为三角函数的化简通常是为了研究三角函数的性质，而研究三 角函数的性质，如果角的形式是多样的话，将无从入手，就本题来说，角的形式 有九。

兀+"三种，其中兀与兀+"各出现两次，所以在实施化简时，可以尽量使 角的形式统一到兀或X+Q中，当然，随着化简的进行，角的统一对象也要时刻分 析变化，但宗旨不变，即角的形式尽量少，本题按如下化简：/(x) = cos2 x-2 cos a cos ax cos(x + q) + cos2 (x+a) = cos2x-[cos(x+a) + cos(x-a)]cos(x+a)+cos2(x+a)(角以 x+a 为统一对象)二cos? x-cos(x + a) + cos(x-6r) = *+ C^S"~A -(cos2x+cos2a)(角以 2x 为统一)= =sirr a(吊数)2例 3 已知 a,0 为锐角，且 3sin2 + 2sin2 f3 = 1,3sin 2^z-2sin 2/? = 0,求q + 2/?6勺值 分析所求角为a + 20之和，条件中的角能否变成a + 20形式，成为问题的关键，由己知可得:「3sin26Z = l-2sin2^-6sinacosa = 2sin20r 3sin2= cos2/7 I 3sinacosa = sin2/?JI下式+上式得ct^ = tg2/3^t^--a) = tg20又已知q,0为锐角，则为锐 角，那么20也为锐角，从而有E_a = 2/3得a + 20 = ®。

2 ' 23.三角函数是“多对一”函数由于函数是“多对一，的，在解题时要注意对称性和周期性，尤其在采用换元思想解题时 更要注意例 如关于X的方程sin2x--sinx + ^ = 0在［0,龙］上有两个不同的解，求实数a的 2取值范围分析 若令t=sinx,则tre ［0,1 ］原方程变为尸一丄/ + a = 0,其中te ［0,1］,如果不注 意正弦函数“多对一“的特性，误以为方程+ = 0关于t在［0,1］有两个不同的解, 将使原方程在［0,龙］上不止两个不同解，因为当sinx = r, te(0,1)时，在xg ［0,^］的条 件下有两个不同x与之对应，所以题设问题实际上是方程t2-^t + a = 0在(0,,1)上有唯一解请读者自己验证t=o或t=i作为解是不可能的)设f(t) = t2-^a那么△=占-4° = 0酚(0)・/(1)<0,即a~~~或g(* + g)vO,所以.*vavO4.把三角函数问题独立化从三角函数的产生和发展来看，他绝不是一个独立的问题，儿何学都有着密切的联系， 三角问题的应用已远远超出了三角本身，既有三角知识解决其他问题(如三角换元)又 有其他知识界三角问题(常见考点)，在数学中要重视例1求函数f\x) = Sinx~2的值域cosx + 3分析 虽然解本题方法很多，但作为三角与解析儿何相结合的重要形式，为了丰 富数学手段和提高学生解题能力，我们可采用“数形结合“的方法來解本体。

有同角三 角函数关系sin2 a + cos2 a = 1知点；(cos sin a)在单位圆+ y2 = 1上，设点A(cos«,sin«), 那么/(x)即表示A ,B两点所在直线的斜率，如图I, /(A-)的值域即\kL , kL」(其中厶］，厶2为过B点圆的切线)，设L； y-2=k ( x + 3 )I ■即 kx - y + 3k + 2 =()由圆的切线性质知,3k + 2J/ =1-3 + V34/(训J值域为：孝|,兰3例2 已知 0 VG V0 v/r,且 cosa + cos0-cos(Q + 0) = f ,求 的值分析 三角公式或三角条件等式本生就是一个等量关系，是角度为变量，即可理解为 普通意义上的方程，其解题方法可借用方程思想，本题看似无从下手但由方程思想知， 从常规来说，求变量值应该是方程个数与变量个数相等，那么本题一个方程两个变量， 可以肯定在条件方程中还隐含着等量关系，换句话说，从已知方程中寻找隐含方程成为 问题的关键所在，具体解放如下；cos a + cos 卩 - cos(a + 0)=丄得2cos" + “cos —— - 2 cos2 " + " -1 2， 2 2 \ 2SnA ° a + 0 (X — p Q + 0即4 cos「 一 4 cos cos + 1 = 02 2 2把 cos 30 看 整 体 元 素， 则2A = 16cos—~ -16 > 0, => cos2 —~ > 1 => cos2 - \ 又 由2 2 20<5,0<05可得号<¥<务知cos呼=1 = "0代入（1）式得4cos2 q-4cosq + 1 = 0,n cosq = —n a =匹，又得0 =—2 3 3三角函数数学盲点因人而异，以上儿点是笔者多年教学中的一些心得，供读者朋友参 考。