抽象函数的单调性和奇偶性.doc

抽象函数的单调性和奇偶性抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1.判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解例1.如果奇函数f(x)在区间［3,7］上是增函数且有最小值为5,那么f(x)在区间［—7，—3］上是A.增函数且最小值为€5B.增函数且最大值为€5C.减函数且最小值为€5D.减函数且最大值为€5分析：画出满足题意的示意图，易知选B例2.偶函数f(x)在(0，+,)上是减函数，问f(x)在(€,，0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论分析：如图所示，易知f(x)在(-，，0)上是增函数，证明如下:任取x-x…01212因为f(x)在(0，+，)上是减函数，所以f(-x)

122.判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f(x)与f(-x)的关系例3.若函数y=f(x)(f(x)丰0)与y=-f(x)的图象关于原点对称，判断：函数y=f(x)是什么函数解：设y€/(x)图象上任意一点为P(x0,y0)€•y€f(x)与y€-f(x)的图象关于原点对称,•••P(x0，y0)关于原点的对称点(-x0，-y0)在y€-f(x)的图象上,・,一y€-f(一x)00，y€f(-x)00又yo€f(%)•••f(-x0)€f(x0)即对于函数定义域上的任意x都有f(-x)€f(x)，所以y€f(x)是偶函数二、证明单调性和奇偶性1.证明单调性g(x)—1例4.已知函数f(x)=，且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)〉O,g(l)=2,g(x)是g(x)+1增函数.g(m)•g(n)=g(m+n)(m、nWR)求证：f(x)是R上的增函数解:设x>x12g(x)是R上的增函数，且g(x)>0••g(x1)〉g(x2)〉012g(x1)+1〉g(x2)+1〉022>-g(x)+1g(x)+12122g(x)+1g(x)+121f(x1)-f(x2)=g(x)—11g(x)+11g(x?)-1g(x)+1222=1—-(1g(x)+1g(x)+11222—>0g(x)+1g(x)+1f(x1)>f(x2)f(x)是R上的增函数例5.已知f(x)对一切x,y,满足f(0)丰0,f(x,y)二f(x)„f(y)，且当x…0时,f(x)>1,求证：(1)x>0时，0…f(x)…1；(2)f(x)在R上为减函数。

证明：对一切x，ygR有f(x+y)=f(x)„f(y)且f(0)丰0，令x二y二0，得f(0)=1，现设x>0，贝y—x…0，f(-x)>1，而f(0)=f(x)„f(-x)=1>1设x，xgR且x…x，1212贝0…f(x-x)…1，21f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-和„f(x1)…f(x1)€f(x1)>f(x2)即f(x)为减函数2.证明奇偶性例6.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y)，求证：f(x)是偶函数分析：在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x二y二1,得f(1)=f(1)+f(1)nf(1)=0令x二y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)nf(-1)=0于是f(-x)=f(-1„x)=f(-1)+f(x)=f(x)3故f(x)是偶函数三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用例7.已知f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，且在(0,1)上为增函数，满足/(a一2)-/(4一a2)<0，试确定a的取值范围。

解：€f(X)是偶函数，且在(0,1)上是增函数，，f(X)在(-1，0)上是减函数，［—1a2—4解之得，*3

例9.已知函数f(x)对任意x,y€R有f(x)+f(y)=2+f(x+y),当x>0时,f(x)>2，f⑶=5，求不等式f(a2-2a-2)<3的解集解：设x、x€R且x0212，21即f(x—x)—2>0,21—x)+x]=f(x2-A)+f(叩一2>f(T•••f(x2)>f(叩故f(x)为增函数，又f(3)€f(2+1)€f(2)+f(1)—2€3f(1)—4€5•••f(1)€3f(a2一2a一2)„3=f(1),即a2—2a—2„1•・—1„a„3因此不等式f(a2-2a-2)„3的解集为｛al-l„a„3)o2.讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号例10.已知函数f(x)是定义在1］上的减函数，且对一切实数x,不等式f(k-sinx)>f(k2-sin2x)恒成立，求k的值分析：由单调性，脱去函数记号，得厂k2一sin2x<1(sinx，—)2(2)由题意知(1)(2)两式对一切xGR恒成立，则有'、k2<(1+sin2x)€1min<119‘“k€，1k2一k+—>(sinx一一)2=—、42max4一五、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

例11.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，x„0时，f(x)是增函数，若x„0，x”0，12且lxl„lxl，则/(-x)，f(-x)的大小关系是1212分析：x„0，x”0且lxl„lxl，121222117€・0<，X

2)设x0，f(X)…1，12212111若X<0时，一X…0,f(，X)…1，由f(0)„f(X)-f(-X)11111f(X2)=f(X2，X1)„f(叩>f(T.€f(X)在R上为增函数3)由f(x2)„f(y2)…f(1)得x2+y2…1(1)由f(ax+by+c)=1得ax+by+c=0(2)从(1)、(2)中消去y得(a2+b2)x2+2acx+c2-b2…0，因为AB=0.€A=(2ac)2一4(a2+b2)(c2一b2)…0,9。