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    《现代分析基础》读书报告16600字    《现代分析基础》读书报告《现代分析基础》读书报告赵海林学习本学期的《现代分析基础》主要包括泛函分析（Functional Analysis）和点集拓扑学（Point Set Topology）有关的知识在学习《现代分析基础》之前，需要有扎实的《实变函数》和《点集拓扑》知识大学期间，曾用一年时间学习过高等教育出版社《实变函数与泛函分析基础》，前半年学习了实变函数，后半年学习了泛函分析基础，而点集拓扑所学甚微，在进入研究生学习阶段，《现代分析基础》作为数学研究生的基础理论课程，是必修学位课本学期学完该门课后的读书报告主要写泛函分析，可能存在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《现代分析基础》的感受和认识该读书报告主要的框架结构：1）了解泛函分析是什么，泛函的发展史；2）把空间的理论知识肤浅的系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用；3）学习泛函分析的实际应用摘要 泛函分析理论是为克服黎曼积分理论的缺陷而创立的新积分理论，Lebsgue积分是黎曼(Riemann)积分的完备化，在数学分析中, Riemann积分的概念与理论是十分重要的一部分.它的威力在数学分析的后续课程———常微分方程、复变函数论、概率论以及力学课程中,已经相当充分地表现出来了.但是Riemann积分有一个很大的缺点,就是Riemann可积函数列的极限并不一定是可积的,或者说Riemann可积函数类对极限运算是不封闭的，所以学习泛函分析具有必要性。

其基础是集合与测度理论，所以也可以称为测度与积分理论它是数学专业特别是将来从事与分析数学有关系的科技工作者的必备工具一、泛函分析的概念以及发展史1、泛函分析的概念所谓的泛函，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是二十世纪三十年代形成的一个数学分支，隶属于分析学从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学其研究的主要对象是函数构成的空间，主要研究无限维空间（具有各种拓扑）的结1 / 19《现代分析基础》读书报告构、它们之间的映射以及映射的微积分另外，也研究各种子集的解析结构、几何结构和拓扑结构泛函分析是一门综合性很高的数学分支,在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具 它的诞生和发展受到数学的抽象化、公理化以及量子物理的推动由于它的高度抽象化, 其概念和方法广泛地渗透和应用到数学的各个分支以及自然科学和技术科学经典的泛函分析综合运用函数论、几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数， 算子和极限理论。

它可以看作数学分析、高等代数和解析几何到无限维向量空间的推广，被认为是无限维空间上的数学分析和高等代数的综合Banach是经典泛函分析理论的一个主要奠基人; 数学家、物理学家Volterra对泛函分析的广泛应用有重要贡献现代泛函分析已演变成一个庞大的数学体系仅就Hilbert空间上算子的研究而言，其上算子结构和性质的研究形成算子理论、其上由算子生成代数的研究又形成算子代数，就这两个密切相关的研究领域，掌握和了解这两个领域的进展和方法已变得十分困难2、泛函分析的发展史十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段这就是，由于对欧几里德第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。

比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系这里我们先介绍一下算子的概念算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子研究无限维线性空间上的泛函数和算子理2 / 19《现代分析基础》读书报告论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了二、泛函分析的空间理论知识1、度量空间我们在作物理、化学、生物等实验时，通过观察会得到很多值，但总是近似的，这时自然要考虑近似值与准确值的接近程度，反映在数学上这是一个极限问题。

数学分析中定义R中点列xn的极限是x时，我们是用|xn?x|来表示xn和x的接近程度，事实上，|xn?x|可表示为数轴上xn和x这两点间的距离，那么实数集R中点列xn收敛于x也就是指xn和x之间的距离随着n??而趋于0，即limd(xn,x)?0 n??于是人们就想，在一般的点集X中如果也有“距离”，那么在点集X中也可借这一距离来定义极限，而究竟什么是距离呢？1.1度量空间的定义定义1.1设X为一非空集合若存在二元函数d:X?X?R，使得?x,y,z?X，均满足以下三个条件：（1）d(x,y)?0,且d(x,y)?0?x?y（非负性）（2）d(x,y)?d(y,x) （对称性）（3）d(x,z)?d(x,y)?d(y,z) （三角不等式），则称d为X上的一个距离函数，（X,d）为度量空间或距离空间，d(x,y)为x,y两点间的距离注意：若（X,d）为度量空间，Y是X的一个非空子集，则（Y,d）也是一个度量空间，称为（X,d）的子空间我们可以验证：欧式空间Rn，离散度量空间，连续函数空间C[a,b]，有界数列空间l?，p次幂可和的数列空间lp，p次幂可积函数空间Lp[a,b](p?1)，均满足距离空间的性质。

Appendix：p次幂可积函数空间Lp[a,b](p?1)介绍Lp[a,b]?{f(t)| |f(t)|p在[a,b]上L可积}，在Lp[a,b]中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数Lp[a,b]有下列重要性质：（1）对线性运算是封闭的即若f,g?Lp[a,b]，则?f?Lp[a,b],f?g?Lp[a,b]，其中?是常数2）Lp[a,b]?L[a,b](p?1)设f?Lp[a,b]，令A?E(|f|?1)，B?E(|f|?1),E?[a,b]，则?|f|dm??|f|dm??|f|dm aABb??|f|pdm?(b?a) A??|f|dm?(b?a)??? abp3 / 19《现代分析基础》读书报告故f?L(a,b)3）?f,g?Lp[a,b]，定义1p?b?dp(f,g)???|f(t)?g(t)|dm? ?a?则dp是一个距离函数称(Lp[a,b],dp)为p次幂可积函数空间，简记为pLp[a,b]1.2度量空间有重要的定理定理 1 对度量空间(X,d)有（1）任意个开集的并集是开集; 有限个开集的交集是开集;（2）任意个闭集的交集是闭集; 有限个闭集的并集是闭集;（3）X与?既是开集又是闭集.定理 2设(X,d)是度量空间,x0?X,E?X,则x0是E的聚点的充要条件是存在E中点列?xn?(xn?x0),使d(xn,x0)?0(n??).定理 3 设(X,d)是度量空间,E?X,x?E,则下面的三个陈述是等价的: (1) x?E;(2) x的任一邻域中都有E的点;（3）有点列xn?E,使d(xn,x0)?0(n??).定理 4 设(X,d)是度量空间, E是X的非空子集,则E为闭集的充要条件是E??E.定理 5 闭集套定理：设X是完备的，并且非空闭集套F1?F2?F3???? 满足diamFn?supx,y?Fnd(x,y)?0， 则存在唯一的点y?nFn.称X 的一个子集E是疏朗的(也称无处稠的)，如果E的闭包E不含任何开集。

易见一个开集O在X中稠当且仅当O的补集Oc是疏朗的；一个闭集F是疏朗的当且仅当Fc是周密的开集度量空间的一个子集称为第一纲的，如果它能表为可列个疏朗集之并；否则称为第二纲的完备的度量空间享有一个深刻的结构定理－Baire纲定理 定理 6 Baire 纲定理：完备的度量空间是第二纲的在微积分的发展历程中，一个重要问题是讨论函数间断点集的特征读者容易验证定义在闭区间[0,1]上的函数4 / 19《现代分析基础》读书报告1p有理数x?是不可约形式;r(x)?{0x是无理数;1x?0.y?x在有理点是间断的，在无理点是连续的（验证当0?x?1,limr(y)?0.）一个自然的问题是：是否在闭区间 上存在一个函数h使得它在有理点连续，无理点间断注意到[0,1]中的无理数集是第二纲的，下面的命题表明这样的函数是不存在的命题：设X是完备的度量空间， f是[0,1]上的实函数，Cf?{x:f在x点连续｝，若Cf 在X中稠密，那么Df是第 ?{x:f在x点间断｝一纲定理 7 Banach不动点定理：完备度量空间X上的压缩映射A有唯一的不动点, 即存在唯一的x?X满足Ax?x.2、映射的连续性与一致连续定义 2.1 设X，Y是度量空间，f是X到Y的一个映射。

x0?X如果对任何??0，存在??0当?(x,x0)??时，有?(fx,fx0)??则称f在x0连续又若f在X中每一点都有连续，则称f是X上的连续映射若对任何??0，存在???(?)?0，只要x1, x2?X，且d(x1,x2)??，就有?(f(x1),f(x2))??成立，则称f在X上一致连续定理 2.1 设(X,d)，(Y,?)是度量空间，f:X?Y,x0?X,则下列各命题等价1) f在x0连续；(2) 对于fx0的任一邻域B(Tx0,?)，都存在x0的一个邻域B(x0,?)使得f?B(x0,?)??B(Tx0,?)；(3)对于X中的任意点列{xn}，若xn?x0(n??)，则f(xn)?f(x0)(n??)定理 2.2 设(X,d)，(Y,?)是度量空间，f:X?Y则f是连续映射的充分必要条件是，对Y中的任一开集G，其原象f?1(G)??xx?X, f(x)?G}是开集定义 2.25 / 19《现代分析基础》读书报告设(X,d)，(Z,?)是两个度量空间，f:X?X?Z，点 (x0,y0)?X?X，若对任意??0，都存在?(x0,y0,?)?0，使得当(x,y)?X?X，且d(x,x0)??，d(y,y0)??时，恒有?(f(x,y),f(x0,y0)??成立，则称二元映射f在(x0,y0)点是连续的。

若f在X?X上每点都连续，则称f是X?X上点连续二元映射若上述?与点(x0,。