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伯特兰-切比雪夫定理-详解 伯特兰-切比雪夫定理(Bertrand Chebyshev theorem)目录 1 什么是伯特兰-切比雪夫定理 2 伯特兰-切比雪夫定理的相关定理o 2.1 西尔维斯特定理o 2.2 艾狄胥定理 3 伯特兰-切比雪夫定理的证明o 3.1 不等式1o 3.2 引理1o 3.3 定理1o 3.4 系理1o 3.5 核心部分什么是伯特兰-切比雪夫定理　　伯特兰-切比雪夫定理是指1845年约瑟•伯特兰提出的猜想伯特兰检查了2至3106之间的所有数1850年切比雪夫证明了这个猜想拉马努金给出较简单的证明，而保罗•艾狄胥则借二项式系数给出了另一个简单的证明　　伯特兰-切比雪夫定理说明：若整数n > 3，则至少存在一个质数p，符合n < p < 2n − 2另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n，存在一个质数p，符合n < p < 2n伯特兰-切比雪夫定理的相关定理　　詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特证明：k个大于k的连续整数之积，是一个大于k的质数的倍数　　艾狄胥证明：对于任意正整数k，存在正整数N使得对于所有n > N，n和2n之间有k个质数　　他又证明k = 2、N = 6时，而且有，其中两个质数分别是4的倍数加1，4的倍数减1。

　　根据质数定理，n和2n之间的质数数目是伯特兰-切比雪夫定理的证明　　证明的方法是运用反证法，反设定理不成立，然后用两种方法估计的上下界，得出矛盾的不等式　　注：下面的证明中，都假设p属于质数集　　这条不等式是关于的下界的　　对于正整数n，　　证明 ：　　对于 ， 　　若，　　因此　　　　证明：　　注意到所有大于 k+1 而小于 2k+1 的质数都在(2k+1)! 中而不在(k+1)! 或 k！ 中，于是是的因子　　　　同时又有　　于是就有 　　这个定理和的上界有关　　对于所有正整数n， 　　数学归纳法：　　当n = 2，2 < 16，成立　　假设对于所有少于n的整数，叙述都成立　　显然，若n>2且n是偶数，对于奇数的n，设n=2k+1　　从引理1和归纳假设可得：　　　　首先的定理：　　若p是质数，n是整数设s是最大的整数使得ps | n! ，则　　下面这些系理和的上界有关　　若p为质数，设sp是最大的整数使得 整除 ，则：　　　　 ，所以　　　　于是得到三个上界：　　 　　 若 ， 　　 若 ，sp = 0（因为 2n! 中只有两个 p，在 n! 中恰有一个 p）　　假设存在大于1的正整数n，使得没有质数p符合n < p < 2n。

根据系理1.2和1.3：　　　　再根据系理1.1和定理1：　　 上式最右方 　　结合之前关于的下界的不等式1：　　　　　　　　两边取2的对数，并设：　　xln2 − 3lnx < 0　　显然，即时，此式不成立，得出矛盾　　因此时，伯特兰—切比雪夫定理成立　　再在n < 128时验证这个假设即可全文完-。