1988年全国硕士研究生考试数学（二）真题（含解析）.pdf

1988年全国硕士研究生招生考试试题（试卷川）-、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）(I)设八x) = 2x + a ,x :; O , 在(-oo,+oo)内连续，则a = . ex (sin x + cos x) , x 0 (2)设兀）= lim t(I + _!_)让X,则f(t) = . x-+oo X (3)设瓜）连续，且J止1j(t)dt = X, 则八7) = . (4) lim (_!_an x = x-+()十五(5) r产dx =二、选择题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1 1 (I)f(x) =x3 +x2 + 6x + I的图形在点(O,1)处的切线与x轴交点的坐标是（） 3 2 (A) (-,0).(B) (-1 ,0).(C) (,o).(D)(l,O). (2)若f(x)与g(x)在(-oo,+oo)上皆可导，且f(x) g (-X) . (B)f(x) g(x).(C) limf(x) limg(x).(D) /(t)dt 0, f(x) = 0, 则f(x)在点 x处（）(A)有极大值(C)某邻域内单调增加(B)有极小值(D)某邻域内单调减少1988年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 1 页，共 5 页1988年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 2 页，共 5 页1988年数学（二）真题解析、填空题 （1）【答案】1.【解】/(0) = /(0 0) = a , /(0 + 0) = 1,因为/(工)在(, + )内连续，所以a = 1.(2)【答案】(l + 2t)e.【解】fCt) = lim/ (1 + )zf 8 x /Ztx=t lim2t+则 /(O = / +2te2t = (l + 2z)e2(3)【答案】1.【解】limlim tan xln ey lim o+ e rI lim.e l。

M j = 1.（4）【答案】2（e2 + 1）.【解】*22J tel dt = 21 )00=2te=2(e2 + 1).02e At = 4e2 2ez0202（5）【答案】1【解】1f (t)dt = jc 1两边对x求导得1 03jc2 f(x3 1) = 1,取z =2得/=轄二、选择题（1）【答案】(A).【解】 厂（无）=工？ +工+ 6,厂（0） = 6：切线方程为夕一1 = 6（工一0）,即y = 6工+ 1,切线与工轴的交点为（-，0），应选（A）.（2） 【答案】（C）.【解】 因为在（一oo+x ）上可导，所以于（无），（工）在（一+兀）上连续, 于是 f Co ） = lim /（z）,g（zo）= limg（x）,由 /（x） V g（H）得 /（x0 ） V g（o） 9 即 lim /（x） V lim g（z）,应选（C）一工0 x_*x0（3） 【答案】（E）.【解】 因为/（乂）在工=JCq可导，所以/（工）在H =乂0可微，于是dy = f兀品de = -y Aj:，故函数在无=Xq处的微分dy是与5同阶而非等价的无穷小，应选（E）(4)【答案】(E).【解】V=tt y2 Ajc = tS sir?无 dr = 2tS2 sinh dr =字，应选(E).J 0 J 0 Jo 34 1988年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 3 页，共 5 页（5）【答案】（A）.【解】 由条件，在方程yf 2yf + 4j/ = 0中代入工。

得/（工2/z（j70）+ 4/（j7o）= 因为 fCxQ ）0 且 ff （xq） = 0,得 ff,（x0） = 4f（x0） V 0. 由极值的第二充分条件知，/（工为fS 的极大值应选（A）.三、【解】（1）由（x） = 1工，得申（工）=/n（l 工）,由1工彳1得卩（工）的定义域为（一（2）当无=0 时，;y = 1,y = 1 +工尹两边对工求导9得j/ = exy + xexy （y + ,将x = 0,j/ = 1代入得/ I工=0 = 1 ；yf = exy + xexy (y + 两边再对x求导，得yf = 2exy (y + 23/) + xy (y + 3cyf2 + xexy (2yf + xy，y), 将 z = 0,y = 1,3/ = 1 代入得 yf |x=0 = 2.（3）由一阶非齐次线性微分方程通解公式得夕=1X(J：2 + 1)dz+Ce =丄(arctan h + C)(C为任意常数).x四、【解】函数夕= -n厂7的定义域为（一，+），r 一 2工十4由y = 12(工一1)(工2 2工 + 4)2=0 得 H = 1 ,当工c（00,1）时0；当工e（i, + oo）时0；当工& （0,2）时，/ 0,则（一8,0）及（2,+*）为曲线的凹区间;（0,2）是曲线的凸区间，（0,今）及（2,号）为曲线的拐点.由limj； - 0得= 0为曲线的水平渐近线.此函数的图形如图所示，填表如下：单调增加区间(O,1凹区间(00,0)及(2, + OO)单调减少区间1, + 00)凸区间(0,2)极值点J7 = 1拐点（嗚）及（2，刃极值y = 2渐近线)=0五、【解】 设正方形的边长为工，圆的半径为y,则面积之和为：S = x2 +兀夕2,其中4工+ 2ny = a. 5 1988年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 4 页，共 5 页令 F = jc2 4-713/2 + A(4j： + 2兀歹a), f F； = 2h + 4入=0,由F； =2 + 2xA = 0,得 = f/ = 4工 + 2兀夕一q = 0,则两段铁丝长分别为化及严时，正方形与圆形的面积之和最小.4 + 7T 4 + 7T六、 【解】 特征方程为A2 -3A + 2 = 0,特征根为入=1,入2 = 2,得/ 3j/ + 2y = 0的通解为夕=Ch+C20(C】，C2为任意常数)；设原方程的特解为yQ (jc ) = axex 9代入得a = 2 ,则原方程的通解为y = Cxe + C2e2-r 2xex因为曲线夕=歹(工)经过点(0,1),所以Ci + C2 = 1 ；y = :y(z)在工=0处切线的斜率为怡=(2工一1) |工=0 = 1,又由=C】于 +2C2e2x 一2(工 + 1)于，得 G +2C? 2 = 1,即 C】+2C? = 1, 从而G = 1,C2 = 0,故所求函数为y = (l-2x)eJ七、 【解】 当一1无 0 时J /II t 丨)山=J (l + t)dr = “ ； D | =专当工30 时(1 | t | )dz = f (l + )dt+ (1 t)dr = jc- -J -1 J 一1 J 0 L 2八、【解】(1) fCt+a)dt = J af(t + a)d(z + a) = I /(Z)dz , -a Jo)dt = I f(i a)d(t一a ) = f f (t) di = fJ a J 2a J (-2a /(Odr, 0则 lim J /(r + a ) f It a )dz = lim a_+ %f a_0+2a/(z)dz +0-2a /(Odz 04a 2r 2/(2a)-2/(- 2a) =hm -lo+1 P /(2a) -/(-2a)vlim-2 lim2”+r(o).由积分中值定理，存在c e a,a,使得8a2a了 (2a) /(0) 1 于(一2) 于(0)2a2a12af (r)dr = f(c),则f Ct)dt /(j:) j = I /(c) /(x) | M m. 6 1988年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 5 页，共 5 页。