最新五年级下数学思维训练教材及典型例题答案解析.doc

五年级下册思维训练教材第1课时 最大公因数和最小公倍数 一. 教学重点： 1. 掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的方法 2. 介绍辗转相除的方法计算最大公因数和最小公倍数 3. 最大公因数和最小公倍数的性质 4. 利用最大公因数和最小公倍数解决生活中的实际问题 5. 利用最大公因数和最小公倍数解决一些有特点的数字的问题 二、 教学难点： 1. 掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的区别 2. 能够通过分解质因数方法的分析，理解最大公因数和最小公倍数之间存在的性质 3. 利用最大公因数和最小公倍数解决问题时，对数字特点的观察 三、 简要知识介绍： 最大公因数和最小公倍数在计算的时候我们一般采用的方法是短除的方法，它们在计算时的最大区别在于所需要的质因数是不同的，最大公因数是取公有的质因数，最小公倍数是公有的质因数（代表）和独有的质因数都要 但是在两个数不容易看出公因数的时候，我们也可以采取辗转相除的方法进行计算具体的方法是：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。

那么最后一个除数就是所求的最大公约数 最大公因数和最小公倍数之间还存在着性质：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积 若a、b表示两个自然数，则 a×b=（a，b）×[a，b] 在利用最大公因数和最小公倍数解决实际生活中的问题的时候，首先要分清计算的是哪个？然后再进行计算四.、知识教学：（一）求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法 例1. 求20、30和36的最大公因数和最小公倍数 （1）我们先来计算这三个数的最大公因数 列举法 20的因数有：1、2、4、5、10、20 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36 三个数的最大公因数是2  分解质因数的方法 20=2×2×5 30=2×5×3 36=2×2×3×3 （20，30，36）=2  短除的方法 （20，30，36）=2 （2）我们再来计算它们的最小公倍数 列举法 20的倍数有：20、40、60、80…… 30的倍数有：30、60、90、…… 36的倍数有：36、72、…… 分解质因数的方法 20=2×2×5 30=2×5×3 36=2×2×3×3 [20，30，36]=2×2×3×5×3=180  短除的方法       （20，30，36）=2 [20，30，36]=2×2×3×5×3=180 （3）对比 比较分解质因数的方法 20=2×2×5 30=2 ×5 × 3 36=2×2 × 3×3 （20，30，36）=2 [20，30，36]=2×2×3×5×3=180  比较短除的方法 （20，30，36）=2 [20，30，36]=2×2×3×5×3=180 （4）小结：在计算三个数的最大公因数和最小公倍数的时候，最大公因数要找三个数的公有的质因数，如果其中的两个商还有质因数的话，也不要往下除。

最小公倍数的计算要把三个数的公有质因数和独有质因数都要找全，最后除到两两互质为止 （二）辗转相除法 1. 方法介绍： 辗转相除法是求两个数的最大公约数的一种方法辗转相除法又叫做欧几里德除法 2. 用辗转相除法计算两个数的最大公约数 用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下： 先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止那么最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的余数是1，那么原来的两个数互质） 例2. 求792和1134的最大公约数 1134÷792=1……342 792÷342=2……108 342÷108=3……18 108÷18=6 （没有余数） ∴（792，1134）= 18 用辗转相除法在短除计算两个数的最大公约数有困难的时候，效果尤其显著  3. 如何用辗转相除法计算两个数的最小公倍数呢？ 先计算出最大公约数，再用两数之积除以最大公约数，商就是最小公倍数。

例3. 792和1134的最小公倍数 先用辗转相除法计算出两个数的最大公约数18（方法见上） [792，1134]= =49896 （三）最大公约数和最小公倍数的性质 例4. 求18和24的最大公约数和最小公倍数 （1）用分解质因数的方法独立完成 （18，24）=2×3=6 [18，24]=2×3×3×2×2=72 （2）观察发现：18×24=4×72 （3）小结： 两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的一个重要的性质是：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积 若a、b表示两个自然数，则 a×b=（a，b）×[a，b]  例5. 两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中的一个数是42，那么另一个数是多少？ 分析与解答：根据ab=（a，b）×[a，b] 又知a=42 则  第2课时 利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题 例1、 有320个苹果，240个橘子，200个梨，用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份的礼物中，苹果、橘子和梨各有多少个？ 分析：根据题目的要求，在分礼物的时候必须正好分尽3样果品。

因此，礼物的份数必须是320、240和200的公因数，现在还要求最多可以分成多少份同样的礼物，也就是说要求320、240和200的最大公因数 解答： （320，240，200）=2×2×2×5=40 因此，最多可以分成40份，每份礼物中有苹果320÷40=8（个），橘子240÷40=6（个），梨200÷40=5（个）  例2、（1）一堆螺丝钉，按2个一堆，3个一堆，4个一堆分，都能分完螺丝钉的数量最少有多少个？ [2,3,4]=12（个） （2）一堆螺丝钉，按2个一堆分剩1个，3个一堆分剩1个，4个一堆分剩1个，都能分完螺丝钉的数量最少有多少个？ [2,3,4]=12（个） 12+1=13（个） （3）一堆螺丝钉，按2个一堆分少1个，3个一堆分少1个，4个一堆分少1个，都能分完螺丝钉的数量最少有多少个？ [2,3,4]=12（个） 12-1=11（个） （4）一堆螺丝钉，按2个一堆分余1个，3个一堆分余2个，4个一堆分余3个，都能分完螺丝钉的数量最少有多少个？ 分析：虽然余数不相同，但是余下的数都在加1就可以凑成一堆了，或者说总数再加1就正好是2、3、4的最小公倍数。

[2,3,4]=12（个） 12-1=11（个）  例3、 一个三位数，被11除余10，被6除余4，被4除余2，这个三位数最小是多少？ [11，6，4]=132+10=142 【练习】 1. 计算下面各组数据的最大公因数和最小公倍数 （1）35、98、112 （2）70、102、462 2. 用辗转相除的方法计算下面两组数的最大公因数 （1）315和735 （2）4811和1981 3. 两个数的最大公约数是2，最小公倍数是1344，如果其中的一个数是42，那么另一个数是多少？ 4. 把24个本，36个文具盒和42支笔平均分给尽可能多的小朋友，能分给多少人？ 5. 一批书不到700本，若按24本包一捆，最后一捆差2本，若按28本包一捆，最后一捆还是差2本，按32本包一捆，最后一捆也差2本，这批图书有多少本？ 6. 一个数除以32、36、48时都余15，求出这个数最小是谁？ 7. 求一个最小的自然数，这个数除3余2，被4除余3，被5除余4第3课时 立体图形及展开同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。

这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图例题选讲例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合?【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面，那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3就是上面，(如图2)从图中不难看出点F与点N，重合，点G与点S重合还有一种方法就是动手制作一张展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试试吧!例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点请你为它设计一条最短的爬行路线分析与解答】 因为小虫在长方体的表面爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图2)又因为在平面上“两点之间的线段长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线练习与思考1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点重合?2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。

请画出蚂蚁爬行的最短路线问：这样的路线共有几条?3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米? 4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子已知这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、c处填的数各是多少?6.如图所示的10个展开图中，哪些可以做成完整的正方体?7.图(1)是一个正方体，图(2)是这个正方体的一个平面展开图，图(3)、图(4)、图(5)也是这个正方体的平面展开图，但每一个展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。