第五公设与非欧几何.pdf

第五公设与非欧几何第五公设指欧几里得几何《原本》中的第五公设，其内容为：在同一平面上，若一直线与两直线相交， 且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必交于该侧的一点．图 1 1、欧几里得第五公设的试证古代数学家很早就注意到欧几里得几何《原本》 有逻辑的缺点， 他们经过两千年的努力来消除它．首先是针对公理系统，一方面是增加或改换公理，另一方面是试证第五公设．第五公设的试证在几何史上占极重要的地位．因试证第五公设而发现了非欧几何，以致引起我们对几何学观点的根本改变．欧几里得以后的两千年间，几乎所有的大数学家都曾试证过第五公设．原因是： 它看起来较其他公设性质复杂，而且在《原本》中应用很迟，到第29个命题才第一次应用．因此人们怀疑它是否可做为定理来证明，即只根据其它公理和《原本》 中前 28 个命题来证明． 谈到某一命题的数学证明，就是说要根据采用的公理系统纯逻辑地导出它，只能用公理或用由公理已证明的定理做根据．但如前所述， 欧几里得没有完善的公理系统，因此这些试证者不能充分明显地提出问题．实际上， 第五公设的试证就是要使它成为绝对几何的逻辑推论．本文后面将证明： 这是不可能的． 因此两千年对第五公设的试证都失败了，这些证明都或明或暗地引用了和第五公设等价的命题，即导入新的假设（公理）以替换第五公设，这类议论不能称为第五公设的证明．直到十九世纪末才有几何学近代公理法的出现，在这以前， 如何辨别几何学中证明的合理性，并无清楚的准绳．因此在一定程度上，第五公设的每个试证者会自以为他的假设是合理的，后来才知道所有这些证明都是站不住脚的．这使许多数学家怀疑：（从绝对几何）证明第五公设是可能的吗？这怀疑引导到积极的结果——非欧几何的发现．2、非欧几何的产生任何较大的数学分支甚或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作．这种数学积累的发展特别适用于非欧几何．我们已介绍非欧几何的先驱者萨开里、伦倍特的工作， 还有须外卡尔特（ F.K.Schweikart ，1780— 1859 年）研究他称为的星空几何，他外甥托里努斯（F.A.Taurinus ， 1794— 1874 年） 继续研究星空几何， 还有其他人， 可称非欧几何的先驱者．至于说到非欧几何的创造者，那就要说到高斯 （Carl Friedrich Gauss，1777— 1855 年，德国人），约翰·鲍耶（ Johann Bolyai 1802 － 1860 年，匈牙利人）和罗巴切夫斯基（nikolai Ivanovich Lobatchevsky ，1793—1856 年，俄国人）了．被同时代人称为“数学家之王”的高斯，一生中从未出版过非欧几何的著作．在他死后，人们从他和一些数学家的通信以及他的遗稿中，才知道他由试证第五公设到发现新几何．他最初称为反欧几何，后称星空几何， 最后称非欧几何．1824 年他给托里努斯的信上说：“三角形的三角之和小于180°，这假定导引到特殊的、与我们的几何完全相异的几何．这几何是完全一贯的， 并且我发现它本身，结果完全令人满意．除了某一常数的值不能先天地予以表示定义而外， 在这几何里我能解决任何课题．我们给予这常数值愈大，则愈接近于欧几里得几何，而且它的无穷大值会使双方系统合而为一．”为了检验这两种几何应用的可能性，高斯测量了三个山峰构成的三角形（三边为69，85 与 197 公里）的内角之和．由于实验误差相对太大， 这实验没有证明任何结论．高斯为了“害怕引起愚人的喊声”而终生未出版他的非欧几何研究著作．约翰·鲍耶是数学家伏尔夫刚·鲍耶（Wolfgang Farkas Bolyai 1775 —1856 年，匈牙利人）之子． 他没有听从他父亲阻止他试证第五公设的劝告，因而发现了新几何．1823 年（当时他 21 岁）他写信给父亲说：“我坚决地决定出版自己的关于平行线的著作，,, ，我已经从乌有创造了整个世界”．1832 年出版了约翰·鲍耶的著作，以附录形式附在他父亲的一本书后发表． “附录”的拉丁文是appendix；所以约翰·鲍耶的工作在数学文献上获得了“亚编原克斯”的称呼，它的真名很长：《叙述着关于一个和欧几里得第十一公理（注：即第五公设）的真伪无关的空间的绝对真实性的学说,, 》．伏尔夫刚·鲍耶把这附录送给知友高斯评阅．高斯回信说： 他不能称赞约翰的工作，“称赞他等于称赞我自己，因为这研究的一切内容，你儿子所采用的方法和他所达到的一些结果几乎全部和我的一部分在30～35 年前已开始的个人沉思相符合的缘故．我真是被这些所恐骇到顶点了． 关于我自己的著作，虽只有一小部分已经写好，但我的目标本来是一生里不愿发表的． 大多数人对于那里所讨论的问题都抱着不正确的态度；我仅发觉少数人听了我和他们谈这件事，觉得有兴趣,, ．我的目标在于把它统写下来，免得和我一同湮没．使我快乐地感到惊奇的是现在可以免去这劳力的耗费，并且特别高兴的，在我的前面有这样惊异的姿态的人正是老友的儿子”．约翰对这评语感到沉重．他不相信别人比他更早达到同一结果，认定了高斯在这个发现上要夺优先权．高斯从来没有公开表扬过约翰的工作．约翰由于没有获得任何人的理解、同情和精神上的支援而陷入失望，并且抛弃了一切数学研究．俄罗斯数学家罗巴切夫斯基最初也企图用归谬法来证明第五公设．他企图由否定“同一直线的垂线和斜线必相交”这个命题引出矛盾，但推论一个接着一个，形成了一个新的几何系统，逻辑上并无任何矛盾． 于是他开始相信第五公设问题不能只用逻辑的方法来彻底解决，而必须依靠实验．他于1835 年写道：“从欧几里得时起二千年来枉费心机的努力，不得不使我怀疑在这概念本身中并不曾含有那种真理，就是我们想要证明的，并且象其他物理定律那样只能用实验 （譬如说天文观察）来证实的真理．终于深信我的揣度是正确的，而且认为困难的问题已经完全得到解决，我乃在 1826 年就此问题写成了论文”． （见他的全集， 卷二，1949 年俄文版第147 页） ．1826 年 2 月 11日罗巴切夫斯基在喀山大学数理系宣读了他的关于这种新几何学的报告《关于几何原理的议论》．这一天被认为是非欧几何的诞生日．其后，他陆续出版了许多叙述这种新几何的著作： 《关于几何原本》 （1829 年） ， 《想像中的几何》 （1835 年） ， 《想像中的几何在某些积分上的应用》（1836 年） ， 《具有完全平行线论的几何原本》（1835—1838 年） ，《关于平行线论的几何研究》及其他．直到逝世前一年（1855 年） ，他几乎失明了，还通过口授写了俄文和法文的著作《汎几何》．罗巴切夫基在科学的世界观里的唯物主义倾向，对于他创立这种新几何起了重要的作用．为了验证两种几何谁能更正确地反映现实空间的属性，他进行了天文观察．但是，限于仪器的精确度，他没有得到确定的答案．虽然如此，他用实践来检验理论的作法是正确的．他曾强调说： “,, 打算不依靠宇宙物质而仅从理智本身之中产生出来的一切数学原理，对于数学是毫无用处的”．（ 《H.II.罗巴切斯基传记的材料》 ，苏联科学出版社1948 年版， 204页） ．可见，形式主义者把罗巴切夫斯基的发现看作“逻辑演习”和“理智游戏”的结果，这种看法是完全错误的．罗巴切夫斯基几何（以后简称罗氏几何）将在后面“附”中系统地介绍．但为了说明为什么这发现不被他同时代的绝大多数数学家所理解，以及说明这发现的意义，我们此处简单介绍部分内容．从欧几里得第五公设立刻推得定理：通过直线AB外的一点C，在平面ABC上可引一条且仅一条直线，使其与直线AB不相交． 罗巴切夫斯基首先导入相反的新假设（以代替第五公设），即：通过直线AB外的一点C，在平面ABC上可引无数直线CG，使其和直线AB都不相交 （如下图 2） ． 同AB不交的这些直线与同AB相交的那些直线CM是由两条界限直线CE与CF所分隔开的， 而CE和CF也都不和AB相交． 两界限直线与AB的垂线CD构成同一角度ω ．罗巴切夫斯基称这两界限直线为AB的平行线．CE沿A到B的方向平行于AB，而CF沿B到A方向平行于BA．ω ＝∠DCE＝∠DCF称为对应于线段DC的平行角．显然ω ＝90° ．我们立刻可见：欧几里得第五公设不成立（因为∠BDC＝90° ，它与 ω的和小于180° ） ．于是那些和第五公设等价的命题都不成立．于是后面可以证明：三角形内角和小于180° ；矩形不存在；相似而不合同的图形不存在；两条不相交的直线间的距离不是常数且可以无限增大．图 2 罗巴切夫斯基发现了平行角ω和线段x＝CD之间的关系cot＝其中 ρ为常数，称为罗巴切夫斯基空间的曲率半径．由这方程知：当x从 0 单调增加到ln2 时， ω则从90°单调减少到0．罗巴切夫斯基的假设和它的推论从直觉来看是不合理的，这就引起了他同时代的人对他的几何的不信任， 甚至讽刺、 嘲笑．罗巴切夫斯基不顾别人嘲讽而勇敢为新几何奋斗．但是，在他生前， 新几何未得世人承认．他死后，十九世纪六十年代高斯通信录出版了，其中对罗巴切夫斯基的著作给予高度评价，引起了人们的注意．1868 年（即罗氏死后十三年） ，意大利数学家柏尔特拉米（Beltrami，1835—1900 年） ，发表了论文《非欧几何的实际解释》，证明了罗氏平面几何的片段可实现于欧氏空间，即拟球面上的内在几何的片段．1870 年，德国数学家克莱因（F.Klein1849—1925 年）解决了罗氏几何全平面或全空间的实现问题，罗氏几何和欧氏几何一样没有矛盾的事实已证明了，罗氏几何最后获得了应得的承认．同时这也确定了：第五公设是不可能证明的．3、非欧几何与现代数学十九世纪数学有许多积极的发展．在几何方面， 几何基础、 微分几何和射影几何三支的发展道路起初相隔很远，但到十九世纪末却非常接近了，某些部分甚至会合在一起了，这使一些古老的几何问题放出光芒，还揭露了许多新问题．罗氏几何的创立不仅解决了第五公设的独立性问题，更重要的是： 它扩大了对几何本身意义的认识． 自从第一种非欧几何——罗氏几何的思想获得承认以后，几何学的发展便开始了繁荣的新时期，几何对象的推广，即抽象空间概念的形成，在数学的近代阶段中起了巨大的作用．开始的一个重要结果是由德国数学家黎曼（B.Riemann， 1826—1866 年） 得到的．他 1854年在哥丁根大学的讲演《关于作为几何学基础的假设》中提出了另一种非欧几何——黎曼几何．这种理论的形式演算叙述在他的应用于热传导问题的另一著作中．所以黎曼几何的产生与数学物理密切相关．这种几何在黎曼生前也未得到应有的估价．它有着比罗氏几何更加奇特的性质：共面任二直线都相交，三角形的内角和大于180°，等等．1872 年克莱因在他的讲演《最新几何研究的比较评论》中（这演讲包含在《爱尔兰根纲领》里），给出了欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何在射影几何基础上的新的解释．到十九世纪末， 黎曼几何已有很大的发展及应用，其他非欧几何也相继出现了．特别是二十世纪初期，非欧几何的研究对于那时发生的空间和时间的物理观念的改革起了重大作用．1915 年爱因斯坦开始建立的广义相对论中假设：万有引力场显露在“弯曲”的时空流形中．这个四度空间的度量和欧氏空间的度量有差别，万有引力场由某个流形的黎曼几何来表示．因为有了黎曼几何这件工具才克服了建立广义相对论时所遇到的数学上的困难．有的学者（特别是B.A. 福克）的研究表明：罗氏几何概念在天体物理、原子物理中都有应用，非欧几何可以直接用到物理学上去这个事实，促成了几何学理论进一步的发展．非欧几何在分析和代数方面的应用也胜过了欧氏几何，罗巴切夫斯基曾写道：“新的几何学,, 在几何学与分析学的互相应用上，开拓了新的、广大的园地”．（见他的《关于几何原本》一书） ．他求出在罗氏空间表示弧长、曲面的面积、体积的积分，得出许多积分运算的新公式．这些公式若用直接运算来证实是很费力的，更不用说直接得到它们了．其后，法国数学家潘加来（H.Poincare 1854—1912 年）用罗氏几何研究一种解析函数——自守（automorphic ）函数，使它的基本区。