二元一次方程组的图象解法.doc

二元一次方程组的图象解法（第 1 课时）教学设计教材：沪科版《数学》八年级上册第 13 章第 4 节，教材分析 :本节内容共安排 2 个课时完成，本节课为第 1 课时．该节内容是二元一次方程（组）与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了“数” （二元一次方程）与“形” （一次函数的图像（直线） ）之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力．本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的．学情分析 :学生已有了解方程（组）的基本能力和一次函数及其图像的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生理解二元一次方程和一次函数之间的内在联系，体会“数”和“形”间的相互转化，从中使学生进一步感受到“数”的问题可以通过“形”来解决， “形”的问题也可以通过“数”来解决．教学目标：1、使学生初步理解二元一次方程组与一次函数的关系，会用图象法解二元一次方程组（有唯一解的情形） ；2、经历探索二元一次方程与一次函数之间关系和二元一次方程组的图象解法，使学生初步感受数形结合思想方法，培养学生分析和解决问题的方法的多样化；3、经历观察、思考、操作、探究、交流等数学活动，培养学生抽象思维能力，并体会数形结合思想。

教学重难点：1、教学重点：二元一次方程与一次函数的关系；2、教学难点：二元一次方程组得图象解法教学过程一、设置情境，探索新知1、问题 1：师：今天我们共同来学习二元一次方程组的图象解法（教师板书课题） 我们先来思考并回答下列问题：师：二元一次方程 x+y=4 的解有多少个？生：有无数个解师：请哪位同学说出几个解，我来写生说师写： ……师：方程 x+y=4 能转化为一次函数吗？生：能师：请哪位说说这个方程转化成一个什么样的一次函数？生：能转化成一次函数 y=4-x （教师板书一次函数表达式） 师：正确请所有同学在平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象在学生画一次函数 y=4-x 的图象时，教师巡视，并进行个别指导，同时提醒学生，一次函数的图象是一条直线，画一条直线，需先确定两个点，这就需要先确定两个点的坐标然后教师在准备好的小黑板上画出该函数的图象师：一次函数 y=4-x 图象上任意一点的坐标适合方程 x+y=4 吗？生：都适合师：你们能画出以方程 x+y=4 的解为坐标的所有点组成的图形吗？生：能师：它与一次函数 y=4-x 的图象关系如何？生：以方程 x+y=4 的解为坐标的所有点组成的图形就是一次函数 y=4-x 的图象，它们是同一条直线。

师：至此你有什么发现？此问题提出后，教师组织学生进行讨论，教师巡视并给予适当的指导师：谁能说说你们的发现在学生回答后，教师再进行归纳师生共同：一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，每个二元一次方程的图象都是一条直线这条直线上任意一点的坐标都是相应的二元一次方程的解，反之，二元一次方程的任意一个解为坐标的点都在相应的直线上 （教师板书）点评：教师逐一提出问题后，引导学生观察、思考、操作、探究、合作交流以上问题层层递进，通过问题的逐一解决，师生最终形成共识，达到了揭示二元一次方程与一次函数的关系的目的2、练习反馈练习 1：在平面直角坐标系中画出下列二元一次方程的图象：教科书 P49 页，练习 1（1） 、(3)学生先独立思考、操作画图，教师巡视，并进行个别指导同时强调解题的规范性 ）师：大家做的都很好再来看看下面的练习练习 2：口答下面的有序数对，哪些是二元一次方程 3x+y=6 的解？A(2，0)、B（3 ，—3） 、C（5，—9） 、D （6，—10） 、E（ —2，10） 、F（—3，15） 学生先独立思考、进行检验，教师巡视，并进行个别指导同时仍然强调解题的规范性。

师：哪位同学来口述一下本题的解题过程？生：当 x=2,y=0 时，左边=3×2+0=6 ，所以，A(2，0) 是原方程的解；同理， B（3，—3） 、C（5，—9） 、F（—3，15）都是原方程的解；D（6，—10） 、E（—2，10）不是原方程的解点评：通过练习，及时巩固了所学知识，体会二元一次方程与一次函数的关系二、深入探究，拓展新知1、问题 2：师：我们再来思考下列问题：师：请在同一平面直角坐标系中画出方程 x+2y=2 的图象 l1 和方程 2x-y=-6 的图象 l2 生：画图操作师：巡视指导，然后在小黑板上画出两个方程的图象师：直线 l1 和 l2 位置关系如何？生：相交，师：设直线 l2 相交于点 P，请写出点 P 的坐标生：P（—2，2） 师：好！请检验点 P 的坐标是不是下面方程组的解？ ；生：学生检验后，回答是师：经过对以上问题的探究，你又有什么发现？其中的道理是什么？教师先让学生独立思考，然后分组讨论，合作交流教师巡视指导师：谁能说说你们的发现在学生回答后，教师再进行归纳 ）师生共同：直线 l1 上任意一点的坐标都是方程 x+2y=2 的解；同理，直线 l2 上任意一点的坐标都是方程 2x-y=-6 的解。

所以直线 l1 和 l2 的交点 P 的坐标是方程 x+2y=2 与 2x-y=-6 的公共解，也就是说，是方程组 x+2y=2，2x-y=-6 的解师：利用这样的作图求解二元一次方程组的方法，叫做二元一次方程组的图象解法 （教师板书）点评：通过对以上问题的探究，培养学生的自主、探究、合作的学习精神对前几个问题大部分学生都能独立完成，对于最后一个问题“你又有什么发现？其中的道理是什么？”可能是由于时间问题，学生讨论的不是很充分三、范例学习，加深理解1、例 1（见教科书 P50 页）利用图象解法解方程组x-y=-1 ①2x+y=1 ② 师：根据上面的探究，谁能说一说利用图象解法解方程组的大概步骤？生：先在同一平面直角坐标系中画出两个方程的图象，确定它们的交点坐标，这个交点坐标就是方程组的解师：说的好下面我们就按照上述步骤来解这个方程组师：我们先来画出方程①的图象对于方程①，令 x=0，有 y=1 ；令 x=2 ，有 y=3 我们可以列成下面的表格：x 0 2y 1 3所以方程①的图象是经过点（0，1）和点（2，3）的直线 我们再来画出方程②的图象对于方程②，令 x=0 ，有 y=1；令 x=2，有 y=-3 。

我们可以列成下面的表格：x 0 2y 1 -3所以方程②的图象是经过点（0，1）和点（2，—3）的直线 现在，我们在同一直角坐标系中画出直线 l1 和 l2 ，我们可以看出这两条直线交于一点（0，1） 由于利用图象解法解二元一次方程组得到的解应该是一个近似值，所以需要检验以 x=0，y=1 分别代入①、②，得左边=0-1=-1，左边=2×0+1=1所以，原方程组得解是 x=0,y=1. 教师板书完整的解题过程：例一：解：对于方程①，有x 0 2y 1 3所以方程①的图象是经过点（0，1）和点（2，3）的直线 l1对于方程②，有x 0 2y 1 -3所以方程②的图象是经过点（0，1）和点（2，—3）的直线 l2 在同一直角坐标系中画出直线 l1 和 l2，由图可知直线 l1 和 l2 交于一点（0，1） 以 x=0，y=1 ， 分别代入①、②，得左边=0-1=-1，左边=2×0+1=1所以，原方程组得解是 x=0,y=1.师：由以上可知，用图象解法解二元一次方程组时，应先在同一平面直角坐标系中画出每个二元一次方程的直线，这两条直线若相交，其交点坐标就是方程组的解 （板书）师：请大家比较一下，二元一次方程组的图象解法和我们以前学过的代数解法——代入消元法、加减消元法相比，那种方法简单一些？生：代入消元法、加减消元法简单。

师：二元一次方程组的图象解法既不比代数解法简单，且得到的解又是近似的，为什么我们还要学习这种解法呢？原因有以下几个方面：一是要让我们学会从多种角度思考问题，用多种方法解决问题；二是说明了“数”与“形”存在着这样或那样的密切联系，有时我们要从“数”的角度去考虑“形”的问题，有时我们又要从“形”的角度去考虑“数”的问题，这里是从“形”的角度来考虑“数”的问题；三是为了以后进一步学习的需要点评：在范例学习时，教师边讲解边板书，强调了解题的规范性，有利于培养学生的严谨认真的学习态度同时强调了由于二元一次方程组的图象解法得到的解往往是近似的，因此必须检验教师对学习二元一次方程组的图象解法的必要性的解释，是非常有必要的，这一解释解决了学生的疑惑，同时也渗透了数形结合思想，也是教学目标中的情感态度和价值观的体现对于这一解释，相当一部分教师在这一节课中并没有很好解决这一处理方法值得他人借鉴2、练习反馈练习 3：利用图象法解下面二元一次方程组：x+y=5,x-y=1. （学生先独立思考、自主完成，教师巡视，并进行个别指导，同时仍然强调解题的规范性然后教师指定一名学生分别进行板演 ）师：其他同学都做完了吗？生：做完了。

师：现在我们来看看这位同学解的如何？生：不完整，缺少检验这一步骤师：对，前面解得都很好，只是缺少了检验这一步因为利用图象解法解二元一次方程组，得到的往往是近似解，所以要进行检验现在我们一起来给他补上（补充的过程略） 点评：此练习主要由学生独立思考、自主完成，教师在巡视时进行了个别指导通过这一练习，巩固了所学的二元一次方程组图象解法教师在巡视指导时，对于解题规范性的强调也是必要的，因为解题不规范是学生存在的一个较为普遍的现象四、课堂总结，提高认识师：通过这节课，我们学习了哪些新的知识？有什么收获？（学生分组讨论，合作交流；教师巡视，个别指导）师：谁来说说这节课我们学习的新的知识？生：我们学习了二元一次方程和一次函数的关系和二元一次方程组的图象解法师：谁能说得具体一点？生：二元一次方程和一次函数的关系：二元一次方程和一次函数可以相互转化，它们实质相同，形式有别，它们的图象是同一条直线；二元一次方程组的图象解法：用图象法解二元一次方程组时，应在同一平面直角坐标系中画出每个二元一次方程的直线，这两条直线若相交，则其焦点坐标就是方程组的解师：很好，除此之外，我们还有什么收获？生：我们又多掌握了二元一次方程组的一种解法，也感觉到“数”与“形”有着密切的联系。

师：非常好通过这节课的学习，我们理解了二元一次方程和一次函数的关系：二元一次方程和一次函数可以相互转化，它们实质相同，形式有别，它们的图象是同一条直线；我们又掌握了二元一次方程组的一种新的解法——图象解法：用图象法解二元一次方程组时，应在同一平面直角坐标系中画出每个二元一次方程的直线，这两条直线若相交，则其焦点坐标就是方程组的解；同时我们也体会到：“数”与“形”有着密切的联系， “数”与“形”往往互为手段，互为目的下面布置这节课的课后作业：1、教科书 P49 页之练习 1（3） 、 （4） ；2、教科书 P52 页之练习（2） ；3、教科书 P55 页习题 13.4 之 1（1） 、 （4） 板书设计一、设置情境，探索新知二元一次方程组的图象解法（教师板书课题）能转化成一次函数 y=4-x （教师板书一次函数表达式） 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，每个二元一次方程的图象都是一条直线这条直线上任意一点的坐标都是相应的二元一次方程的解，反之，二元一次方程的任意一个解为坐标的点都在相应的直线上 （教师板书）二、深入探究，拓展新知利用这样的作图求解二元一次方程组的方法，叫做二元一次方程组的图象解法。

（教师板书）用图象解法解二元一次方程组时，应先在同一平面直角坐标系中画出每个二元一次方程的直线，这两条直线若相交，其交点坐标就是方程组的解。